均勻分布（英文：Uniform 廣義函數(shù)），亦稱一致分布，又稱等概率分布。均勻分布的隨機(jī)變量在確定的區(qū)間中，所取得每個(gè)值具有等可能性，它是一種常見的連續(xù)型隨機(jī)變量的分布。
均勻分布的歷史與等可能性思想的形成密不可分。概率論概念的形成最早可見于16世紀(jì)，概率是一個(gè)事件發(fā)生，一種情況出現(xiàn)的可能性大小的數(shù)量指標(biāo)，介于與之間。1657年，數(shù)學(xué)家克里斯蒂安·惠更斯（英文：Huygens）出版的概率論著作《機(jī)遇的規(guī)律》中，從關(guān)于公平賭博的值的一條公理出發(fā)，推出了關(guān)于“期望”的3條定理，并可在書中前幾個(gè)命題見到等可能性的思想。后來，1713年著名數(shù)學(xué)家雅各布·伯努利（英文：Jacob Bernoulli）所著《推測術(shù)》一書出版，書中把古典概率中“等可能性”的思想推廣到主觀概率的場合，當(dāng)沒有任何理由可以認(rèn)為眾多可能性中的某一個(gè)或某一些比其他可能性更具優(yōu)勢時(shí)，應(yīng)給予這些可能性以同等的主觀概率。如某個(gè)未知量取值區(qū)間在之內(nèi)，取區(qū)間內(nèi)任一值有同等的可能性，即取內(nèi)的均勻分布為的主觀概率分布，被稱為“同等無知原則”，在數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)史上有著重要的意義。
均勻分布有幾個(gè)基本性質(zhì)，包括數(shù)學(xué)期望，方差等數(shù)字特征。它與其他常見的連續(xù)型分布有著重要的聯(lián)系，如正態(tài)分布、韋布爾分布、指數(shù)分布、貝塔分布等。若增加隨機(jī)變量的個(gè)數(shù)，均勻分布還可推廣至多維。同時(shí)，它作為一種重要的統(tǒng)計(jì)工具不僅能處理一些現(xiàn)實(shí)生活的問題，如候車問題等，還可以廣泛地應(yīng)用于遺傳學(xué)、計(jì)算機(jī)等其他科學(xué)領(lǐng)域，如在現(xiàn)代計(jì)算機(jī)技術(shù)中，均勻分布是蒙特卡洛方法的理論依據(jù)，并且在數(shù)值計(jì)算中，定點(diǎn)計(jì)算的舍入誤差可作為均勻分布的隨機(jī)變量。
歷史
1657年，數(shù)學(xué)家克里斯蒂安·惠更斯出版了概率論著作《機(jī)遇的規(guī)律》，書中從關(guān)于公平賭博的值的一條公理出發(fā)，推出關(guān)于“期望”（這是惠更斯首先引進(jìn)的術(shù)語）的3條定理。惠更斯基于這些定理并利用遞推法等工具解決了當(dāng)時(shí)一些機(jī)遇博弈的問題。《機(jī)遇的規(guī)律》中的3條定理加上11個(gè)問題，被稱為惠更斯的14個(gè)命題，其中的前兩個(gè)命題描述如下：
從上述命題中，已可見到等可能性的思想。
后來，1713年數(shù)學(xué)家雅各布·伯努利所著《推測術(shù)》出版，書中伯努利把古典概率中“等可能性”的思想推廣到主觀概率的場合，當(dāng)沒有任何理由可以認(rèn)為眾多可能性中的某一個(gè)或某一些比其他可能性更具優(yōu)勢時(shí)，應(yīng)給予這些可能性以同等的主觀概率。如某個(gè)未知量取值區(qū)間在之內(nèi)，取區(qū)間內(nèi)任一值有同等的可能性，即取內(nèi)的均勻分布為的主觀概率分布原則，被稱為“同等無知原則”，在數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)史上有著重要的意義。
定義
均勻分布是一種常見的連續(xù)型隨機(jī)變量分布，即隨機(jī)變量在確定的區(qū)間中，所取得每個(gè)值具有等可能性的分布。
若是兩個(gè)有限數(shù)，且隨機(jī)變量的密度函數(shù)為： 則稱服從上的均勻分布，記為
特別地，當(dāng)時(shí)，稱為標(biāo)準(zhǔn)均勻分布。
均勻分布的分布函數(shù)為：
均勻分布反映的一切可能值充滿整個(gè)有限區(qū)間，并且在該區(qū)間內(nèi)的任一點(diǎn)有相同的分布密度，即分布密度在區(qū)間上為常量。在數(shù)值計(jì)算中，擬在小數(shù)點(diǎn)后第位上進(jìn)行四舍五入，若用表示舍入誤差，則服從區(qū)間上的均勻分布。
舉例
設(shè)隨機(jī)變量服從上的均勻分布，現(xiàn)對進(jìn)行次獨(dú)立觀測，試求至少有次觀測值大于的概率。
解：設(shè)隨機(jī)變量是次獨(dú)立觀測中觀測值大于的次數(shù)，則其中
由知的密度函數(shù)為
所以
于是可得
答：至少有次觀測值大于的概率為
性質(zhì)
性質(zhì)1
數(shù)學(xué)期望定義：設(shè)連續(xù)隨機(jī)變量的密度函數(shù)為，若，則稱為的數(shù)學(xué)期望，或稱為該分布的數(shù)學(xué)期望，簡稱期望或均值。若不收斂，則稱的數(shù)學(xué)期望不存在。
均勻分布的數(shù)學(xué)期望：
性質(zhì)2
方差定義：若隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望存在，稱偏差平方的數(shù)學(xué)期望為隨機(jī)變量(或相應(yīng)分布）的方差，記為
性質(zhì)2 均勻分布的方差：
性質(zhì)3
隨機(jī)變量的分布函數(shù)連續(xù)，且嚴(yán)格單調(diào)增加，則
性質(zhì)4
即若則反之，若則
相關(guān)概念
正態(tài)分布
正態(tài)分布（normal 廣義函數(shù)）亦稱常態(tài)分布、誤差分布、高斯分布。
定義：若隨機(jī)變量取不超過實(shí)數(shù)的值的事件概率為
式中為實(shí)參數(shù)，且，則的分布稱為（一維）正態(tài)分布，簡記為
密度函數(shù)：
實(shí)參數(shù)分別是正態(tài)分布的數(shù)學(xué)期望和方差，所以正態(tài)分布是由其數(shù)學(xué)期望和方差唯一確定的。
當(dāng)時(shí)，正態(tài)分布，即，稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。
與均勻分布的關(guān)系：
其中獨(dú)立同服從均勻分布
韋布爾分布
定義：若隨機(jī)變量的分布密度為，則稱服從韋布爾分布（Weibull 廣義函數(shù)）。
其中稱為形狀參數(shù)，稱為位置參數(shù)，稱為尺度參數(shù)，其分布函數(shù)為：
與均勻分布的關(guān)系：隨機(jī)變量服從韋布爾分布的充分必要條件為：，其中服從均勻分布
指數(shù)分布
指數(shù)分布（exponentialdistribution）是韋布爾分布的特殊情況，即分布密度中的韋布爾分布。
定義：若隨機(jī)變量的密度函數(shù)為，其中參數(shù)為正的常數(shù)，則稱服從指數(shù)分布，相應(yīng)的分布函數(shù)為：
與均勻分布的關(guān)系：隨機(jī)變量服從指數(shù)分布的充分必要條件為：，其中服從均勻分布
貝塔分布
定義：若隨機(jī)變量的分布密度為
其中，是伽馬函數(shù)，為分布參數(shù)。由于的形式與貝塔函數(shù)的積分表示有密切聯(lián)系，故稱服從貝塔分布。它的數(shù)學(xué)期望為，方差為
與均勻分布的關(guān)系：隨機(jī)變量服從貝塔分布的充分必要條件為：，其中
獨(dú)立同服從均勻分布
相關(guān)定理
均勻分布的相關(guān)定理
伯努利分布的定義：設(shè)隨機(jī)變量只可能取和兩個(gè)值，且分布律為和，則稱隨機(jī)變量服從伯努利分布（或兩點(diǎn)分布，分布）。
均勻分布的相關(guān)定理：任一概率空間上的隨機(jī)變量服從上的均勻分布的充要條件為：
存在上的隨機(jī)變量序列獨(dú)立同伯努利分布，且可以表示成無窮級數(shù)的形式。
相關(guān)定理的應(yīng)用
均勻分布可應(yīng)用于產(chǎn)生上服從均勻分布的隨機(jī)數(shù)。
例如，要產(chǎn)生一個(gè)服從均勻分布上的隨機(jī)數(shù)，可以先產(chǎn)生個(gè)服從雅各布·伯努利分布的隨機(jī)數(shù)，各，隨后代入公式，即，計(jì)算即可得。
對任一概率空間上的隨機(jī)變量總存在上的獨(dú)立隨機(jī)變量序列使得同分布。
（證明過程略，見參考資料）
相關(guān)推廣
聯(lián)合密度函數(shù)的定義：給定二維連續(xù)型隨機(jī)變量，如果存在一個(gè)定義域?yàn)檎麄€(gè)平面的二元非負(fù)實(shí)值函數(shù)，使得的分布函數(shù)可以表達(dá)成：
，那么稱為連續(xù)型隨機(jī)變量的（概率）密度函數(shù)（或分布），或者稱為隨機(jī)變量與的聯(lián)合（概率）密度函數(shù)（或聯(lián)合分布）。
二維均勻分布
設(shè)為平面上的有界區(qū)域，其面積為，二維連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度為
，則稱服從區(qū)域上的均勻分布。
若在區(qū)域上服從均勻分布，則對于任一平面區(qū)域，有
其中為平面區(qū)域與的公共部分的面積。
特別地，對于內(nèi)任何子區(qū)域，有
n維均勻分布
設(shè)為中的一個(gè)有界區(qū)域，其度量（平面的為面積，空間的為體積等）為，如果維隨機(jī)變量的聯(lián)合密度函數(shù)為：
，則稱服從區(qū)域上的維均勻分布。
統(tǒng)計(jì)推斷
參數(shù)估計(jì)是統(tǒng)計(jì)學(xué)的重要概念之一，運(yùn)用從總體抽取的隨機(jī)樣本對總體分布中的未知參數(shù)值做出估計(jì)，可以將均勻分布等統(tǒng)計(jì)模型應(yīng)用于實(shí)踐，是一種重要的統(tǒng)計(jì)推斷方法。
矩估計(jì)
矩估計(jì)的定義：設(shè)總體具有概率分布函數(shù)其中是未知參數(shù)。若取自總體的一個(gè)樣本的階矩存在，則稱為的函數(shù)。
而階樣本矩為
再令
即可得到包含個(gè)未知參數(shù)的個(gè)方程，此方程組的解就可作為總體參數(shù)的估計(jì)量，這種估計(jì)稱為矩估計(jì)。
均勻分布的矩估計(jì)：設(shè)總體服從區(qū)間上的均勻分布,是總體的樣本，可得未知參數(shù)的矩估計(jì)量為：
最大似然估計(jì)
最大似然估計(jì)的定義：設(shè)總體的概率函數(shù)為其中是一個(gè)未知參數(shù)或幾個(gè)未知參數(shù)組成的參數(shù)向量,是參數(shù)空間,是來自該總體的樣本，將樣本的聯(lián)合概率函數(shù)看成的函數(shù)，記為稱為似然函數(shù)。如果某統(tǒng)計(jì)量滿足則稱為參數(shù)的最大似然估計(jì)量，這種估計(jì)稱為最大似然估計(jì)。
均勻分布的最大似然估計(jì)：設(shè)總體服從區(qū)間上的均勻分布,是總體的樣本，可得未知參數(shù)的最大似然估計(jì)量為：
區(qū)間估計(jì)
區(qū)間估計(jì)的定義：設(shè)是總體的分布函數(shù)，是變元，是參數(shù)。給定了一個(gè)概率數(shù)值，再由樣本確定兩個(gè)參數(shù)值及，使得對于給定值，滿足，則隨機(jī)區(qū)間稱為參數(shù)的置信區(qū)間或區(qū)間估計(jì)。
均勻分布的區(qū)間估計(jì)：設(shè)總體服從區(qū)間上的均勻分布,為來自總體的容量為的一個(gè)簡單隨機(jī)樣本，次序統(tǒng)計(jì)量為通過計(jì)算可得參數(shù)的置信水平為的置信區(qū)間為其中，
應(yīng)用
現(xiàn)實(shí)生活
均勻分布因其各種結(jié)果發(fā)生的可能性相同，因此可以用來模擬現(xiàn)實(shí)生活中很多未知分布的問題，如候車問題。
若某班公交車的發(fā)車間隔為分鐘，不考慮中途路況的影響，則該公交到達(dá)車站的間隔為分鐘。在等車問題下，要考慮某個(gè)乘客甲到達(dá)車站后，等候公交車的平均等候時(shí)間，就需要用到均勻分布對其等候時(shí)間的分布進(jìn)行建模。
解：由于并不知道公交車究竟是上一輛剛剛離開（需要等候分鐘）還是下一輛即將到來（需要等待0分鐘），可得下一趟公交車的到來時(shí)間服從上的均勻分布，即該乘客需要等候時(shí)間的概率為進(jìn)一步計(jì)算可得到等候時(shí)間的期望為
遺傳學(xué)
在遺傳學(xué)上，人們經(jīng)常研究數(shù)量性狀，即在世代遺傳中呈連續(xù)性變異的性狀的規(guī)律性。數(shù)量遺傳學(xué)包括統(tǒng)計(jì)遺傳學(xué)和群體遺傳學(xué)兩部分，統(tǒng)計(jì)遺傳學(xué)主要研究數(shù)量性狀的遺傳和變異，研究各遺傳參數(shù)之間的關(guān)系及其估算方法，所應(yīng)用的方法是概率和統(tǒng)計(jì)學(xué)的基本方法。
利用計(jì)算機(jī)可進(jìn)行群體遺傳的計(jì)算和遺傳過程的模擬，原理是利用計(jì)算機(jī)所提供的隨機(jī)函數(shù)模擬自然界中的各種隨機(jī)現(xiàn)象，結(jié)合生物規(guī)律，產(chǎn)生模擬數(shù)據(jù)，模擬生命科學(xué)中的隨機(jī)現(xiàn)象。所謂的隨機(jī)函數(shù)的數(shù)值介于之間，每次產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)均勻分布，且各不相同。
在群體很小時(shí)，等位基因頻率會發(fā)生隨機(jī)波動(dòng)的現(xiàn)象，即產(chǎn)生遺傳漂變，會導(dǎo)致某基因座的基因固定（即基因頻率為）或丟失（即基因頻率為）。遺傳漂變來源于兩個(gè)隨機(jī)過程的發(fā)生，即親代個(gè)體基因型的確定和子代基因型的確定。
計(jì)算機(jī)科學(xué)
均勻分布在現(xiàn)代計(jì)算技術(shù)中有著重要的應(yīng)用，比較常見的應(yīng)用方法有如下幾種。
在舍入誤差中的應(yīng)用
由于數(shù)字計(jì)算機(jī)的字長有限，舍入誤差的分析在用于計(jì)算機(jī)解題時(shí)是必要的，在計(jì)算機(jī)的數(shù)值計(jì)算中，定點(diǎn)計(jì)算的舍入誤差，可以作為均勻分布的隨機(jī)變量。
蒙特卡羅方法
蒙特卡羅（Monte Carlo）方法是計(jì)算機(jī)計(jì)算中的一個(gè)重要方法，其理論依據(jù)是均勻分布的性質(zhì)之一，是基于隨機(jī)數(shù)序列抽樣的一種模擬計(jì)算方法，它不僅可以模擬自然界真實(shí)存在的隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，還可以通過構(gòu)建概率模型來模擬確定性問題。
參考資料 >