在概率論中，聯(lián)合分布描述了兩個(gè)或多個(gè)隨機(jī)變量同時(shí)發(fā)生的概率分布。對于定義在相同樣本空間的隨機(jī)變量X和Y，它們的聯(lián)合分布函數(shù)可以提供這兩個(gè)隨機(jī)變量在各種可能值組合下的概率。
二維隨機(jī)變量
設(shè)E是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，它的樣本空間是S={e}。設(shè)X=X(e)和Y=Y(e)是定義在S上的隨機(jī)變量，由它們構(gòu)成的一個(gè)向量（X,Y），叫做二維隨機(jī)向量或二維隨機(jī)變量。
定義
設(shè)(X,Y)是二維隨機(jī)變量，對于任意實(shí)數(shù)x,y，二元函數(shù)：
F(x,y) = P{(X<=x) 交 (Y<=y)} => P(X<=x, Y<=y)
稱為二維隨機(jī)變量(X,Y)的分布函數(shù)，或稱為隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合分布函數(shù)。
幾何意義
聯(lián)合概率分布的幾何意義在于，如果將二維隨機(jī)變量(X,Y)看成是平面上隨機(jī)點(diǎn)的坐標(biāo)，那么分布函數(shù)F(x,y)在(x,y)處的函數(shù)值就是隨機(jī)點(diǎn)(X,Y)落在以點(diǎn)(x,y)為頂點(diǎn)而位于該點(diǎn)左下方的無窮矩形域內(nèi)的概率。
離散隨機(jī)變量的聯(lián)合分布
對離散隨機(jī)變量而言，聯(lián)合分布概率質(zhì)量函數(shù)為Pr(X = x & Y = y)，即
P(X=x and Y=y)=P(Y=y|X=x)P(X=x)=P(X=x|Y=y)P(Y=y)。
因?yàn)槭?a href="/hebeideji/6525924666865961890.html">概率分布函數(shù)，所以必須滿足
∑x∑yP(X=x and Y=y)=1。
連續(xù)隨機(jī)變量的聯(lián)合分布
對連續(xù)隨機(jī)變量而言，聯(lián)合分布概率密度函數(shù)為fX,Y(x, y)，其中fY|X(y|x)和fX|Y(x|y)分別代表X = x時(shí)Y的條件分布以及Y = y時(shí)X的條件分布；fX(x)和fY(y)分別代表X和Y的邊緣分布。
同樣地，因?yàn)槭歉怕史植己瘮?shù)，所以必須滿足
∫x∫y fX,Y(x,y) dy dx=1。
獨(dú)立變量的聯(lián)合分布
若對于任意x和y而言，有離散隨機(jī)變量，
P(X=x and Y=y)=P(X=x) ?P(Y=y)
或者有連續(xù)隨機(jī)變量，
fX,Y(x,y)=fX(x)?fY(y)
則X和Y是獨(dú)立的。對于兩相互獨(dú)立的事件P(X)及P(Y)，這一性質(zhì)同樣適用。
多元聯(lián)合分布
二元聯(lián)合分布可以推廣到任意多元的情況X1, ..., Xn。多元聯(lián)合分布的概率密度函數(shù)可以表示為：
FX1,…,Xn(x1,…,xn)=fXn|X1,...,Xn-1(xn|x1,...,xn-1)fX1,...,Xn-1(x1,...,xn-1)。
這表明多元聯(lián)合分布可以通過逐個(gè)變量的條件分布和邊緣分布來構(gòu)建。
參考資料 >