反對稱矩陣定義是：A=-A’（A的轉置前加負號），它的第Ⅰ行和第Ⅰ列各數(shù)絕對值相等，符號相反。且主對角線上的元素為均為零。
設A為n維方陣，若有A'=-A，則稱矩陣A為反對稱矩陣。對于反對稱矩陣，它的主對角線上的元素全為零，而位于主對角線兩側對稱的元反號。反對稱矩陣具有很多良好的性質，如若A為反對稱矩陣，則A'，λA均為反對稱矩陣；若A,B均為反對稱矩陣，則A±B也為反對稱矩陣；設A為反對稱矩陣，B為對稱矩陣，則AB-BA為對稱矩陣；奇數(shù)階反對稱矩陣的行列式必為0。反對稱矩陣的特征值是0或純虛數(shù)，并且對應于純虛數(shù)的特征向量的實部和虛部形成的實向量等長且互相正交。
基本簡介
對稱矩陣定義是：（A的轉置）
對稱矩陣的元素.特性斜對稱矩陣自身相乘的積是對稱矩陣。任意矩陣是斜對稱矩陣。若A是斜對稱矩陣，x是向量，斜對稱矩陣的主對角線元素必是零，所以其跡數(shù)為零。行列式若A是的斜對稱矩陣，其行列式滿足若n是奇數(shù)，行列式等于零。這個結果叫雅可比定理。若n是偶數(shù)，行列式可以寫成部分元素的多項式的平方：。這個多項式叫A的Pfaffian。任意實斜對稱矩陣的行列式是非負數(shù)。譜理論斜對稱矩陣的特征根永遠以成對的形式（）出現(xiàn)，因此一個實數(shù)斜對稱矩陣的非零特征根為純虛數(shù)將會如下，其中λk是實數(shù)。實斜對稱矩陣是正規(guī)矩陣（它們與伴隨矩陣可交換），因此滿足譜定理的條件，它說明任何實斜對稱矩陣都可以用一個酉矩陣對角化。由于實斜對稱矩陣的特征值是復數(shù)，因此無法?用實矩陣來對角化。然而，通過正交變換，可以把每一個斜對稱矩陣化為方塊對角線的形式。特別地，每一個的實斜對稱矩陣都可以寫成的形式，其中Q是正交矩陣，且：對于實數(shù)λk。這個矩陣的非零特征值是。在奇數(shù)維的情況中，Σ總是至少有一個行和一個列全是零。
定義
設，若其中元素滿足，則稱A是對稱矩陣；若其元素滿足，則稱A為反對稱矩陣。
若A是反對稱矩陣，則，當時，便有，即反對稱矩陣主對角線上的元全為零，而位于主對角線兩側對稱的元反號。
基本性質
反對稱矩陣性質1
設A,B為反對稱矩陣，則仍為反對稱矩陣。
證明過程：
設A,B為反對稱矩陣，即有
則
至此，根據(jù)反對稱矩陣的定義可得，為反對稱矩陣。
反對稱矩陣性質2
設A為反對稱矩陣，則仍為反對稱矩陣。
證明過程：
設A為反對稱矩陣，即有
則有
至此，根據(jù)反對稱矩陣的定義可得，仍為反對稱矩陣。
反對稱矩陣性質3
設A為反對稱矩陣，B為對稱矩陣，則AB-BA為對稱矩陣。
證明過程：
已知A為反對稱矩陣，B為對稱矩陣，即有
故有：
至此，根據(jù)反對稱矩陣的定義可得，為對稱矩陣。
反對稱矩陣注意事項
（1）設A,B為反對稱矩陣，AB不一定是反對稱矩陣。
（2）設A為反對稱矩陣，若A的階數(shù)為奇數(shù)，則A的行列式為0；A的階數(shù)為偶數(shù)，則根據(jù)具體情況計算。
定理及其證明
反對稱矩陣定理1
奇數(shù)階反對稱矩陣的行列式必為0。
證明過程：
設A為反對稱矩陣，即有
故有
當n為奇數(shù)時，就由，于是。
反對稱矩陣定理2
反對稱矩陣的特征值是0或純虛數(shù)，并且對應于純虛數(shù)的特征向量的實部和虛部形成的實向量等長且互相正交。
證明：
（1）設實反對稱矩陣A的特征值，相應的特征值向量，其中u，v是實向量。那么由得到
即
分別等置兩邊的實部和虛部得到
于是
因為（點積），所以上二式相加得到
又因為，所以
從而。類似地可以知道。因此
于是由推出a=0，從而。
（2）由（1）中可得，所以，即
于是
因為，所以。
此外。由以及可知，即u，v正交。
參考資料 >