在線性代數中，一個方形矩陣的伴隨矩陣（英語：adjugate matrix）是一個類似于逆矩陣的概念。如果矩陣可逆，那么它的逆矩陣和它的伴隨矩陣之間只差一個系數。然而，對于任意方陣（包括不可逆的矩陣），伴隨矩陣都有定義，并且不需要用到除法。A的伴隨矩陣記作adj(A)，或A*。
定義
設R是一個交換環，A是一個以R中元素為系數的n×n的矩陣。A的伴隨矩陣可按如下步驟定義：
定義：A關于第i行第j列的余子式（記作M??）是去掉A的第i行第j列之后得到的(n?1)×(n?1)矩陣的行列式。
定義：A關于第i行第j列的代數余子式是：
C??=(?1)???M??。
定義：A的余子矩陣是一個n×n的矩陣C，使得其第i行第j列的元素是A關于第i行第j列的代數余子式。
引入以上的概念后，可以定義：矩陣A的伴隨矩陣是由A的各元素的代數余子式所構成的矩陣的轉置，記作adj(A)=C?。也就是說，A的伴隨矩陣是一個n×n的矩陣（記作adj(A)），使得其第i行第j列的元素是A關于第j行第i列的代數余子式。簡言之，伴隨矩陣就是把原來矩陣每一行的代數余子式豎著寫：
[adj(A)]??=C??。
例子
2x2矩陣
2x2矩陣：
它的伴隨矩陣：
3x3矩陣
對于3x3的矩陣，情況稍微復雜一點：
其伴隨矩陣是：
其中
要注意伴隨矩陣是余子矩陣的轉置，因此第3行第2列的系數是A關于第2行第3列的代數余子式。
具體情況
對于數值矩陣，例如求矩陣的伴隨矩陣adj(A)，只需將數值代入上節得到的表達式中。即：
只需將數值代入上節得到的表達式中。
即：adj(A)??=C??=（?1）???(M??)。
其中，M??為刪掉矩陣?{\displaystyle A}?的第i橫列與第j縱行后得到的行列式，C??為矩陣A的余因子。
例如adj(A)中第3行第2列的元素為
依照其順序一一計算，便可得到計算后的結果是：
應用
作為拉普拉斯公式的推論，關于n×n矩陣A的行列式，有：
A adj(A)=adj(A)A=det(A)I（?）
其中I是n階的單位矩陣。事實上，A adj(A)的第i行第i列的系數是
根據拉普拉斯公式，等于A的行列式。
如果i ≠ j，那么A adj(A)的第i行第j列的系數是
拉普拉斯公式說明這個和等于0（實際上相當于把A的第j行元素換成第i行元素后求行列式。由于有兩行相同，行列式為0）。
由這個公式可以推出一個重要結論：交換環R上的矩陣A可逆當且僅當其行列式在環R中可逆。
這是因為如果A可逆，那么
1=det(I)=det(A A?1)=det(A?1)
如果det(A)是環中的可逆元那么公式（*）表明在矩陣可逆的情形下，伴隨矩陣與原矩陣只相差行列式倍（即A?1=det(A)?1adj(A)），這被稱作伴隨矩陣的“母公式”，在求解逆矩陣中有重要的作用。
性質
伴隨矩陣是矩陣理論及線性代數中的一個基本概念,是許多數學分支研究的重要工具，伴隨矩陣的一些新的性質被不斷發現與研究。對n×n的矩陣A和B，有：
1.adj(I)=I
2.adj(AB)=adj(B)adj(A)
3.adj(A?)=adj(A)?
4.det(adj(A))=det(A)??1
5.adj(kA)=k??1adj(A)
6.當n≥2時，adj(adj(A))=(det A)??2A
7.如果A可逆，那么adj(A)?1=A/detA
8.如果A是對稱矩陣，那么其伴隨矩陣也是對稱矩陣；如果A是反對稱矩陣，那么當n為偶數時，A的伴隨矩陣也是反對稱矩陣，n為奇數時則是對稱矩陣。
9.如果A是（半）正定矩陣，那么其伴隨矩陣也是（半）正定矩陣。
10.如果矩陣A和B相似，那么adj(A)和adj(B)也相似。
11.如果n≥2，那么非零矩陣A是正交矩陣當且僅當adj(A)=±A?。
秩
當矩陣A可逆時，它的伴隨矩陣也可逆，因此兩者的秩一樣，都是n。當矩陣A不可逆時，A的伴隨矩陣的秩通常并不與A相同。當A的秩為n-1時，其伴隨矩陣的秩為1，當A的秩小于n-1時，其伴隨矩陣為零矩陣。
特征值
設n階可逆方陣A在復域中的特征值為λ?，λ?…λ?(即為特征多項式的n個根），則A的伴隨矩陣的特征值為
λ?λ?…λ?，λ?λ?…λ?，…，λ?λ?…λ???。
特征多項式
設p(t)=det(A-tI)為A的特征多項式，定義q(t)=(p(0)-p(t))/t，那么：
adj(A)=q(A)=-(p?I+p?A+p?A2+…+p?A??1)，
其中p?是p(t)的各項系數：
p(t)=p?+p?t+p?t2?+…p?t?。
參考資料 >
伴隨矩陣.博客園.2021-11-26