乘積（拼音chéngjī），英語稱作 product。在初等算術中的基本定義為，由兩個或兩個以上的數或量相乘所得出的數或量。在算術中稱為積。一般地，將自然數a乘以自然數b，即b個a相加，b個a相加的和叫做a與b的積，記為a×b或a·b，求積的運算叫做乘法。
算術的起源可追溯到遠古時代，公元前3000~前2100年之間，巴比倫人已掌握算術知識，美索不達米亞的考古學家發掘了300多塊用楔形文字刻寫的粘土純粹數學書板，記錄有十進法和六十進法混合的記數法與整數的加、減、乘、除運算，以及一些面積、體積的計算等。中國商代（約公元前16世紀~約公元前1066）甲骨文中已有數字的記載。古人用算籌記數和進行加、減、乘、除運算，稱為籌算。1983~1984年間，在中國湖北省江陵出土的竹簡《算術書》（約成書于公元前150年）是中國現存的最古的算術書，書中已有分數（分乘、合分、經分）、面積（里田、禾田）和一些有關的計算。
在乘法中被乘數和乘數是平等的，被乘數和乘數都叫做積的因子。乘積具有分配性、結合性、交換性、單調性和唯一性等性質。積的運算法則指因數的倍數變化引起積的倍數變化的規律。其規律是：1.若一個因數擴大（或縮小）若干倍,另一個因數不變，則它們的積也擴大（或縮小）相同的倍數。2.若一個因數擴大（或縮小）若干倍，另一個因數縮小(或擴大)相同的倍數，則它們的積不變。
定義
乘積是數學中多個不同概念的稱呼。算術中，兩個數或多個數相乘得到的結果稱為它們的積或乘積。當相乘的數是實數或復數的時候，相乘的順序對積沒有影響，這稱為交換性。當相乘的是四元數或者矩陣，或者某些代數結構里的元素的時候，順序會對作為結果的乘積造成影響，這說明這些對象的乘法沒有交換性。
當相乘的對象多于兩個的時候，常常使用連乘號∏（大寫的π）表示。就如同多個對象的加法使用∑作為符號一樣。一般約定，相乘的對象只有一個的時候，乘積是對象本身；沒有相乘的對象時也可以約定所謂的“空積”為1。
代數對象的積
各種代數結構中的對象可以通過定義不同的二元運算得到不同的積。比如說，平面向量可以定義點積，三維向量可以定義叉積和混合積。常見的積還包括：
代數結構的積
在研究抽象代數中的代數結構時，常常會用到代數結構的積的概念。兩個代數結構的積，一般定義為將兩個代數結構里的元素通過一個二元映射對應為一個新的元素，然后將新的元素通過適當的規則組成的新的代數結構。如果兩個代數結構的元素個數都是有限個，那么它們的積的元素個數將會是它們分別元素個數的乘積。這也是這種新代數結構被稱為積的原因之一。
常見的代數結構的積有：
代數學定義
乘積的概念取決于“乘法”概念的定義。當人們將乘法的對象集合提升為更一般的集合，諸如群、環、域等時，乘積的概念也將有所變化。
設A是一個集合，我們定義乘法F:A ×A→A,即一個從A與自身的勒內·笛卡爾積到A的映射。設(x,y)∈A×A，那么我們稱像元素F(x,y)為x和y的乘積，簡記為xy。
例子
1. 整數上兩個元素的乘積就是通常的定義。
2. 矩陣的乘積仍是一個矩陣，它的計算方式則是按照通常的矩陣乘法。
3. 兩個函數的卷積也能視為某種乘法，從而其乘積也是一個函數。
參考資料 >