數值積分，求定積分的近似值的數值方法。即用被積函數的有限個抽樣值的離散或加權平均近似值代替定積分的值。
簡介
求某函數的定積分時，在多數情況下，被積函數的原函數很難用初等函數表達出來，因此能夠借助微積分學的牛頓-萊布尼茲公式計算定積分的機會是不多的。另外，許多實際問題中的被積函數往往是列表函數或其他形式的非連續函數，對這類函數的定積分，也不能用不定積分方法求解。由于以上原因，數值積分的理論與方法一直是計算數學研究的基本課題。對微積分學作出杰出貢獻的數學大師，如I.艾薩克·牛頓、L.萊昂哈德·歐拉、C.F.高斯、約瑟夫·拉格朗日等人都在數值積分這個領域作出了各自的貢獻，并奠定了這個分支的理論基礎。
構造數值積分公式最通常的方法是用積分區間上的n?次插值多項式代替被積函數，由此導出的求積公式稱為插值型求積公式。特別在節點分布等距的情形稱為艾薩克·牛頓柯茨公式，例如梯形公式(Trapezoidal?Approximations)與拋物線公式(Approximations?Using?Parabolas)就是最基本的近似公式。但它們的精度較差。龍貝格算法是在區間逐次分半過程中，對梯形公式的近似值進行加權平均獲得準確程度較高的積分近似值的一種方法，它具有公式簡練、計算結果準確、使用方便、穩定性好等優點，因此在等距情形宜采用龍貝格求積公式(Rhomberg?Integration)。當用不等距節點進行計算時，常用高斯型求積公式計算，它在節點數目相同情況下，準確程度較高，穩定性好，而且還可以計算無窮積分。數值積分還是微分方程數值解法的重要依據。許多重要公式都可以用數值積分方程導出。
公式
用被積函數的有限個抽樣值的離散和或加權平均值近似地代替定積分的值。在求函數?(x)的定積分時，常常無法用初等函數表示原函數，因此能按牛頓-萊布尼茨公式(1)
計算積分值的定積分是不多的。另外，當?(x)是列表函數時，也不能使用式(1)計算它的積分值。上述事實說明，必須研究近似估算積分的數值積分方法。歷史上，阿基米德、I.艾薩克·牛頓、L.萊昂哈德·歐拉、C.F.高斯、∏.Л.切比雪夫等人都對此有過貢獻。
數值積分公式? 一般是形如(2)的近似公式，又稱求積公式,xj和分別稱為求積結點和求積系數，通常;式(2)右端稱為求積和；兩端之差
稱為求積余項或求積誤差；區間【α，b】可以是有限的或無限的。構造求積公式的問題就是確定xj和Aj使得 E(?)在某種意義下盡可能地小。
代數精度
若式(2)對?(x)＝xk (k=0,1,…,d)精確成立，亦即E(?)=0，而當?(x)=x時(2)不再是精確等式，則說求積公式(2)的代數精度是d。根據K.卡爾·魏爾施特拉斯的多項式逼近定理，就一般的連續函數?而言,d越大E(?)越小，因此可以用代數精度的高低說明求積公式的優劣。
插值求積
通過插值途徑構成的求積公式。用?(x)的以x0,x1,…,xm為結點的插值多項式
,
,
,
近似替代?(x)后，經過積分可以得到形如(2)的插值型求積公式，其中求積系數
。 (3)
特別，若所有的xj都屬于,則稱它為內插型求積公式。這是一類最基本的求積公式。由于個結點的插值型求積公式的代數精度至少是m,所以具有一定代數精度的求積公式總是存在的。
牛頓科茨
等距結點情形下的權函數為1的內插型求積公式。設為有限區間，ω(x)1。取,Aj由式(3)確定，則求積公式
(4)
稱為上的點艾薩克·牛頓科茨公式，它的代數精度至少是m。當時，式(4)變成
,
此式右端等于以?(α)和?(b)為底，以b-α為高的梯形的面積值，故通稱為梯形公式，它的代數精度是1。若?″(x)在上連續，則通過積分插值余項，可知它的求積誤差為
。
當m=2時，式(4)變成
，
這是辛普森公式，由于求積結點選得恰當，它的代數精度是3。當?(4) (x)在［］上連續時，它的求積誤差為
。
當m≥10，牛頓-科茨公式中的求積系數總有一些是負的。這樣的公式在計算上會帶來較大的誤差，一般不被采用。
由上述兩個求積公式的誤差表達式看出，積分區間越小，求積誤差就越小。因此為了提高求積精度，可使用復化求積公式。若用分點將【α,b】n等分，然后對每個子區間【xj,xj+1】應用梯形公式，并對i=0,1,…,n-1求和，即得復化梯形公式
。
若用分點 將等分，然后對聯區間應用辛普森公式，并對求和，即得復化辛普森公式
逐次分半算法和龍貝格公式? 遞推關系和逐次分半算法是數值方法的重要技巧，可用以節省計算時間和計算機的存儲量。龍貝格求積方法正是利用逐次分半算法和遞推關系構成的一種在現代計算機上十分有效的數值積分法。
下面以梯形公式為例說明逐次分半算法。在整個區間上應用梯形公式算出積分近似值T1；將二等分,應用n=2的復化梯形公式算出T2；再將每個小區間二等分（即將四等分），應用n=4的復化梯形公式算出T4，如此進行，可得T1,T2,T4,…。在計算T2n時可利用已算出的Tn值：
,
式中
為復化中矩形公式，這樣，只需要計算?(x)的n個新值即可從Tn得到T2n。顯然，逐次分半算法充分地利用了前次的計算結果。
比較復化公式S2n、T2n和Tn發現, 適當地組合T2n與Tn可得到代數精度為3的辛普森公式，即有
同樣，適當組合S4n與S2n可得到代數精度為5的求積公式
如此可以引出一系列新公式（遞推關系）：
此處,T呏Tn。上式的代數精度是。通常稱上式為逐次分半加速公式或龍貝格公式。實際計算可按表1所示進行：當對角線上相鄰兩個近似值和之差的絕對值小于允許誤差時，計算即可停止，并取為積分近似值。
高斯型
一類具有最高的代數精度的內插型求積公式（表2）。求積公式(2)含有個自由參數（xj和Aj），恰當選擇這些參數，能使公式(2)的代數精度達到。高斯求積理論中的一個基本定理斷言：只要把結點取為區間上關于權函數ω(x)的次正交多項式的零點，內插型求積公式(2)即達到最高代數精度。這里可以是有限或無限區間，ω(x)為取正值的權函數。
許多有關數值積分的論著都列舉出各種高斯型公式的結點和系數的數值?？梢宰C明：對每個連續函數，當結點個數趨于無窮時，高斯型公式所給出的近似值序列收斂到相應積分的精確值，而牛頓－科茨公式則不具有這種性質。
參考資料 >