橢圓型偏微分方程（elliptic partial differential equation），簡稱橢圓型方程，是一類重要的偏微分方程。其一般形式為：
此處假定，系數(shù)A，B，C可以是，和的函數(shù)。
橢圓型偏微分方程分為線性和非線性兩種，其解法多樣，有分離變量法、特征線法、有限元法等等。
早在1900年D.戴維·希爾伯特（David Hilbert，1862~1943）提的著名的23個(gè)問題中，就有三個(gè)問題（第19、20、23問題）是關(guān)于橢圓型方程與變分法的。八十多年來，橢圓型方程的研究獲得了豐碩的成果。橢圓型方程在流體力學(xué)、彈性力學(xué)、電磁學(xué)、幾何學(xué)和變分法中都有應(yīng)用。
典型方程
拉普拉斯方程
拉普拉斯方程是橢圓型方程最典型的特例。
許多定常的物理過程，如穩(wěn)定的熱傳導(dǎo)過程、牛頓引力理論及電磁理論中的位勢、彈性薄膜的平衡、不可壓流體的定常運(yùn)動(dòng)等，提出形如
（2-1）
的方程，稱之為拉普拉斯方程。
容易得到方程（1）和的一些特解。由于方程是線性的，因此可以由已知的一些特解疊加而得到新的解。積分也是一種疊加。通過積分型疊加，便可得到方程（1）的如下的重要解：
（2-2）
式中S為一曲面，μ為定義在S上的連續(xù)函數(shù)。由（2-3）確定的函數(shù)u在S以外的地方滿足方程（2-1）。
泊松方程（Poisson方程）
泊松方程是數(shù)學(xué)中一個(gè)常見于靜電學(xué)、機(jī)械工程和理論物理的偏微分方程。是從法國數(shù)學(xué)家、幾何學(xué)家及物理學(xué)家泊松而得名的。泊松方程為
在這里代表的是拉普拉斯算子，而f和可以是在流形上的實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)值的方程。
如果沒有f，這個(gè)方程就會(huì)變成拉普拉斯方程=0。
數(shù)學(xué)上，泊松方程屬于橢圓型方程（不含時(shí)一次方程）。
泊松首先在無引力源的情況下得到泊松方程，（即拉普拉斯方程）；當(dāng)考慮引力場時(shí)，有（f為引力場的質(zhì)量分布）。后推廣至電場磁場，以及熱場分布。該方程通常用格林函數(shù)法求解，也可以分離變量法，特征線法求解。
波動(dòng)方程
波動(dòng)方程或稱波方程（wave equations）是由麥克斯韋方程組導(dǎo)出的、描述電磁場波動(dòng)特征的一組微分方程，是一種重要的偏微分方程，主要描述自然界中的各種波動(dòng)現(xiàn)象，包括橫波和縱波，例如聲波、光波和水波。
波動(dòng)方程抽象自聲學(xué)、電磁學(xué)和流體力學(xué)等領(lǐng)域。歷史上許多科學(xué)家，如讓·達(dá)朗貝爾、萊昂哈德·歐拉、丹尼爾·伯努利和約瑟夫·拉格朗日等在研究樂器等物體中的弦振動(dòng)問題時(shí)，都對波動(dòng)方程理論作出過重要貢獻(xiàn)。弦振動(dòng)方程是在18世紀(jì)由達(dá)朗貝爾（d’Alember）等人首先系統(tǒng)研究的，它是一大類偏微分方程的典型代表。
一維波動(dòng)方程的形式與一維熱傳導(dǎo)方程式的類似，只需把關(guān)于時(shí)間變量的一階導(dǎo)數(shù)換成二階導(dǎo)數(shù)即可得到一維波動(dòng)方程，即
這里假設(shè)波動(dòng)方程描繪長度為1的振動(dòng)弦的振動(dòng)情形，在不振動(dòng)的時(shí)候弦是水平放在裝置上的（稱之為弦的平衡態(tài)）。弦可以沿著鉛直方向上下振動(dòng)，表示t時(shí)刻弦在位置x處偏離平衡態(tài)的位移，表示t時(shí)刻弦在位置x處的運(yùn)動(dòng)速度，表示t時(shí)刻弦在位置x處張力的垂直分量。
邊界條件表示弦在左端點(diǎn)是固定不動(dòng)的（因?yàn)槲灰瓶倿榱悖Ｍ恚硎鞠以谟叶它c(diǎn)是固定不動(dòng)的，邊界條件則表示在右端點(diǎn)是自由的（受到的力為零）。因?yàn)槭嵌A偏微分方程，所以無論是未知函數(shù)還是初值都有兩個(gè)，是弦的初始位移函數(shù)，是弦的初始速度函數(shù)。
二階橢圓型方程?
形如（2-3）
的方程，若（αij（x））為正定的矩陣，則稱為橢圓型的；若（αij（x）） 的最大特征值與最小特征值之比有界，則方程（8）稱為一致橢圓型的。
二階橢圓型方程的研究甚早，在50年代以前，對方程（2-3）的一些基本邊值問題的可解性就獲得某些成果。在幾十年的發(fā)展中，建立了各種解法，例如，紹德爾方法、泛函方法、差分法、變分法、積分方程法，等等。
紹德爾方法是建立在紹德爾估計(jì)之上的。設(shè)Ck+α表示k次連續(xù)可微且k階導(dǎo)數(shù)α赫德爾連續(xù)的函數(shù)類，又設(shè)Ω是Rn中的C2+α區(qū)域，方程（2-3）的所有系數(shù)和自由項(xiàng)都屬于Cα。所謂紹德爾估計(jì)，是指若方程（2-3）在Ω中有解u，并且，則
式中с是一個(gè)與方程（8）和區(qū)域有關(guān)的常數(shù)。
在上述假設(shè)下，由泊松方程具有解u以及一般一次方程的極值原理，當(dāng)с≤0時(shí)可以得的估計(jì)。因此利用紹德爾估計(jì)和參數(shù)的連續(xù)開拓就可以證明方程（8）的狄利克雷問題的解的存在性。作為極值原理的一個(gè)直接推論：當(dāng)с≤0時(shí)狄利克雷問題的解是惟一的。
泛函方法肇端于K.O.弗里德里希斯1934年關(guān)于對稱橢圓算子半有界擴(kuò)張的工作。赫爾曼·外爾（Hermann Weyl），舍蓋·索伯列夫（Серге?й Льво?вич Со?болев）、C.Γ.米赫林和М.И.維希克等人在40年代末期的進(jìn)一步研究表明，解橢圓型方程的基本邊值問題等價(jià)于解形如x＋AX＝?的算子方程，其中A是希爾伯特空間的全連續(xù)算子。從而由泛函分析的里斯紹德爾理論得到橢圓型方程可解性的所謂“二擇一原理”。
高階橢圓型方程組?
形如下面的方程組
（10）
，此處，對一切x∈Ω，一切ξ∈Rn-[0]，是最一般線性橢圓型方程組。這個(gè)定義是И.Γ.彼得羅夫斯基給出的。
對于如此廣泛的方程組，有些人例如，L.赫爾曼德爾討論過它的一般邊值問題：
此處（x，D）是變系數(shù)的微分算子，nj與μ之間存在著某種關(guān)系。
這樣的邊值問題，一般經(jīng)典的弗雷德霍姆備擇定理不成立。維希克和L.尼倫伯格等人提出了一個(gè)子類，稱之為強(qiáng)橢圓組，對于它的某些基本邊值問題，弗雷德霍姆備擇定理是成立的。
近年來，研究在流形上定義的橢圓算子的一大成就是阿蒂亞－辛格指標(biāo)定理。
分類
可按不同的方式對偏微分方程分類。首先，偏微分方程可以分為線性的和非線性的，這是針對方程中偏導(dǎo)數(shù)的系數(shù)。若一個(gè)方程是F和它的偏導(dǎo)數(shù)的線性組合，就成為線性偏微分方程。
第二種分類是與導(dǎo)數(shù)法中求幾階導(dǎo)數(shù)有關(guān)，若此方程中所有的偏導(dǎo)數(shù)是一階的，則偏微分方程是一階的，若偏導(dǎo)數(shù)都是二階的，則偏微分方程是二階的。
方程求解
影響函數(shù)法
構(gòu)造影響函數(shù)的方法有兩種，一是鏡像法，另一是分離變量法。下面所考慮的影響函數(shù)均可應(yīng)用鏡像法構(gòu)造。
的影響函數(shù)：
其中是觀察點(diǎn)M（x，y，z）與電荷所在的點(diǎn)P（）之間的距離。
v（M，P）在Σ曲面所限的體域T內(nèi)處處正則且調(diào)和的函數(shù)。解為
。
的影響函數(shù)
其中為點(diǎn)M（x，y）與點(diǎn)之間的距離。
v（M，P）在D內(nèi)處處正且調(diào)和的函數(shù)，其解為
。
的影響函數(shù)
其中為M（x，y，z）與點(diǎn)之間的距離，為點(diǎn)M（x，y，z）與之間的距離。
其解為
的影響函數(shù)
其中為點(diǎn)M與點(diǎn)P之間的距離，為點(diǎn)M與點(diǎn)P之間的距離，為點(diǎn)M與點(diǎn)之間的距離，點(diǎn)P與點(diǎn)關(guān)于球面r=R對稱（如下圖）其解為
這里S是球面r=R。
若引入以球心為坐標(biāo)原點(diǎn)的球坐標(biāo)系，則M點(diǎn)為，P點(diǎn)為又設(shè)矢徑與的夾角為。這時(shí)
對球外問題的解為
式中點(diǎn)在球外，點(diǎn)在球內(nèi)
的影響函數(shù)
其中點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于圓C對稱。
為點(diǎn)與之間的距離，為點(diǎn)與之間的距離。問題的解為
對于圓外第一問題也可得類似的公式。
的影響函數(shù)
其中，為點(diǎn)與之間的距離，為點(diǎn)與之間的距離。問題的解為
。
分離變量法
1.圓域的狄利克雷問題
引進(jìn)以圓心為極點(diǎn)的極坐標(biāo)（），則拉普拉斯方程可寫成
其解為
其解為
2.圓域的諾依曼問題
其解為
而外問題的解為
3.圓環(huán)域的狄利克雷問題
其中
問題的解為
差分法
設(shè)有二階橢圓型偏微分方程
其中R是（x，y）平面上一個(gè)開的有界連通渠（區(qū)域），邊界條件為
其中是區(qū)域R的邊界，表示邊界上的外法線方向?qū)?shù)。
為了作方程和邊界條件的差分逼近，首先作矩形網(wǎng)格，即在平面上，作一組平行于坐標(biāo)軸的直線：
記步長（不要求等距）為。
這些直線的交點(diǎn)稱為網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)，用逼近，用逼近R，其中是用線段鏈接適當(dāng)?shù)木W(wǎng)格節(jié)點(diǎn)而成，又成為的邊界。
對于的網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)，如果它的相鄰四點(diǎn)都屬于或者，則有差分逼近式：
其中
，，，，，
，
等等。
有限元法
有限元法首先成功地用于結(jié)構(gòu)力學(xué)和固體力學(xué)，之后又用于流體力學(xué)、物理學(xué)和其他工程科學(xué)。現(xiàn)在，有限元法和差分法一樣，已成為求解偏微分方程，特別是橢圓型偏微分方程的一種有效的數(shù)值方法。
差分法從定解問題的微分形式或積分形式出發(fā)，用數(shù)值導(dǎo)數(shù)或數(shù)值積分公式導(dǎo)出相應(yīng)的線性代數(shù)方程組，有限元法則是從定解問題的變分形式出發(fā)，用Ritz-Galerkin 法導(dǎo)出相應(yīng)的線性代數(shù)方程組，但基函數(shù)按特定方式選取。
有限元法的基本問題可歸納為：
（1）把問題轉(zhuǎn)化成變分形式；
（2）選定單元的形狀，對求解域作剖分；（一維情形的單元是小區(qū)間：二維情形的重要單元有兩種，即四邊形（矩形、任意凸四邊形）和三角形；三維單元就更復(fù)雜多樣了）；
（3）構(gòu)造基函數(shù)或單元形狀函數(shù)；
（4）形成有限元方程（Ritz-Calerkin方程），即線性代數(shù)方程組；
（5）提供有限元方程的有效解法；
（6）收斂性及誤差估計(jì)。
特征線法
特征線方法也是求解偏微分方程的一種基本方法。其本質(zhì)是沿偏微分方程的特征線積分以使方程的形式簡化，從而使其求解成為可能。它不僅適用于線性偏微分方程，而且也是求解非線性方程的一種有效方法。
相關(guān)概念
調(diào)和函數(shù)
拉普拉斯方程的解稱為調(diào)和函數(shù)。
如果二元函數(shù)f（x，y）在區(qū)域Ω內(nèi)有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)且滿足拉普拉斯方程，則稱f為區(qū)域Ω中的調(diào)和函數(shù)。通常對函數(shù)本身還附加一些光滑性條件，例如有連續(xù)的一階和二階偏導(dǎo)數(shù)。當(dāng)自變量為n個(gè)（從而區(qū)域是n維的）時(shí)，則稱它為n維調(diào)和函數(shù)。例如，n=2時(shí)，調(diào)和函數(shù)u（x，y）在某平面區(qū)域內(nèi)滿足方程。
若所考慮的區(qū)域包含一個(gè)閉圓域，例如x+y≤R，則有下列關(guān)于調(diào)和函數(shù)的平均值公式，即u（x，y）在圓心的值等于圓周上的積分平均值。
更一般地，圓內(nèi)任何一點(diǎn)（0≤r 當(dāng)偏微分方程的真解未知，或方程的部分系數(shù)、初邊值條件及求解區(qū)域未知時(shí)，我們把這種問題稱為偏微分方程反問題。橢圓型方程反問題的研究最早期是Hadamard在20世紀(jì)20年代研究線性偏微分方程Cauchy問題時(shí)提出的。蘇聯(lián)院士Tikhonov于20世紀(jì)40年代前率領(lǐng)他的研究小組對此問題的理論展開研究，最終在60年代提出了Tikhonov變分正則化方法，這種方法到目前為止仍然廣泛使用。并于70年代出版了反演理論的經(jīng)典專著《Solutions of Ill-posed Problems》。迭代正則化方法是關(guān)于反演理論和方法的另一個(gè)研究方向，近年來逐漸發(fā)展起來的方法有梯度型方法和Newton方法等。 中國最早是由中國科學(xué)院院士馮康先生于20世紀(jì)80年代初期所倡導(dǎo)的偏微分方程參數(shù)反演問題的研究。之后， 在相關(guān)的領(lǐng)域也展開了有關(guān)于橢圓型偏微分方程參數(shù)反演的理論和基本方法的研究。 偏微分方程反問題的求解已經(jīng)發(fā)展了各種方法，諸如脈沖譜技術(shù)（PST）、廣義脈沖譜技術(shù)（GPST）、最佳攝動(dòng)量法、蒙特卡洛方法（Monte Carlo method）、各種優(yōu)化方法和正則化方法等。 生成結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格 微分方程網(wǎng)格生成方法是網(wǎng)格生成中的一類經(jīng)典方法。這一類方法利用微分方程的解析性質(zhì)，如調(diào)和函數(shù)的光順性、變換中的正交不變性等，進(jìn)行物理空間到計(jì)算空間的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，所生成的網(wǎng)格較代數(shù)網(wǎng)格光滑、合理，通用性強(qiáng)。微分方程網(wǎng)格方法根據(jù)所采用方程的不同，分為橢圓型方程方法、雙曲型方程方法、拋物化方法等，其中橢圓型方程方法在實(shí)際工作中應(yīng)用最為廣泛。 橢圓型方程方法最早由Winslow在1967年提出，其后Thompson、Thames及 Martin 對該方法做了全面、系統(tǒng)的研究，并提出以他們?nèi)嗣?TTM方法，開創(chuàng)了網(wǎng)格生成研究領(lǐng)域的新局面。 用橢圓型方程生成網(wǎng)格時(shí)，輸入條件：計(jì)算平面上的ζ、η方向上的節(jié)點(diǎn)數(shù)和節(jié)點(diǎn)位置。在計(jì)算平面上網(wǎng)格都是均勻劃分的；物理平面計(jì)算區(qū)域邊界上的節(jié)點(diǎn)設(shè)置反映出對網(wǎng)格疏密布置的要求。輸出結(jié)果：找出計(jì)算平面上節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)與物理平面上節(jié)點(diǎn)（x，y）之間的對應(yīng)關(guān)系。 彈性力學(xué)基本方程 彈性力學(xué)問題可以歸結(jié)為在一定邊界條件下的求解偏微分方程，他的基本方程為一組橢圓型偏微分方程。彈性力學(xué)方程除了在一些比較簡單的求解區(qū)域和邊界條件的情況下，可以得到其解析解外，工程中遇到的大部分問題，都難以得到其解析解。為求解彈性力學(xué)方程，工程實(shí)際中廣泛采用數(shù)值求解技術(shù)。 熱傳導(dǎo)方程 在描述熱傳導(dǎo)問題時(shí)，穩(wěn)態(tài)的熱傳導(dǎo)方程：，是橢圓型的偏微分方程；而非穩(wěn)態(tài)的導(dǎo)熱方程：，是拋物型的偏微分方程。 對于剛性滲流問題，有 因此滲流物質(zhì)守恒方程在非均質(zhì)地層中的表達(dá)式為 這是一種橢圓型偏微分方程，是研究剛性滲流問題的一般方程。如果地層是均質(zhì)的，粘度為常數(shù)，則上式可進(jìn)一步簡化為 這就是Laplace方程，是單相流體滲流方程的最簡單形式 參考資料 >橢圓型偏微分方程反問題
應(yīng)用
數(shù)學(xué)
物理
工程