一階偏微分方程是最簡單的一類偏微分方程。一個未知函數u(x)=u(x1,x2,…, xn)所適合的一組一階偏微分方程。
方程簡介
最簡單的一類偏微分方程。一個未知函數u(x)=u(x1,x2,…, xn)所適合的一組一階偏微分方程即
, (1)
式中(Rn之開集)，u是實值函數，。適合(1)的函數u稱為其解。單個擬線性方程
(2)
是式(1)的重要特例。解u=u(x)定義了D×R中一個曲面，稱為(1)的積分曲面，是其上一點(x,u)處的法線方向數，(α1，α2，…，αn,b))則定義一個方向場，稱為特征方向場。式(2)表明積分曲面在其各點上均與該方向場相切。特征方向場的積分曲線，稱為(2)的特征曲線。它們是常導數方程組(特征方程)
(3)
的積分曲線。由上所述，可見式(2)的積分曲面是由式(3)的積分曲線織成的。反之，若一曲面u=u(x)是由(3)之積分曲線織成的，則必為式(2)的積分曲面。因此式(3)的討論對研究偏微分方程(2)有特別的重要意義。
式(2)的定解問題中，最重要的是柯西問題，即在U中給定一個n－1維子流形 у及其上的函數φ(x)，要求式(2)的解u=u(x)滿足以下的附加條件（初始條件）：
。 (4)
從幾何上看，集是U×R中一個給定的n－1維子流形，而條件(4)即要求積分曲線(它是U×R中的一個n維子流形)通過Γ。
柯西問題的解的局部存在的條件從幾何上看是很清楚的：若在(x0, u0)∈Γ附近,則在該點附近特征向量場微分同胚于平行向量場，特征曲線族則微分同胚于平行直線族。如果Γ在(x0,u0)附近橫截（即不平行）于該平行直線族，就可以以Γ為底，以該平行直線為“母線”作一“柱面”。它就是所求的積分曲面，亦即柯西問題的解。
對一般的單個一階非線性偏微分方程
， (5)
則應以代替上述的U×R。對于積分曲面u=u(x),它在(x,u(x))處的法線方向由所確定，因此(x,u,p)決定了一個過(x,u)的以為法線的超平面，即過該點的積分曲面的切超平面。于是，在U×R中來看,｛(x, u,p)｝給出一個超平面場，每一個這樣的超平面稱為過（x, u）的接觸元素。對于給定的(x, u)，適合方程(5)的p不是惟一的，從而有一個接觸元素族。它們的包絡是一個以(x, u)為頂點的錐，稱為蒙日錐。方程(5)的積分曲面在各點均切于過該點的蒙日錐。
對于擬線性方程(2),蒙日錐蛻化為過（x，u）的以為方向的軸。
積分曲面既切于蒙日錐，則必沿某一母線切于它。這條母線的方向給出了積分曲面上的一個方向場。對于方程(2)來看，它就是特征方向場。所以在一般的非線性方程(5)，也稱它為特征方向場，其積分曲線也稱為方程(5)的特征曲線。積分曲面仍由特征曲線織成。
但是，與方程(2)也有所不同，即現在必須在U×R×Rn中來考慮特征方向場，從而可以得到如下的常導數方程組
， (6)
(7)
(8)
解出這個方程組將得到一個特征帶，它在U×R中的投影則稱為方程(5)的特征曲線。特征帶是一個在 U×R×Rn中的概念。
解柯西問題的特征線法? 在解柯西問題(4)時，將у寫成參數形式
(9)
(10)
然而，以它為初始條件還不能解出特征帶的方程組，還需要有pj所適合的初始條件。
對于擬線性方程(2)，以(9)、(10)為初始條件解特征方程組(3)，可得
(11)
(12)
令
若在t=0時，即在у上，Δ|t=0≠0,則可以在|t|充分小時即在у附近由(11)解出為 (x1,x2,…, xn)的函數，代入(12)即得柯西問題的解。在以上討論中，條件
(13)
極為重要。它在幾何上表示特征線橫截于Γ。沒有這種橫截性，一般說來特征曲線不能織成積分曲面，然而若仍可能有解，那么解稱為奇異解。條件(13)稱為特征條件。
對于非線性偏微分方程(5),需要解出特征帶的方程組(6)、(7)、(8)。這時需要 pj所適合的初始條件。很容易看到，在t=0時，pj應適合以下條件
， (14)
。 (15)
(14)、(15)共有n個方程，它們稱為帶條件。為了能從其中解出pj，又需要在t=0時
(16)
在方程(2)的特例下，它就是式(13)。所以式(16)也稱為特征條件。
若帶條件和特征條件得以滿足，就將得出在 t=0是xj、u和pj所適合的初始條件。于是可以得到
， (17)
， (18)
， (19)
利用特征條件，可以從式(17)中解出為(x1,x2,…,xn)的函數，代入式(18)即得u=u(x)為柯西問題的解。代入式(19)得pj=pj(x),可以證明恰好有。
約瑟夫·拉格朗日查皮特方法? 求解柯西問題(5)、(4)的另一方法，是求(5)的含有n個參數α=( α1, α2,…, αn)的解u=u(x,α)。它稱為(5)的完全積分。
將(4)所定義的子流形Γ局部地表為
。
再取α=α(s)使u=u(x,α(s))經過(x(s),u(s))而且在該點切于Γ，即有
這一族解的包絡仍是(5)的積分曲面，而且通過Γ，亦即所求柯西問題的解。于是，將問題歸結為求(5)的含n-1個參數s=(s1,s2,…,sn-1)的解u(x,α(s))，它稱為(5)的通積分。
若將完全積分對n個α求包絡，即由
于是問題歸結為如何求完全積分。為此考慮一個與之相關的問題：求函數u=u(x)使之滿足一組偏微分方程
(20)
因為方程個數超過未知數個數，故(20)稱為超定方程組。超定方程組有解，需有一定條件稱為可積性條件。對于(20)，可積性條件為
(21)
(Fj, Fj)稱為泊松括號。若一個方程組適合(21),則稱之為對合方程組。
方程(5)可以化為不顯含u的情形。因為若將u=u(x)寫為隱函數v(x,u)=с，而以v為新的未知函數，則(5)成為。若視u為自變量則未知函數v不顯現。因此可以限于求解以下形式的方程
(22)
對(22)補充以n-1個新的方程
(23)
式中αj為參數。可以適當取F2,F3,…,Fn使(22)、(23)成為對合方程組。再從(22)、(23)中解出： (其中含常數α2,α3,…,αn)，即可得(5)的含有n個常數的解（即完全積分）
以上方法稱為拉格朗日-查皮特方法。
普法夫方程組、費羅貝尼烏斯條件? 在 URn中若給定了一個充分光滑的向量場，則過U之每一點必有其惟一的積分曲線。若給定r(1
求積分流形發生障礙的幾何原因，可由下例看出。設在R3中給出一個平面場（相當于兩個向量場），作柱面如圖，則該平面場在柱面上決定一個向量場。若原平面場可積而有積分曲面存在，則積分曲面與柱面相接將給出柱面上的向量場的封閉積分曲線。但是柱面上的向量場不一定有封閉的積分曲面存在。
上述問題稍加概述：求一個超曲面u=u(x)（而不只是r維子流形）與r個向量場相切，即
， (24)
這是一個超定方程組。前述約瑟夫·拉格朗日查皮特方法中已遇到這種問題。
式（24）規定出 r個一階偏微分算子(亦即向量場)。它們的交換子仍是一階偏微分算子：
弗羅貝尼烏斯定理指出：超定方程組(24)可積的充分必要條件是存在函數使得滿足式(25)的向量場x1,x2,…,xr稱為對合的。
一階偏微分方程的幾何理論有悠久的歷史淵源，以后經過é.(-J.)埃里·嘉當等人的發展，在幾何學、力學和物理學中都有重大的意義。
參考資料 >