朗蘭茲綱領(lǐng)，專業(yè)術(shù)語，拼音為lǎng lán zī gāng lǐng，是數(shù)學(xué)中一系列影響深遠(yuǎn)的構(gòu)想，聯(lián)系數(shù)論、代數(shù)幾何與約化群表示理論；綱領(lǐng)最初由羅伯特·朗蘭茲于1967年在一封給安德烈·韋伊的信件中提出。這些猜想現(xiàn)在被稱為朗蘭茲互反猜想，而后演變成朗蘭茲綱領(lǐng)，被稱為數(shù)學(xué)界的“大統(tǒng)一理論”，在過去幾十年里對數(shù)學(xué)的發(fā)展產(chǎn)生了極大影響。
精神
就是將一些表面看起來不相干的內(nèi)容建立起來本質(zhì)聯(lián)系。
朗蘭茲綱領(lǐng)建基于當(dāng)時(shí)已存在的念頭：蓋爾芳特之前幾年寫的 《尖點(diǎn)形式之啟示》（The 哲學(xué) of Cusp Forms）；哈瑞希·昌得拉（en:Harish-Chandra）研究半單李群的結(jié)果和方法；而技術(shù)上則有阿特勒·塞爾伯格等的塞爾伯格跡公式。
朗蘭茲的創(chuàng)見，除技術(shù)之深以外，在于他提出上述理論與數(shù)論的直接聯(lián)系，以及其構(gòu)想中豐富的總體結(jié)構(gòu)（即所謂函子性）。
例如在哈瑞希·昌得拉的工作中，可見以下原則：
“任何對某一半單（或約化）李群可能做的，應(yīng)對所有都做。”
故一旦認(rèn)清一些低維李群 —如—在模形式理論之角色，并反觀 在類域論之角色，人們至少可推測一般 的情況。
尖點(diǎn)形式之念頭來自模曲線上的尖點(diǎn)，在譜理論上對應(yīng)于離散譜；對比之下連續(xù)譜則來自艾森斯坦級(jí)數(shù)。但當(dāng)給定的李群越大，則拋物子群越多，技術(shù)上則越復(fù)雜。
在此等研究途徑中不乏各種技巧——通常基于列維分解等事實(shí)、具誘導(dǎo)表示的性質(zhì) ——但這領(lǐng)域一直都很困難。
在模形式方面，亦有例如希爾伯特模形式、西格爾模形式和級(jí)數(shù)等等面向。
起因
洛朗·拉佛閣在朗蘭茲綱領(lǐng)研究方面取得了巨大的進(jìn)展，他證明了與函數(shù)域情形相應(yīng)的整體朗蘭茲綱領(lǐng)。他的工作的特點(diǎn)是：令人驚嘆的技巧，深刻的洞察力和系統(tǒng)有力的方法。
朗蘭茲綱領(lǐng)最先是由羅伯特·朗蘭茲(RobertP．Langlands)在1967年給安德烈·韋伊(Andre Weil)的一封著名的信中提出的。它是一組意義深遠(yuǎn)的猜想，這些猜想精確地預(yù)言了數(shù)學(xué)中某些表面上毫不相干的領(lǐng)域之間可能存在的聯(lián)系。朗蘭茲綱領(lǐng)的影響近年來與日俱增，與它有關(guān)的每一個(gè)新的進(jìn)展都被看作是重要的成果。
對朗蘭茲綱領(lǐng)最強(qiáng)有力的支持之一，是20世紀(jì)90年代安德魯·維爾斯(Andrew Wiles)證明費(fèi)馬大定理。維爾斯的證明與其他人的工作一起導(dǎo)致了谷山―志村―韋依猜想的解決。該猜想揭示了橢圓曲線與模形式之間的關(guān)系，前者是具有深刻算術(shù)性質(zhì)的幾何對象，后者是來源于截然不同的數(shù)學(xué)分析領(lǐng)域的高度周期性的函數(shù)。朗蘭茲綱領(lǐng)則提出了數(shù)論中的埃瓦里斯特·伽羅瓦表示與分析中的自守型之間的一個(gè)關(guān)系網(wǎng)。
朗蘭茲綱領(lǐng)的根源，可以追溯到數(shù)論中最深刻的結(jié)果之一----二次互反律。二次互反律最早產(chǎn)生于17世紀(jì)皮耶·德·費(fèi)瑪的時(shí)代，1801年高斯給出了其第一個(gè)證明。數(shù)論中經(jīng)常提到的一個(gè)問題是：當(dāng)兩個(gè)素?cái)?shù)相除時(shí)，余數(shù)是否是完全平方？二次互反律揭示了關(guān)于素?cái)?shù)p和q的兩個(gè)貌似無關(guān)的問題之間存在的奇妙聯(lián)系，這兩個(gè)問題是：“p除以q的余數(shù)是否為完全平方?”與“q除以p的余數(shù)是否為完全平方?”盡管關(guān)于這一定律已經(jīng)有許多證明(高斯本人就給出了六個(gè)不同的證明)，二次互反律仍然是數(shù)論中最神奇的事實(shí)之一。20世紀(jì)20年代高木貞治和埃米？阿廷又發(fā)現(xiàn)了其它的較一般的互反律。朗蘭茲綱領(lǐng)的一個(gè)最初動(dòng)機(jī)，就是要對更一般情形的互反律提供完全的理解。
拉佛閣所證明的相應(yīng)的整體朗蘭茲綱領(lǐng)，對更抽象的所謂函數(shù)域而非通常的數(shù)域情形提供了這樣一種完全的理解。人們可以將函數(shù)域設(shè)想為由多項(xiàng)式的商組成的集合，對這些多項(xiàng)式商可以像有理數(shù)那樣進(jìn)行加、減、乘、除。拉佛閣對于任意給定的函數(shù)域建立了其伽羅瓦群表示和與該域相伴的自守型之間的精確聯(lián)系。拉佛閣的研究是以1990年菲爾茨獎(jiǎng)獲得者弗拉基米爾？德里菲爾德的工作為基礎(chǔ)，后者在20世紀(jì)70年代證明了相應(yīng)的朗蘭茲綱領(lǐng)的特殊情形。拉佛閣首先認(rèn)識(shí)到德里菲爾德的工作可以被推廣而為函數(shù)域情形的相應(yīng)的朗蘭茲綱領(lǐng)提供一幅完整的圖像。
在這一工作的過程中，拉佛閣還發(fā)現(xiàn)了一種將來可能被證明是十分重要的新的幾何構(gòu)造。所有這些發(fā)展的影響正在波及整個(gè)數(shù)學(xué)研究領(lǐng)域。
起源
人們可以二次互反律之推廣埃米爾·阿廷互反律為朗蘭茲綱領(lǐng)之起點(diǎn)：給定一個(gè)上的、伽羅瓦群為可交換群的數(shù)域，阿廷互反律向這個(gè)伽羅瓦群的任何一支一維表示配上一枚函數(shù)，并斷言：此等函數(shù)俱等于某些狄利克雷函數(shù)（黎曼函數(shù)的類推，由狄利克雷特征表達(dá)）。此二種函數(shù)之間的準(zhǔn)確的聯(lián)系構(gòu)成了阿廷互反律。
若給定不可交換伽羅瓦群及其高維表示，人們?nèi)钥啥x一些自然的相配的函數(shù)——阿廷L函數(shù)。
推廣
朗蘭茲洞察到：當(dāng)找到適當(dāng)?shù)牡依死缀瘮?shù)的推廣，便有可能推廣阿廷互反律。
黑克（Erich Hecke）曾聯(lián)系全純自守形式（定義于上半復(fù)平面上、滿足某些函數(shù)方程的全純函數(shù)）與狄利克雷L函數(shù)。朗蘭茲推廣赫克理論，以應(yīng)用于自守尖點(diǎn)表示（自守尖點(diǎn)表示是 阿代爾環(huán)上一般線性群的某類無限維不可約表示）。
朗蘭茲為這些自守表示配上L-函數(shù)，然后猜想：
互反猜想。每一來自給定數(shù)域的伽羅瓦群的有限維表示的阿廷 L-函數(shù)，都相等于某一來自自守尖點(diǎn)表示的函數(shù)。
若要建立一一對應(yīng)，須考慮較伽羅瓦群的適當(dāng)擴(kuò)張，稱作韋依-德利涅群。在可交換的例子，這相當(dāng)于將狄利克雷特征推廣為赫克特征（德文舊稱Gr??encharakter）。互反猜想蘊(yùn)含阿廷猜想。
再推廣
朗蘭茲再進(jìn)一步推廣：
??以任何連通約化群G代替上文中的一般線性群 ；
??構(gòu)筑復(fù)李群G（所謂朗蘭茲對偶群，或L群）；
??以自守表示的L包代替自守表示；每個(gè)L包是自守表示組成的有限集，屬同一L包的表示稱作L不可辨的。
??向每一個(gè)G的自守尖點(diǎn)表示和每一個(gè)G的有限維表示，配與一個(gè)函數(shù)；同一L包中的表示有相同的函數(shù)及-因子。朗蘭茲并猜想：此兩個(gè) L-函數(shù)滿足某函數(shù)方程。
朗蘭茲更構(gòu)想了一道非常廣泛的 函子性原則（Functoriality Principle）：
函子性猜想。若指定二約化群，并指定其相應(yīng)的L群之間的可容許同態(tài)，則二約化群的自守表示之間應(yīng)該有某種與其 L-函數(shù)相容之關(guān)系。
函子性猜想蘊(yùn)含廣義拉馬努金猜想。
函子性構(gòu)想本質(zhì)上是一種誘導(dǎo)表示構(gòu)造（在傳統(tǒng)的自守形式理論中稱為 提升，在某些特殊情況下已知），因而是協(xié)變的（相反地，受限表示構(gòu)造是逆變的）。各種直接構(gòu)造的嘗試只產(chǎn)生了一些條件性的結(jié)果。
上述各猜想亦有其他域上的版本：數(shù)域（最早期的版本）、局部域及函數(shù)域（即 F( )的有限擴(kuò)張；其中 是一素?cái)?shù)， F( ) 是 元有限域上的有理函數(shù)域）。局部域的與數(shù)域的朗蘭茲綱領(lǐng)滿足一些相容性，二者之方法亦互為用。
關(guān)聯(lián)
38歲的越南數(shù)學(xué)家吳寶珠“通過引入新的代數(shù)—幾何學(xué)方法，證明了朗蘭茲綱領(lǐng)自守形式中的基本引理”，該成果于2009年被美國《時(shí)代》周刊列為年度十大科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一。
并且于2010年8月19日，在印度海得拉巴市召開的第26屆國際數(shù)學(xué)家大會(huì)上，獲得國際數(shù)學(xué)界大獎(jiǎng)——菲爾茲獎(jiǎng)。
吳寶珠在接受《中國科學(xué)報(bào)》采訪時(shí)說：“我只是證明了朗蘭茲綱領(lǐng)的基本引理，不是整個(gè)綱領(lǐng)，我認(rèn)為整個(gè)綱領(lǐng)的證明也許需要用我一生的時(shí)間。”
獲獎(jiǎng)
挪威科學(xué)與文學(xué)院2018年3月20日宣布將2018年度阿貝爾獎(jiǎng)授予加拿大數(shù)學(xué)家羅伯特·朗蘭茲，為表彰以他的名字命名的“朗蘭茲綱領(lǐng)”將數(shù)學(xué)中的表示論和數(shù)論聯(lián)系了起來。
參考資料 >
2018年度阿貝爾獎(jiǎng)出爐 加拿大數(shù)學(xué)家因提出“朗蘭茲綱領(lǐng)”獲獎(jiǎng).科學(xué)網(wǎng).2019-03-04