二次域，在代數(shù)數(shù)論中是指有理數(shù)域Q的次數(shù)為二的數(shù)域擴(kuò)展，可以唯一地表示為Q(√d)，其中d是無平方數(shù)因子的有理整數(shù)。若d>0，則稱為實(shí)二次域；若d<0，則稱為虛二次域或復(fù)二次域。虛實(shí)之分在于Q(√d)是否為全實(shí)域。二次域的研究對(duì)于代數(shù)數(shù)論具有基礎(chǔ)性的重要性，盡管已有許多成果，但仍有一些未解的猜想，如類數(shù)問題。
定義
假定適合一個(gè)有理整系數(shù)的既約二次方程。則就稱為一個(gè)二次域。實(shí)際上，全體二次域即，其中 D 過 所有不等于 1 且無平方因子的有理整數(shù)。
當(dāng) 時(shí)，稱為實(shí)二次域 (real quadratic field) 。
當(dāng)時(shí)， 稱為虛二次域 (imaginary quaadratic field) 。
當(dāng)時(shí)，命 及 。
當(dāng) 時(shí)，命 及。則為 的判別式，而1、為 的一組整 基。1、亦為的一組整基。
發(fā)展
1801年，C.F.高斯發(fā)表了他在20歲時(shí)所寫的數(shù)論著作《算術(shù)研究》，展現(xiàn)了他的一個(gè)杰出的思想，即把有理數(shù)域和有理整數(shù)環(huán)上的許多初等數(shù)論問題，放到更大的域和環(huán)──二次域和它的(代數(shù))整數(shù)環(huán)上來研究。他在這些方面的工作，是研究二次域的開端，也是代數(shù)數(shù)論的一個(gè)源頭。
二次域有許多研究課題，其中最著名的是高斯關(guān)于類數(shù)問題的兩個(gè)猜想:①只有有限多個(gè)類數(shù)為1的虛二次域;②存在著無限多個(gè)類數(shù)為1的實(shí)二次域。關(guān)于第一個(gè)猜想,1934年，H.海布雷恩證明了當(dāng)時(shí),。1935年C.L.西格爾進(jìn)一步證明了。A.貝克于1966年和H.M.斯塔爾克于1967年各自獨(dú)立地證明了類數(shù)為1的虛二次域只有9個(gè)：。
參考資料 >