高斯引理是多項式理論和數(shù)論中的重要命題。在多項式理論中，高斯引理表明任意兩個本原多項式的乘積仍是一個本原多項式。在數(shù)論中，高斯引理給出了一個整數(shù)是模另一個整數(shù)的二次剩余的條件。高斯引理在二次互反律的證明中具有理論上的重要性，最早出現(xiàn)在高斯1808年發(fā)表的二次互反律的第三個證明中，并在第五個證明中再次使用。
基本介紹
高斯引理在多項式理論中指出，任一非零的整系數(shù)多項式如果能夠分解為兩個次數(shù)較低的有理系數(shù)多項式的乘積，則它一定能夠分解為兩個次數(shù)較低的整系數(shù)多項式的乘積。這一性質(zhì)在研究有理系數(shù)多項式的因式分解與有理根中起著重要的作用。高斯（Gauss, C. F.）引入了本原多項式的概念，并且給出了這個引理。
在數(shù)論中，高斯引理描述了一個與奇質(zhì)數(shù)互質(zhì)的整數(shù)是否為該質(zhì)數(shù)的二次剩余的條件。它通過考慮特定的整數(shù)序列模質(zhì)數(shù)的最小非負剩余，并統(tǒng)計其中有多少個數(shù)大于質(zhì)數(shù)的一半，來確定原整數(shù)是否為二次剩余。
引理
兩個本原多項式的乘積還是本原多項式。
證明
設(shè)，是兩個本原多項式，而 是它們的乘積。我們用反證法。如果 不是本原的，也就是說，的系數(shù) 有一異于 的公因子，那么就有一個素數(shù) 能整除 的每一個系數(shù)。因為 是本原的，所以不能同時整除 的每一個系數(shù)。令 是第一個不能被 整除的系數(shù)，同樣地，也是本原的，令 是第一個不能被 整除的系數(shù)。我們來看 的系數(shù) ,由乘積定義。由上面的假設(shè)，整除等式左端的，整除右端 以外的每一項，但是 不能整除 這是不可能的。這就證明了，一定也是本原多項式。
例子
例： ，
均是本原多項式，其乘積 還是本原多項式。
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