《數(shù)學(xué)之美》是人民郵電出版社于2012年5月出版的圖書，作者吳軍，2014年再版。書中將高深的數(shù)學(xué)原理講得更加通俗易懂，讓非專業(yè)讀者也能領(lǐng)略數(shù)學(xué)的魅力。通過具體實例教會讀者在解決問題時如何化繁為簡，如何用數(shù)學(xué)去解決工程問題，如何跳出固有思維不斷去思考創(chuàng)新等。
內(nèi)容簡介
幾年前，“數(shù)學(xué)之美”系列文章原刊載于谷歌黑板報，獲得上百萬次點擊，得到讀者高度評價。讀者說，讀了“數(shù)學(xué)之美”，才發(fā)現(xiàn)大學(xué)時學(xué)的數(shù)學(xué)知識，比如馬爾可夫鏈、矩陣計算，甚至余弦函數(shù)原來都如此親切，并且栩栩如生，才發(fā)現(xiàn)自然語言和信息處理這么有趣。
今年，作者吳軍博士幾乎把所有文章都重寫了一遍，為的是把高深的數(shù)學(xué)原理講得更加通俗易懂，讓非專業(yè)讀者也能領(lǐng)略數(shù)學(xué)的魅力。讀者通過具體的例子學(xué)到的是思考問題的方式 —— 如何化繁為簡，如何用數(shù)學(xué)去解決工程問題，如何跳出固有思維不斷去思考創(chuàng)新。
作者簡介
吳軍博士，畢業(yè)于清華大學(xué)（本科、碩士）和美國約翰·霍普金斯大學(xué)（博士）。在清華大學(xué)和約翰·霍普金斯大學(xué)期間，吳軍博士致力于語音識別、自然語言處理，特別是統(tǒng)計語言模型的研究。他曾獲得1995年全國人機語音智能接口會議的最佳論文獎和2000年Eurospeech的最佳論文獎。曾任騰訊控股主管搜索、在線廣告和云計算基礎(chǔ)架構(gòu)的副總裁，在加入騰訊之前，在谷歌工作，2013年離開騰訊，回到谷歌。
吳軍博士于2002年加入谷歌。在谷歌，他和Amit Singhal（Google院士，世界著名搜索專家）、Matt Cutts（Google反作弊官方發(fā)言人）等三位同事一起開創(chuàng)了網(wǎng)絡(luò)搜索反作弊的研究領(lǐng)域，并因此獲得Google工程獎。2003年，他和Google全球架構(gòu)的總工程師朱會燦博士等共同成立了中日韓語搜索部門。吳軍博士是當(dāng)前谷歌中日韓文搜索算法的主要設(shè)計者。在Google期間，他還領(lǐng)導(dǎo)了許多研發(fā)項目，包括許多與中文相關(guān)的產(chǎn)品和自然語言處理的項目，并得到了當(dāng)時公司首席執(zhí)行官埃里克·施密特和創(chuàng)始人謝爾蓋·布林的高度評價。
吳軍博士在國內(nèi)外發(fā)表過數(shù)十篇論文，并獲得和申請了十余項美國和國際專利。他撰寫的《浪潮之巔》一書深受業(yè)界的好評。他于2007年起擔(dān)任風(fēng)險投資基金中國世紀(jì)基金的董事。2011年起，當(dāng)選為約翰·霍普金斯大學(xué)工學(xué)院董事會董事，并在該校的國際事務(wù)委員會擔(dān)任顧問。他是國家重大專項“新一代搜索引擎和瀏覽器”項目的總負(fù)責(zé)人，從2012年起任職工業(yè)與信息化部的專家和顧問。
作品目錄
表述
概念
美是人類創(chuàng)造性實踐活動的產(chǎn)物，是人類本質(zhì)力量的感性顯現(xiàn)。通常我們所說的美以自然美、社會美以及在此基礎(chǔ)上的藝術(shù)美、科學(xué)美的形式存在。數(shù)學(xué)美是自然美的客觀反映，是科學(xué)美的核心。簡言之?dāng)?shù)學(xué)美就是數(shù)學(xué)中奇妙的有規(guī)律的讓人愉悅的美的東西。
歷史上許多學(xué)者、數(shù)學(xué)家對數(shù)學(xué)美從不同的側(cè)面作過生動的闡述。普洛克拉斯早就斷言：“哪里有數(shù)學(xué)，哪里就有美?！?a href="/hebeideji/7215506811402207264.html">亞里士多德也曾講過：“雖然數(shù)學(xué)沒有明顯地提到善和美，但善和美也不能和數(shù)學(xué)完全分離。因為美的主要形式家是“秩序、勻稱和確定性”，這些正是數(shù)學(xué)研究的原則?！?/p>
我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚說過：“就數(shù)學(xué)本身而言，是壯麗多彩、千姿百態(tài)、引人入勝的……認(rèn)為數(shù)學(xué)枯燥乏味的人，只是看到了數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，而沒有體會出數(shù)學(xué)的內(nèi)在美?！睌?shù)學(xué)家徐利治說：“作為科學(xué)語言的數(shù)學(xué)，具有一般語言文字與藝術(shù)所共有的美的特點，即數(shù)學(xué)在其內(nèi)容結(jié)構(gòu)上和方法上也都具有自身的某種美，既所謂數(shù)學(xué)美。數(shù)學(xué)美的含義是豐富的，如數(shù)學(xué)概念的簡單性、統(tǒng)一性，結(jié)構(gòu)關(guān)系的協(xié)調(diào)性、對稱性，數(shù)學(xué)命題與數(shù)學(xué)模型的概括性、典型性和普遍性，還有數(shù)學(xué)中的奇異性等等都是數(shù)學(xué)美的具體內(nèi)容?！?/p>
以上的論述可見，數(shù)學(xué)中充滿著美的因素，數(shù)學(xué)美是數(shù)學(xué)科學(xué)的本質(zhì)力量的感性和理性的呈現(xiàn)，它不是什么虛無飄渺、不可捉摸的東西，而是有其確定的客觀內(nèi)容。
區(qū)別
數(shù)學(xué)美有別與其它的美，它沒有鮮艷的色彩，沒有美妙的聲音，沒有動感的畫面，它卻是一種獨特的美。
德國數(shù)學(xué)家菲利克斯·克萊因曾對數(shù)學(xué)美作過這樣的描述：“音樂能激發(fā)或撫慰情懷，繪畫使人賞心悅目，詩歌能動人心弦，哲學(xué)使人獲得智慧，科技可以改善物質(zhì)生活，但數(shù)學(xué)卻能提供以上一切。”
數(shù)學(xué)美與其它美的區(qū)別還在于它是蘊涵在其中的美。打個比方來說，大家一定都有這種感覺，絕大部分同學(xué)對音體美容易產(chǎn)生興趣，而對數(shù)學(xué)感興趣的不多。我認(rèn)為，這主要有兩個方面的原因：一是音體美中所表現(xiàn)出來的美是外顯的，這種美同學(xué)們比較容易感受、認(rèn)識和理解；而數(shù)學(xué)中的美雖然也有一些表現(xiàn)在數(shù)學(xué)對象的外表，如精美的圖形、優(yōu)美的公式、巧妙的解法等等，但總的來說數(shù)學(xué)中的美還是深深地蘊藏在它的基本結(jié)構(gòu)之中，這種內(nèi)在的理性美學(xué)生往往難以感受、認(rèn)識和理解，這也是數(shù)學(xué)區(qū)別于其它學(xué)科的主要特征之一。二是長期以來，我們的數(shù)學(xué)教材過分強調(diào)邏輯體系和邏輯推演，忽視數(shù)學(xué)美感、數(shù)學(xué)直覺的作用，長此以往，學(xué)生將數(shù)學(xué)與邏輯等同起來。一味注重數(shù)學(xué)的邏輯性而忽視了數(shù)學(xué)本身的美，學(xué)習(xí)的過程中就會感到枯燥無味缺乏興趣。
大多數(shù)的數(shù)學(xué)家會由他們的工作及一般數(shù)學(xué)里得出美學(xué)的喜悅。他們形容數(shù)學(xué)是美麗的來表示這種喜悅。有時，數(shù)學(xué)家會形容數(shù)學(xué)是一種藝術(shù)的形式，或至少是一個創(chuàng)造性的活動。通常拿來和音樂和詩歌相比較。
數(shù)學(xué)之美還在于其對生活的精確表述、對邏輯的完美演繹?？梢哉f正是這種精確性才成就了現(xiàn)代社會的美好生活。
感覺
伯特蘭·阿瑟·威廉·羅素以下列文字來形容他對數(shù)學(xué)之美的感覺：
數(shù)學(xué), rightly viewed, possesses not only truth, but Supreme beauty — a beauty cold and austere, like that of sculpture, without appeal to any part of our weaker nature, without the gorgeous trappings of painting or 音樂, yet sublimely pure, and capable of a stern perfection such as only the greatest art can show. The true spirit of delight, the exaltation, the sense of being more than Man, which is the touchstone of the highest excellence, is to be found in 數(shù)學(xué) as surely as 詩歌 (The Study of Mathematics, in Mysticism and Logic, and Other Essays, ch. 4, 倫敦: Longmans, Green, 1918.)
翻譯：數(shù)學(xué)，如果正確地看它，則具有……至高無上的美——正像雕刻的美，是一種冷而嚴(yán)肅的美，這種美不是投合我們天性的微弱的方面，這種美沒有繪畫或音樂的那些華麗的裝飾，它可以純凈到崇高的地步，能夠達(dá)到嚴(yán)格的只有最偉大的藝術(shù)才能顯示的那種完美的境地。一種真實的喜悅的精神，一種精神上的亢奮，一種覺得高于人的意識——這些是至善至美的標(biāo)準(zhǔn)，能夠在詩里得到，也能夠在數(shù)學(xué)里得到。（研究數(shù)學(xué)，在神秘主義和邏輯，與其他論文，概括。4、倫敦：浪漫書屋，綠色，1918年。）
保羅·埃爾德什形容他對數(shù)學(xué)不可言說的觀點，而說：“為何數(shù)字美麗呢？這就像是在問路德維?！へ惗喾?/a>第九號交響曲為什么會美麗一般。若你不知道為什么，其他人也沒辦法告訴你為什么。我知道數(shù)字是美麗的。且若它們不是美麗的話，世上也沒有事物會是美麗的了?！?/p> 它的最美之處莫過于在無形之中就讓你思維變得敏捷．考慮事情時，不在那么偏激，那么單一． 作為一個公民來說了不了解它是一個后話，至少應(yīng)該不否定它．尤其是學(xué)生． 讓我們先來看看看下面的算式： 1 x 8 + 1= 9 12 x 8 + 2= 98 123 x 8 + 3= 987 1234 x 8 + 4= 9876 12345 x 8 + 5= 98765 123456 x 8 + 6= 987654 1234567 x 8 + 7= 9876543 12345678 x 8 + 8= 98765432 123456789 x 8 + 9= 987654321 1 x 9 + 2= 11 12 x 9 + 3= 111 123 x 9 + 4= 1111 1234 x 9 + 5= 11111 12345 x 9 + 6= 111111 123456 x 9 + 7= 1111111 1234567 x 9 + 8= 11111111 12345678 x 9 + 9= 111111111 123456789 x 9 +10= 1111111111 9 x 9 + 7= 88 98 x 9 + 6= 888 987 x 9 + 5= 8888 9876 x 9 + 4= 88888 98765 x 9 + 3= 888888 987654 x 9 + 2= 8888888 9876543 x 9 + 1= 88888888 98765432 x 9 + 0= 888888888 1 x 1= 1 11 x 11= 121 111 x 111= 12321 1111 x 1111= 1234321 11111 x 11111= 123454321 111111 x 111111= 12345654321 1111111 x 1111111= 1234567654321 11111111 x 11111111= 123456787654321 111111111 x 111111111= 12345678987654321 3 x 4=12 33 x 34=1122 333 x 334=111222 3333 x 3334=11112222 33333 x 33334=1111122222 333333 x 333334=111111222222 142857 x1=142857 142857x 2=285714 142857x 3=428571 142857x 4=571428 142857x 5=714285 142857x 6=857142 142857x 7=999999 11x 101=1111 12x 101=1212 13x 101=1313 14x 101=1414 15x 101=1515 16x 101=1616 17x 101=1717 18x 101=1818 19x 101=1919 20x 101=2020 隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展和人類文明的進(jìn)步，數(shù)學(xué)美的概念會有所發(fā)展，分類也不相同，但它的基本內(nèi)容是相對穩(wěn)定的，這就是：對稱美、簡潔美、統(tǒng)一美和奇異美。 所謂對稱性，既指組成某一事物或?qū)ο蟮膬蓚€部分的對等性，從古希臘的時代起，對稱性就被認(rèn)為是數(shù)學(xué)美的一個基本內(nèi)容。畢達(dá)哥拉斯就曾說過：“一切平面圖形中最美的是圓，在一切立體圖形中最美的是球形?！边@正是基于這兩種形體在各個方向上都是對稱的。 中國的建筑就很好的應(yīng)用了數(shù)學(xué)的對稱美，有許多的園林建筑都應(yīng)用了這一點。 數(shù)學(xué)中的這種對稱處處可見：幾何中具有的對稱性（中心對稱、軸對稱、鏡象對稱等）的圖形很多，都給我們一種舒適優(yōu)美的感覺。幾何變換也具有對稱性。 楊輝三角更組成美麗的對稱圖案 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 …… 分析：在楊輝三角的圖案中每一行的除了首尾的數(shù)字是1以外，其他的數(shù)字是左上角和右上角的數(shù)字的和。這樣就構(gòu)成了有規(guī)律的并且是成對稱的形狀的三角圖案了。 集合運算中的下面兩個公式的對稱性也是極其優(yōu)美的： C（A ）=CA CB C (A B ) =CA CB 兩個集合的并（交）的補集就是兩個集合補集的交（并）。 數(shù)學(xué)的解題中也體現(xiàn)對稱美： 例1、 解：原式=111111111×111111111 =12345678987654321 分析：等式的一邊是九個1乘以九個1，另一邊是九個數(shù)字的排列并且成對稱的，結(jié)果也是九個數(shù)字組成的對稱的結(jié)構(gòu)，真是太出人意料了太美妙了 例2、 0×9+1=1 1×9+2=11 12×9+3=111 123×9+4=1111 1234×9+5=11111 ………………… 分析：例2中也蘊涵著對稱留給讀者去體會。 此外代數(shù)中的對稱多項式，有理系數(shù)的多項式方程無理根成對出現(xiàn)，實系數(shù)的多項式方程虛根成對出現(xiàn)，函數(shù)及其反函數(shù)圖象的關(guān)系，線性方程組的距陣表示及克萊姆法則等都呈現(xiàn)出對稱性。 還有一個類似對稱的詞勻稱。“勻稱性”的概念可以看成“對稱性”的概念的自然發(fā)展。線段的黃金分割就是一個典型的例子，主要是因為由此構(gòu)成的長方形給人以“勻稱美”的 感覺。黃金分割比…也被譽為“人間最巧的比例”。世界上許多著名的建筑廣泛采用黃金分割的比例。一些名畫的主題，電影畫面的主題大多放在畫面的0.618處，給人以舒適的美感。樂曲中較長一段一般是總長度的0.618，弦樂器的聲碼放在琴弦的0.618處會使聲音更甜美。另外，黃金分割比在優(yōu)選法中有著重要的作用。 漢語的語言要求言簡意，同樣數(shù)學(xué)作為邏輯性很強的學(xué)科它的語言表達(dá)也是簡潔的。 簡單性（或稱簡潔性）也是數(shù)學(xué)美的一個基本內(nèi)容。數(shù)學(xué)的簡潔性是人類思想表達(dá)經(jīng)濟(jì)化要求的反映，它同樣給人以美感。阿爾伯特·愛因斯坦說過：“美在本質(zhì)上終究是簡單性?！?/p> 數(shù)學(xué)語言本身就是最簡潔的文字，同時反映客觀規(guī)律極其深刻，許多復(fù)雜的客觀現(xiàn)象，總結(jié)為一定的規(guī)律時，往往呈現(xiàn)為十分簡單的公式。 長城歐拉給出的公式：V－E+F=2，堪稱“簡單美”的典范。世間的多面體有多少沒有人能說清楚。但它們的頂點數(shù)V、棱數(shù)E、面數(shù)F，都必須服從歐拉給出的公式，一個如此簡單的公式，概括了無數(shù)種多面體的共同特性，令人驚嘆不已。在數(shù)學(xué)中，像歐拉公式這樣形式簡潔、內(nèi)容深刻、作用很大的定理還有許多。 比如：圓的周長公式：C=2πR 任意一個圓它的周長都滿足這樣的公式。 勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊平方。在所有的直角三角形中直角邊和斜邊都滿足這樣的關(guān)系。 正弦定理：ΔABC的外接圓半徑R，則 把三角形的邊、角和它的外接圓的半徑建立了簡單的數(shù)學(xué)關(guān)系。 數(shù)學(xué)中絕大部分公式都體現(xiàn)了“形式的簡潔性，內(nèi)容的豐富性”。正如偉大的希而伯特曾說過：“數(shù)學(xué)中每一步真正的進(jìn)展都與更有力的工具和更簡單的方法的發(fā)現(xiàn)密切聯(lián)系著”。如笛卡爾坐標(biāo)系的引入。對數(shù)符號的使用，復(fù)數(shù)單位的引入。微積分的出現(xiàn)都體現(xiàn)了數(shù)學(xué)外在形式更簡潔，內(nèi)容更深厚。 著名的皮亞諾公式只用了三個不加定義的原始概念和五個不加證明的公理，顯示了邏輯上的簡潔。由此產(chǎn)生的自然數(shù)理論是現(xiàn)代數(shù)學(xué)基礎(chǔ)研究的起點，這三個原始概念是“自然數(shù)”，“1”，“后繼（數(shù)）”；五個公理是： 公理一：1是自然數(shù)， 公理二：任何自然數(shù)的后繼也是自然數(shù)， 公理三：沒有兩個自然數(shù)有相同的后繼， 公理四：1不是任何自然數(shù)的后繼， 公理五：若一個有自然數(shù)組成的集合S含有1，且當(dāng)S含有任一個自然數(shù)時，也一定含有它的后繼，則S就含有全體自然數(shù)。 數(shù)學(xué)的簡潔美還表現(xiàn)在形態(tài)上，即數(shù)學(xué)美的外部表現(xiàn)形態(tài)，是數(shù)學(xué)定理和數(shù)學(xué)公式(或表達(dá)式)的外在結(jié)構(gòu)中呈現(xiàn)出來的美。形態(tài)美的主要特征，在于它的簡單性。例如，英國科學(xué)家牛頓用F=ma概括了力、質(zhì)量、加速度之間的定量關(guān)系；又如，德國科學(xué)家阿爾伯特·愛因斯坦用E=mc^2 揭示了自然界的質(zhì)量和能量的轉(zhuǎn)換關(guān)系；這里F=ma、E=mc^2就外在形式而論，都是非常簡潔的，不失為數(shù)學(xué)形態(tài)美的范例。再如，中國數(shù)學(xué)家和語言學(xué)家周海中關(guān)于梅森素數(shù)分布的猜測：當(dāng)2^（2^n）有趣的數(shù)學(xué)
內(nèi)容
對稱美
簡潔美
統(tǒng)一美
所謂統(tǒng)一美，是指部分與部分、部分與整體之間的和諧一致。
在數(shù)學(xué)中有好多數(shù)學(xué)統(tǒng)一性的例子。例如，引入負(fù)數(shù)，有了相反數(shù)的概念之后，有理數(shù)的加法和減法得到統(tǒng)一，它們可以統(tǒng)一為代數(shù)和的形式。有了倒數(shù)的概念，除以一個不等于零的數(shù)等于乘上它的倒數(shù)，于是乘法與除法得到了統(tǒng)一。例如平面幾何中的相交弦定理、割線定理、切割線定理和切線長定理均可統(tǒng)一到圓冪定理之中。在體積計算中有所謂的“萬能計算公式”，它能統(tǒng)一地應(yīng)用于棱（圓）柱、棱（圓）錐及棱（圓）臺的體積計算
統(tǒng)一美反映的是審美對象在形式或內(nèi)容上的某種共同性、關(guān)聯(lián)性或一致性，它能給人一種整體和諧的美感。數(shù)學(xué)對象的統(tǒng)一性通常表現(xiàn)為數(shù)學(xué)概念、規(guī)律、方法的統(tǒng)一，數(shù)學(xué)理論的統(tǒng)一，數(shù)學(xué)和其它科學(xué)的統(tǒng)一。
數(shù)學(xué)概念、規(guī)律、方法的統(tǒng)一。一切客觀事物都是相互聯(lián)系的，因而，作為反映客觀事物的數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)定理、數(shù)學(xué)公式、數(shù)學(xué)法則也是互相聯(lián)系的，在一定條件下可處于一個統(tǒng)一體之中。例如，運算、變換、函數(shù)分別是代數(shù)、幾何、分析這三個數(shù)學(xué)分支中的重要概念，在集合論中，便可統(tǒng)一于映射的概念。又如代數(shù)中的算術(shù)平均——幾何平均定理、加權(quán)平均定理、冪平均定理、加權(quán)冪平均定理等著名不等式，都可以統(tǒng)一于一元凹、凸函數(shù)的琴森不等式。
在數(shù)學(xué)方法上，同樣滲透著統(tǒng)一性的美。例如，從結(jié)構(gòu)上分析，解析法、三角法、復(fù)數(shù)法、向量法和圖解等具體方法，都可以統(tǒng)一于數(shù)形結(jié)合法。數(shù)學(xué)中的公理化方法，使零散的數(shù)學(xué)知識用邏輯的鏈條串聯(lián)起來，形成完整的知識體系，在本質(zhì)上體現(xiàn)了部分和整體之間的和諧統(tǒng)一。
數(shù)學(xué)理論的統(tǒng)一。在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的歷史過程中，一直存在著分化和整體化兩種趨勢。數(shù)學(xué)理論的統(tǒng)一性主要表現(xiàn)在它的整體性趨勢。歐幾里得的《幾何原本》,把一些空間性質(zhì)簡化為點、線、面、體幾個抽象概念和五條公設(shè)及五條公理，并由此導(dǎo)致出一套雅致的演繹理論體系，顯示出高度的統(tǒng)一性。布爾基學(xué)派的《數(shù)學(xué)原本》,用結(jié)構(gòu)的思想和語言來重新整理各個數(shù)學(xué)分支，在本質(zhì)上揭示數(shù)學(xué)的內(nèi)在聯(lián)系，使之成為一個有機整體，在數(shù)學(xué)的高度統(tǒng)一性上給人一美的啟迪。
數(shù)學(xué)和其它科學(xué)的統(tǒng)一。數(shù)學(xué)和其它科學(xué)的相互滲透，導(dǎo)致了科學(xué)數(shù)學(xué)化。正如卡爾·馬克思所說的，一門科學(xué)只有當(dāng)它成功的運用數(shù)學(xué)時，才算達(dá)到了真正完善的地步。力學(xué)的數(shù)學(xué)化使艾薩克·牛頓建立了經(jīng)典力學(xué)體系?？茖W(xué)的數(shù)學(xué)化使物理學(xué)與數(shù)學(xué)趨于統(tǒng)一。建立在相對論和量子論兩大基礎(chǔ)理論上的物理學(xué)，其各個分支都離不開數(shù)學(xué)方法的應(yīng)用，它們的理論表述也采用了數(shù)學(xué)的形式。化學(xué)的數(shù)學(xué)化加速了化學(xué)這門實驗性很強的學(xué)科向理論科學(xué)和精確科學(xué)過渡。生物數(shù)學(xué)化使生物學(xué)日益擺脫對生命過程進(jìn)行現(xiàn)象描述的階段，從定性研究轉(zhuǎn)向定量研究，這個數(shù)學(xué)化的方向，必將同物理學(xué)、化學(xué)的數(shù)學(xué)化方向一樣，把人類對生命世界的認(rèn)識提高到一個嶄新的水平。不僅自然科學(xué)普遍數(shù)學(xué)化了，而且數(shù)學(xué)方法也進(jìn)入了經(jīng)濟(jì)學(xué)、法學(xué)、人口學(xué)、人種學(xué)、歷史學(xué)、考古學(xué)、語言學(xué)、文學(xué)等社會科學(xué)領(lǐng)域，日益顯示出它的效用。數(shù)學(xué)進(jìn)入經(jīng)濟(jì)學(xué)領(lǐng)域最大的成就是本世紀(jì)出現(xiàn)的計量經(jīng)濟(jì)學(xué)。數(shù)學(xué)進(jìn)入語言學(xué)領(lǐng)域，使語言學(xué)研究經(jīng)歷了統(tǒng)計語言學(xué)、代數(shù)語言學(xué)和算法語言學(xué)三個階段。數(shù)學(xué)向文學(xué)的滲透，發(fā)現(xiàn)了數(shù)學(xué)的抽象推理和符號運算同文學(xué)的形象思維之間有著奇妙的聯(lián)系。
奇異美
人們提起數(shù)學(xué)的時候通常會說“奇妙的數(shù)學(xué)”，數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和解題中也有一些非常規(guī)的奇妙的解法等等。這些就是我們通常說的數(shù)學(xué)的奇異性。
徐利治教授說“奇異是一種美，奇異到極度更是一種美?！?a href="/hebeideji/7246701361524998196.html">弗蘭西斯·培根曾說：“沒有一個極美的東西不是在勻稱中有著某種奇異?！边@句話的意思是：奇異存在于美的事物之中，奇異是相對于我們所熟悉的事物而言。一個事物十分工整對稱、十分簡潔或高度統(tǒng)一，都給人一種奇異感，一個新事物、新規(guī)律、新現(xiàn)象的被揭示，總是使人們感到一種帶有奇異的美感，令人產(chǎn)生一種驚奇的愉快。數(shù)學(xué)審美對象的奇異性有以下幾種典型表現(xiàn)形式。奇異性是數(shù)學(xué)美的一個重要特征，它反映了顯示世界中非常規(guī)現(xiàn)象的一個側(cè)面，也是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的重要美學(xué)因素。數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的一些新的觀念的產(chǎn)生，就是來自對奇異美的追求。
畢達(dá)哥拉斯學(xué)派認(rèn)為任何數(shù)量都可表示成整數(shù)或兩個整數(shù)的比，而無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)無疑是一個奇異的結(jié)果。它打破了原先的數(shù)的和諧性，被稱為第一次數(shù)學(xué)危機。
奇異性常常和數(shù)學(xué)中的反例緊密相聯(lián)，反例的產(chǎn)生則往往導(dǎo)致人們的認(rèn)識能夠的深化和數(shù)學(xué)理論的重大發(fā)展。例如人們以為一切函數(shù)都是連續(xù)的，連續(xù)性不被人們所注目，當(dāng)有間斷點的函數(shù)出現(xiàn)以至于有著名的狄里克萊函數(shù)：D（x）= （x為有理數(shù)1時函數(shù)值等于1，x為無理數(shù)量函數(shù)值為0）出現(xiàn)時，由于它在實數(shù)軸上處處有定義，但卻處處間斷，這種奇異性的發(fā)現(xiàn)使人們對連續(xù)性的美妙之處看得更清楚了。同樣，當(dāng)卡爾·魏爾施特拉斯給出處處連續(xù)而處處不可微的函數(shù)時，人們對可微的概念便有了更深刻的認(rèn)識。
關(guān)于數(shù)學(xué)的奇異性，接下來我講一個布豐用投針求圓周率的近似值的試驗也是數(shù)學(xué)方法奇異性的一個典型例子。有一天蒲豐邀請許多賓朋來家做了一個奇特的實驗。他事先在白紙上畫好了一條條有等距離的平行線，將紙鋪在桌上，又拿出一些質(zhì)量勻稱長度為平行線間距離之半的小針，請客人把針一根根隨便仍到紙上，蒲豐則在一旁計數(shù)，結(jié)果共投2212次，其中與任意平行線相交的有704次，蒲豐又做了一簡單的除法，然后他宣布這就是圓周率的近似值，還說投的次數(shù)越多越精確。這個實驗使人震驚，圓周率和一個表面看來毫不相干的隨便投針實驗溝通在一起。然而，這確實是有理論根據(jù)的。計算圓周率的這一方法新穎、奇妙而讓人叫絕，充分顯示了數(shù)學(xué)方法的奇異美。
另外，四元數(shù)理論、突變理論、非歐幾何等等無不顯示出數(shù)學(xué)的奇異美
還有這樣一個問題：“凸n(n>4)邊形的對角線最多有幾個交點？”這個問題，按照習(xí)慣，也許會從四邊形開始，逐步通過五邊形、六邊形……來構(gòu)造對角線的交點，從中歸納出一般規(guī)律。當(dāng)一次次構(gòu)造的嘗試都未獲得理想的結(jié)果時，我們要敢于放棄傳統(tǒng)方法，另辟蹊徑：一個交點是由兩條對角線相交而成，兩條對角線由四個頂點確定，而凸n邊形任意四個頂點都能且只能確定一個交點，于是問題就轉(zhuǎn)化為“在n個頂點中任意取四個，共有幾種取法?！毙路f的方法帶來了意想不到的效果，這便是化歸法的奇異美所在。
在教學(xué)“奇妙的9”時，舉了一些式子也是數(shù)學(xué)奇妙性的反映
2×9=18 1+8=9
13×9=117 1+1+7=9
26×9=234 2+3+4=9
56×9=504 5+0+4=9
78×9=702 7+0+2=9
通過觀察，他們發(fā)現(xiàn)任意的一個自然數(shù)乘9，乘的的積的各個數(shù)位上的和均為9的倍數(shù)，這是多么美妙的發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在體驗到成功的喜悅的同時，也體會到了數(shù)學(xué)的神奇美。
奇巧的東西給人以奇異、巧妙之感，高度的奇巧更是令人賞心悅目。數(shù)學(xué)中充滿著奇巧的符號、公式、算式、圖形和方法。歐拉給出的著名公式eip+1=0,將最基本的代數(shù)數(shù)0，1，i和超越數(shù)p，e用最基本的運算符號，通過最方便的方式巧妙的組合在一起，可謂數(shù)學(xué)創(chuàng)造的藝術(shù)精品。歐拉求無窮級數(shù) 1/n2和的方法、布豐投針求p值的方法、戴維·希爾伯特解決果爾丹問題的存在性證明方法，都以其巧妙而贏得學(xué)術(shù)界的高度贊美。
神秘的東西都帶有某種奇異色彩，使人產(chǎn)生幻想和揭示其奧妙的欲望。某些數(shù)學(xué)對象的本質(zhì)在沒有充分暴露之前，往往會使人產(chǎn)生神秘或不可思議感。比如，在歷史上，虛數(shù)曾一度被看作是“幻想中的數(shù)”、“介于存在和不存在之間的兩棲物”；無窮小量dx曾長期被蒙上神秘的面紗，被英國大主教貝克萊稱為“消失了量的鬼魂”；亨利·龐加萊把集合論比喻為“病態(tài)數(shù)學(xué)”，赫爾曼·外爾則稱格奧爾格·康托爾關(guān)于基數(shù)的等級是“霧上之霧”；非歐幾何在長達(dá)半個世紀(jì)的時間內(nèi)被人稱為“想象的幾何”、“虛擬的幾何”等等。當(dāng)然，當(dāng)人們認(rèn)識到這些數(shù)學(xué)對象的本質(zhì)后，其神秘性也就自然消失了。
重要美
數(shù)學(xué)在人類文明的發(fā)展中起著非常重要的作用，數(shù)學(xué)推動了重大的科學(xué)技術(shù)進(jìn)步。但在歷史上，限于技術(shù)條件，依據(jù)數(shù)學(xué)推理和推算所作的預(yù)見，往往要多年之后才能實現(xiàn)。數(shù)學(xué)為人類生產(chǎn)和生活 帶來的效益容易被忽視。進(jìn)入二十世紀(jì)，尤其是到了二十世紀(jì)中葉以后，科學(xué)技術(shù)發(fā)展到這一步：數(shù) 學(xué)理論研究與實際應(yīng)用之間的時間差已大大縮短，特別是當(dāng)前，隨著電腦應(yīng)用的普及，信息的數(shù)字化 和信息通道的大規(guī)模聯(lián)網(wǎng)，依據(jù)數(shù)學(xué)所作的創(chuàng)造設(shè)想已經(jīng)達(dá)到可即時試驗、即時實施的地步。數(shù)學(xué)技 術(shù)將是一種應(yīng)用最廣泛、最直接、最及時、最富創(chuàng)造力和重要的實用技術(shù)。
數(shù)學(xué)與科學(xué)技術(shù)進(jìn)步：
二十世紀(jì)科學(xué)技術(shù)進(jìn)步給人類生產(chǎn)和生活帶來的巨大變化確實令人贊嘆不已。從遠(yuǎn)古時代 起一直是人們幻想的“順風(fēng)耳”，“千里眼”，“空中飛行”和“飛向太空”都在這一世紀(jì)成為現(xiàn)實?；?顧二十世紀(jì)的重大科學(xué)技術(shù)進(jìn)步，以下幾個項目元疑是影響最大的，而數(shù)學(xué)的預(yù)見和推動作用是 非常關(guān)鍵。
先有了麥克斯韋方程人們從數(shù)學(xué)上論證了電磁波，其后赫茲才有可能做發(fā)射電磁波的實 驗，接著才會有電磁波聲光信息傳遞技術(shù)的發(fā)展；
愛因斯坦相對論的質(zhì)能公式首先從數(shù)學(xué)上論證了原子反應(yīng)將釋放出的巨大能量，預(yù)示了 原子能時代的來臨．隨后人們才在技術(shù)上實現(xiàn)了這一預(yù)見，到了今天，原子能已成為發(fā)達(dá)國家電 力能源的主要組成部分；
牛頓當(dāng)年已經(jīng)通過數(shù)學(xué)計算預(yù)見了發(fā)射人造天體的可能性，差不多過了將近三個世紀(jì)，人們才實現(xiàn)了這一預(yù)見；
電子數(shù)字計算機的誕生和發(fā)展完全是在數(shù)學(xué)理論的指導(dǎo)下進(jìn)行的。數(shù)學(xué)家艾倫·麥席森·圖靈和馮諾依 曼的研究對這一重大科學(xué)技術(shù)進(jìn)步起了關(guān)鍵性的推動作用；
遺傳與變異現(xiàn)象雖然早就為人們所注意。生產(chǎn)和生活中也曾培養(yǎng)過動植物新品種。遺傳 的機制卻很長時間得不到合理解釋，十九世紀(jì)60年代，格雷戈爾·孟德爾以組合數(shù)學(xué)模型來解釋他通過長 達(dá)8年的實驗觀察得到的遺傳統(tǒng)計資料，從而預(yù)見了遺傳基因的存在性。多年以后，人們才發(fā)現(xiàn) 了遺傳基因的實際承載體，到了本世紀(jì)50年代沃森和克里發(fā)現(xiàn)了脫氧核糖核酸分子的雙螺旋結(jié)構(gòu)。這以 后，數(shù)學(xué)更深刻地進(jìn)入遺傳密碼的破譯研究。
數(shù)學(xué)是人類理性思維的重要方式，數(shù)學(xué)模型，數(shù)學(xué)研究和數(shù)學(xué)推斷往往能作出先于具體經(jīng)驗 的預(yù)見。這種預(yù)見并非出于幻想而是出于對以數(shù)學(xué)方式表現(xiàn)出來的自然規(guī)律和必然性的認(rèn)識，隨 著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，數(shù)學(xué)、預(yù)見的精確性和可檢驗性日益顯示其重意義。
時代大潮的潮頭：
我們面臨一個科學(xué)技術(shù)迅猛發(fā)展的時代。信息的數(shù)字化和信息的數(shù)學(xué)處理已經(jīng)成為幾乎所 有高科技項目共同的核心技術(shù)。從事先設(shè)計、制定方案，到試驗探索、不斷改進(jìn)，到指揮控制、具體 操作，處處倚重于數(shù)學(xué)技術(shù)。眾多新聞報道反映出這一時代大潮洶涌澎湃的勢頭。下面列舉的僅 僅是其中一小部分。
數(shù)學(xué)技術(shù)已經(jīng)成為工業(yè)新產(chǎn)品研制設(shè)計的重要關(guān)鍵技術(shù)。1994年4月9日，被稱為“百 分之百數(shù)字化確定”的波音777型飛機舉行盛大隆重的出廠典禮．在過去，進(jìn)行新機型設(shè)計，必須 對模型構(gòu)件和樣機反復(fù)作強度試驗和空氣動力學(xué)性試驗。稍有不妥，就必須改變設(shè)計再來一輪 試驗。新機種的研制周期長達(dá)十余年，消耗大量原材料和能源，采用了數(shù)學(xué)技術(shù)以后，所有的試驗 可以通過精確設(shè)定的數(shù)學(xué)模型在計算機中進(jìn)行，探索和修改都可以通過數(shù)學(xué)指令去實現(xiàn)。新機種 的研制周期從十多年縮短到三年半，大幅度節(jié)約了原材料和能源；
許多國家認(rèn)識到，發(fā)展高清晰度電視是未來經(jīng)濟(jì)技術(shù)競爭的主戰(zhàn)場之一。日本和美國都 投入大量資金和人力進(jìn)行有關(guān)研究，日本起步最早，但所研究的是模擬式的；美國雖然起步稍晚，但所研究的是數(shù)字式的。經(jīng)過多年的較量，數(shù)字式研究以其高度優(yōu)越性取得關(guān)鍵性勝利。1994年 2月24日《人民日報》報道：日本政府正式宣布，轉(zhuǎn)向研究數(shù)字式高清晰度電視，承認(rèn)數(shù)字式因其 優(yōu)越性而得到世界多數(shù)國家贊同，很可能成為未來的國際標(biāo)準(zhǔn)；
應(yīng)該指出，電視屏幕不僅是現(xiàn)代人們?nèi)粘Ｉ钏豢扇鄙俚?，而且可能通過聯(lián)網(wǎng)成為信息傳 遞處理的工作面。幾乎所有重要的工作崗位都將與之有關(guān)。數(shù)學(xué)技術(shù)在如此重要項目的激烈較量 中起了決定作用。
1991年的海灣戰(zhàn)爭是一場現(xiàn)代高科技戰(zhàn)爭，其核心技術(shù)竟然也是數(shù)學(xué)技術(shù)。這一事實引 起人們不小的驚訝。美國總結(jié)海灣戰(zhàn)爭經(jīng)驗得出結(jié)論是：“未來的戰(zhàn)場是數(shù)字化的戰(zhàn)爭”。
干擾和失真是電磁波通信的一大難題。早在六十年代太空開發(fā)競爭的初期，美國施行"阿波羅登月計劃"時，就已經(jīng)意識到：由于太空中過強的干擾，無論依靠怎樣精密的電子硬件設(shè)備，也 無法收到任何有用的信息，更不用說操縱控制了，采用了信息數(shù)字化、糾錯編碼、數(shù)字濾波等一整套數(shù)學(xué)通訊技術(shù)和數(shù)學(xué)控制技術(shù)之后，送人登月的計劃才得以順利完成，二十年后，在海灣戰(zhàn)爭中，多國部隊方面使用這一套技術(shù)把對方干擾得既聾又瞎，卻能讓自己方面的信息暢通無阻。采用精密的數(shù)學(xué)技術(shù)，可以在短短數(shù)十秒的時間內(nèi)準(zhǔn)確攔截對方發(fā)射的導(dǎo)彈，又可以引導(dǎo)對方發(fā)射導(dǎo)彈準(zhǔn)確擊中對方的目標(biāo)。也正是這一套信息數(shù)字化的數(shù)學(xué)技術(shù)，在開發(fā)高清晰度電視的競爭中取得壓倒性的勝利。開發(fā)一種數(shù)學(xué)技術(shù)可以在如此眾多方面施展效用，足見數(shù)學(xué)的廣泛適用性。
1995年1月，在販神大地震之后，美國利用數(shù)學(xué)模型進(jìn)行地震預(yù)測，預(yù)告本世紀(jì)末加利福尼亞州南部可能發(fā)生大地震；
1995年3月，我國中央人民廣播電臺宣布啟用數(shù)字式轉(zhuǎn)播方式，指出以前的模擬式轉(zhuǎn)播方式效果差，所以改用新的轉(zhuǎn)播方式；
1995年6月，歐州聯(lián)盟開會研討未來數(shù)字化通信的統(tǒng)一制式；
1996年2月，我國電子工業(yè)部宣布“九五計劃”開發(fā)重點：數(shù)字化信息技術(shù)。所訂的兩個重點研制項目是：數(shù)字式高清晰度電視接受機樣機和數(shù)字式激光盤；
1996年4月，我國國家科委發(fā)布招標(biāo)公告，正式宣布數(shù)字式高清晰度電視開發(fā)項目。
當(dāng)代與未來的發(fā)展倚重數(shù)學(xué)：
僅以幾件事為例就能清楚地看到數(shù)學(xué)對當(dāng)代人們的生產(chǎn)和生活所起的重要作用。當(dāng)代的生產(chǎn)和生活離不開石油，石油勘探和生產(chǎn)需要了解地層結(jié)構(gòu)。多年以來已經(jīng)發(fā)展了一整套數(shù)學(xué)模型和數(shù)學(xué)程序。人們發(fā)射地震波，然后將各個層面反射回來的信息收集起來力。以數(shù)學(xué)處理，就能將地層各個剖面的圖像和地層結(jié)構(gòu)的全貌展現(xiàn)出來。這已是目前石油勘探與生產(chǎn)普遍采用的數(shù)學(xué)技術(shù)。無獨有偶，涉及到人的生命也有類似的情況，醫(yī)生需要了解病人軀體內(nèi)部和器官內(nèi)部的狀況與變異，以前的調(diào)光片將骨骼和各種器官全都重疊在一起，往往難以辨認(rèn)）現(xiàn)在也有了一整套數(shù)學(xué)方案。借助了精密設(shè)備收集射線穿透人體或核磁共振帶出的信息力。以數(shù)學(xué)處理就能將人體各個削面的狀況清晰地層現(xiàn)出來，需要了解哪個層面就可以調(diào)出哪個層面的圖片來，關(guān)系到人們的生產(chǎn)與生活，這樣的例證很多很多。
在涉及生存與發(fā)展的關(guān)鍵時刻，特別是在涉及人類命運的緊要關(guān)頭，數(shù)學(xué)也起著非常重要的作用。在進(jìn)入本世紀(jì)最后十年的時候，美國國家研究委員會公布了兩份重要報告《人人關(guān)心數(shù)學(xué) 教育的未來》和《振興美國數(shù)學(xué)—— 90 年代的計劃》．兩份報告都提到：近半個世紀(jì)以來，有三個時期數(shù)學(xué)的應(yīng)用受到特別重視，促進(jìn)了數(shù)學(xué)的爆炸性發(fā)展，“第二次世界大戰(zhàn)促成了許多新的強有力數(shù)學(xué)方法的發(fā)展……“由于蘇聯(lián)人造衛(wèi)星發(fā)射的刺激，美國政府增加投入促進(jìn)了數(shù)學(xué)研究與數(shù)學(xué)教育的發(fā)展”，“計算機的使用擴大了對數(shù)學(xué)的需求”．在二次世界大戰(zhàn)太平洋戰(zhàn)爭的關(guān)鍵時刻，由于采用數(shù)學(xué)方法破譯日軍密碼，美國海軍才能在艦只力量對比絕對劣勢的情況下，贏得中途島戰(zhàn)役的勝利，殲滅日本聯(lián)合艦隊的主力，扭轉(zhuǎn)整個太平洋戰(zhàn)局。在關(guān)系人類命運的二次世界大戰(zhàn)中，美國幾乎是整個反法西斯主義戰(zhàn)線的后勤補給基地。到了反攻階段，要組織跨越兩個大洋的大規(guī)模行動，物資調(diào)運和后勤支援成了非常關(guān)鍵的問題，這刺激了有關(guān)數(shù)學(xué)方法的迅速發(fā)展。這期間發(fā)展起來并且在戰(zhàn)后迅速普及到各個方面的線性規(guī)劃實用數(shù)學(xué)技術(shù)，為人類帶來了數(shù)以千億計 的巨大效益。到了1957年，蘇聯(lián)將第一顆人造衛(wèi)星迭人太空，震撼了美國朝野。意識到有關(guān)應(yīng)用數(shù)學(xué)方面的差距，美國政府加大投入，促進(jìn)了數(shù)學(xué)研究與數(shù)學(xué)教育的迅速發(fā)展，隨著計算機的發(fā) 展，對數(shù)學(xué)有了空前的需求，刺激數(shù)學(xué)進(jìn)入了第三個大發(fā)展的時期。
已經(jīng)有了很多很多極有說服力的例證，說明無論在日常的生產(chǎn)和生活中，還是在涉及生存和發(fā)展的關(guān)鍵時刻，數(shù)學(xué)都起著非常重要的作用，在新世紀(jì)即將到來之前科學(xué)技術(shù)和生產(chǎn)的發(fā)展對數(shù)學(xué)提出了空前的需求，我們必須把握時機增大投入，加強數(shù)學(xué)研究與數(shù)學(xué)教育，提高全民族的數(shù)學(xué)素質(zhì)，才能更好地迎接未來的挑戰(zhàn)。
比例美
黃金分割又稱黃金律，是指事物各部分間一定的數(shù)學(xué)比例關(guān)系，即將整體一分為二，較大部分與較小部分之比等于整體與較大部分之比，其比值為1∶0.618或1.618∶1，即長段為全段的0.618。0.618被公認(rèn)為最具有審美意義的比例數(shù)字。上述比例是最能引起人的美感的比例，因此被稱為黃金分割。
類別
數(shù)學(xué)知識的審美教育主要是通過教學(xué)使學(xué)生感受數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在美，諸如數(shù)字美、符號美、構(gòu)圖美等，培養(yǎng)和提高學(xué)生的審美能力，培養(yǎng)學(xué)生對數(shù)學(xué)知識美的熱愛，通過學(xué)生的"內(nèi)化"，逐步遷移為對數(shù)學(xué)知識的熱愛和追求，從而激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣，開發(fā)學(xué)生的智力，從而達(dá)到育人的目的。小學(xué)數(shù)學(xué)課程中隱含著豐富的美育因素，我們要充分發(fā)掘數(shù)學(xué)教材中的美育因素，讓孩子感受到數(shù)學(xué)的美，進(jìn)而喜歡數(shù)學(xué)。數(shù)學(xué)教材中隱含的美育因素主要包括以下幾個方面：
數(shù)學(xué)的簡潔與抽象美
數(shù)學(xué)的簡潔美，并不是指數(shù)學(xué)內(nèi)容本身簡單，而是指數(shù)學(xué)的表達(dá)形式、數(shù)學(xué)的證明方法和數(shù)學(xué)的理論體系的結(jié)構(gòu)簡潔。公式C=2πR就是其中一例。幾何中完美的圖形——圓，內(nèi)含的周長與半徑有著異常簡潔和諧的關(guān)系，一個傳奇的數(shù)"π"把它們緊緊相連。又如，數(shù)“1”，小至一個原子、粒子；大至一個太陽、一個宇宙……宇宙萬物，均可以用“1”來表示。幾何形體的各種求面積、體積公式，簡潔實用，萬無一失，只要符合有關(guān)條件，計算不出錯誤，就可以得到正確的結(jié)果。細(xì)心的人還可以找到他們之間的內(nèi)在聯(lián)系。再如，許多簡便的解法，也是數(shù)學(xué)簡潔美的體現(xiàn)。
簡單舉例：
計算1
1/2 +1/6 +1/12 +1/20 +1/30 +1/42 +1/56 +1/72 +1/90
面對這個計算題，若貿(mào)然用一般的通分的方法
來解決，會帶來繁雜的計算。當(dāng)仔細(xì)審視這題的特點，發(fā)現(xiàn) 每一項的分?jǐn)?shù)的分子皆是1，而分母可分別分拆成兩個相連的自然數(shù)之積，即1×2,2×3,3×4,4×5,5×6,6× 7,7×8,8×9,9×10，于是，立即使我們聯(lián)想到，把每個分?jǐn)?shù)都分拆成兩個分?jǐn)?shù)之差。這樣一來，盡管計算過程中分?jǐn)?shù)的項數(shù)增加了一倍，但出現(xiàn)正負(fù)相間的兩個相同的分?jǐn)?shù)，中間的項對消了，只剩下首末兩項，從而很快 獲得結(jié)果，即
原式=1/1*2 + 1/2*3 + 1/3*4 +1/4*5 +1/5*6 + 1/6*7 +1/7*8 +1/8*9 +19*10
=（1-1/2）+（1/2-1/3）+（1/3-1/4）+（1/4-1/5）+（1/5-1/6）+（1/6-1/7）+（1/7-1/8）+（1/8-1/9）+（1/9-1/10）
=1-1/10
=9/10
這一簡潔的解法，給人以美的享受。
數(shù)字和符號美
美好的數(shù)字：一是萬物之始，一統(tǒng)天下，一馬當(dāng)先，何其壯美；二是偶數(shù)，雙喜臨門，比翼雙飛，多么美好幸福；三是升的諧音，表示多數(shù)，三教九流，三生有幸，三番四次，四是全包圍結(jié)構(gòu)，四平八穩(wěn)，小四合院獨具特色，四通八達(dá)，四季發(fā)財；對于一個循環(huán)小數(shù)，可以采用循環(huán)節(jié)的記數(shù)法，簡潔準(zhǔn)確的表示出來。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中還涉及到許多符號，如四則運算中的"+、－、×、÷"，比較大小的 "<、>、= " 號，還有改變運算順序的小括號[]、中括號[ ]、大括號{ }等等，這些符號都講究上下左右對稱，如 果書寫時不注意它們的對稱性，錯寫漏寫都破壞了它們之間的內(nèi)在美。
構(gòu)圖美和組合美
幾何初步知識是小學(xué)數(shù)學(xué)的一項重要內(nèi)容，它包括直線、線段、射線、角、長方形、正方形、圓、平行四邊形、梯形、長方體、正方體、球的認(rèn)識和畫法等，這些圖形，無論他們的簡單和復(fù)雜程度如何，都各自具有獨特的美。例如：直線表現(xiàn)剛勁有力，曲線表現(xiàn)輕快流暢，三角形寓有變化之美，等腰三角形、等腰梯形、長方形、圓等幾何形體的對稱美，正方形的平穩(wěn)方正等等，教師可在教學(xué)中利用教材提供的各種圖形，引導(dǎo)學(xué)生在認(rèn)識和掌握各種圖形的過程中，體驗他們的優(yōu)美，達(dá)到美的感受。并且可以利用圖形之間的關(guān)系或者一些有趣的規(guī)律，發(fā)揮學(xué)生的想象力，讓他們用各種圖形拼組成自己喜歡的事物，體會數(shù)學(xué)的組合美。
數(shù)學(xué)知識中的對稱美
數(shù)學(xué)知識中的對稱主要有軸對稱美，如等腰三角形、矩形；中心對稱美，如平行四邊形、圓等；形式上對稱美，如正（+）與負(fù)（-）、加法與減法、乘法與除法、正比與反比等。在教學(xué)中可以密切聯(lián)系生活實際，聯(lián)系生物體結(jié)構(gòu)，如衣服、褲子、人體是軸對稱的，揭示對稱美，給學(xué)生領(lǐng)會對稱美的價值，通過實例加深學(xué)生對數(shù)學(xué)對稱美觀念的理解，深化思維，培養(yǎng)學(xué)生感受美、鑒賞美的能力。
方法美
自然數(shù)的個數(shù)是無限的：1、2、3、4、……奇數(shù)的個數(shù)是無限的1、3、5……人們采用“一一對應(yīng)’的數(shù)學(xué)方法：神奇地發(fā)現(xiàn)自然數(shù)列與奇數(shù)列還有如下關(guān)系：1、2、3、4、……把一個圓形，分割成8份、16份、32份，相等的近似的三角形拼擺后，圓形神奇地轉(zhuǎn)化成近似的長方形，所分的份數(shù)越多，所拼得圖形越接近于長方形。曲與直的這種轉(zhuǎn)化，在生活中可以找到它的活生生的典型”砌墻用的一塊塊方磚面是長方形，可以砌成橫斷面是圓形的煙囪；把用方磚砌成的橫斷面是圓形的煙囪拆開，又可以得到一塊塊的面是長方形的方磚。
思想美
數(shù)學(xué)知識中隱含有豐富的思想品德教育素材，小學(xué)數(shù)學(xué)教材中編寫了許多小故事，如"除號的由來"、"等號的由來"等；我國數(shù)學(xué)家陳景潤身居陋室，但為了攻破克里斯蒂安·哥德巴赫猜想這一世界數(shù)學(xué)難題，不斷演算，通過努力終于摘取了數(shù)學(xué)皇冠上的明珠；數(shù)學(xué)家江蘇省華羅庚中學(xué)時期的數(shù)學(xué)成績并不好，也沒有考取大學(xué)，但通過自己的自學(xué)，成為我國赫赫有名的數(shù)學(xué)家，并邀請到國外講學(xué)，然長逝在異國講壇上。數(shù)學(xué)家們高尚的思想品德，深厚的愛國熱情，非凡的智慧才能，都是教育我們學(xué)生的好素材，激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)的熱愛和追求，培養(yǎng)克服困難、奮發(fā)向上的精神，培養(yǎng)學(xué)生的遠(yuǎn)大志向。
知識的奇異美
奇異性是數(shù)學(xué)內(nèi)涵美的又一基本內(nèi)容。它是指所得的結(jié)果新穎奇特，出人意料。七巧板拼圖是小學(xué)數(shù)學(xué)課常采用的內(nèi)容。用七塊板可以拼成一個最簡單的正方形，也可以拼出千變?nèi)f化的復(fù)雜圖案：如人形、鳥獸、花草、房屋等。通過七巧板拼圖練習(xí)，學(xué)生感到圖案之多，出人意料；圖形之美，妙趣橫生。
有趣的數(shù)學(xué)知識，不僅能讓學(xué)生感受到不同的美，而且利用數(shù)學(xué)的奇妙還能裝扮人們的生活。比如：搞服裝設(shè)計，如果擁有黃金分割的知識，就會感覺自己的設(shè)計很舒服。約翰·塞巴斯蒂安·巴赫的音樂中充斥著數(shù)學(xué)的對稱美，埃及的金字塔在建筑線條上凝聚了多少形象的數(shù)學(xué)……真可謂哪里有數(shù)學(xué)，哪里就有美。
相關(guān)名言
數(shù)學(xué)之美是很自然明白地擺著的?！?a href="/hebeideji/7806165678717763177.html">保羅·哈爾莫斯
家長和老師要善于讓孩子們?nèi)グl(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)之美，感受數(shù)學(xué)之美，從而建立起自己的數(shù)學(xué)審美意識?！?a href="/hebeideji/3067359113261647837.html">徐利治
分形幾何不僅展示了數(shù)學(xué)之美，也揭示了世界的本質(zhì)，還改變了人們理解自然奧秘的方式；可以說分形幾何是真正描述大自然的幾何學(xué)，對它的研究也極大地拓展了人類的認(rèn)知疆域。——周海中
參考資料 >
做學(xué)問要努力實現(xiàn)真善美的統(tǒng)一.m.toutiao.com.2022-06-14
文學(xué)研究與數(shù)學(xué)思想方法.m.toutiao.com.2022-06-13
又針對中國！美國這兩位議員折騰出一部《無止境邊疆法案》.m.toutiao.com.2022-06-13