圓冪定理是平面幾何中的一個(gè)定理，是相交弦定理、切線(xiàn)長(zhǎng)定理、弦切角定理及割線(xiàn)定理（切割線(xiàn)定理推論）的統(tǒng)一，例如如果交點(diǎn)為P的兩條相交直線(xiàn)與圓O相交于A、B與C、D，則PA·PB=PC·PD。
發(fā)展簡(jiǎn)史
圓冪定理是一個(gè)總結(jié)性的定理，是對(duì)相交弦定理、切割線(xiàn)定理及割線(xiàn)定理（切割線(xiàn)定理推論）以及它們推論的統(tǒng)一與歸納。根據(jù)兩條與圓有相交關(guān)系的線(xiàn)的位置不同，有以下定理：
??相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線(xiàn)段長(zhǎng)的積相等。
??切割線(xiàn)定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線(xiàn)和割線(xiàn)，切線(xiàn)長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線(xiàn)與圓交點(diǎn)的兩條線(xiàn)段長(zhǎng)的比例中項(xiàng)。
??割線(xiàn)定理：從圓外一點(diǎn)P引兩條割線(xiàn)與圓分別交于A、B；C、D，則有
從上述定理可以看出，兩條線(xiàn)的位置從內(nèi)到外，都有著相似的結(jié)論。經(jīng)過(guò)總結(jié)和歸納，便得出了圓冪定理。
點(diǎn)對(duì)圓的冪
定義
P點(diǎn)對(duì)圓O的冪定義為
性質(zhì)
點(diǎn)P對(duì)圓O的冪的值，和點(diǎn)P與圓O的位置關(guān)系有下述關(guān)系：
??點(diǎn)P在圓O內(nèi)→P對(duì)圓O的冪為負(fù)數(shù)；
??點(diǎn)P在圓O外→P對(duì)圓O的冪為正數(shù)；
??點(diǎn)P在圓O上→P對(duì)圓O的冪為0。
注意：以上關(guān)系除正向應(yīng)用通過(guò)點(diǎn)和圓的位置關(guān)系判斷點(diǎn)對(duì)的圓的冪的符號(hào)，還可以逆向應(yīng)用，通過(guò)點(diǎn)對(duì)圓的冪的符號(hào)反推點(diǎn)和圓的位置關(guān)系。
在某些書(shū)中，點(diǎn)P對(duì)圓O的冪表示為，但通常來(lái)說(shuō)，冪是有正負(fù)零之分的。
定理證明
圖1中圖Ⅰ：相交弦定理。如圖1中圖Ⅰ，AB、CD為圓O的兩條任意弦。相交于點(diǎn)P，連接AD、BC，由于與同為弧AC所對(duì)的圓周角，因此由圓周角定理知：，同理，所以。所以有：，即：。
圖1中圖Ⅱ：割線(xiàn)定理。如圖1中圖Ⅱ，連接AD、BC。可知，又因?yàn)闉楣步?，所以有同上證得。
圖1中圖Ⅲ：切割線(xiàn)定理。如圖1中圖Ⅲ，連接AC、AD。為切線(xiàn)PA與弦AC組成的弦切角，因此有，又因?yàn)闉楣步?，所以有，易證
圖1中圖Ⅳ：切線(xiàn)長(zhǎng)定理。PA、PC均為切線(xiàn)，則，在直角三角形中：，PO為公共邊，因此。所以，所以。
綜上可知，是普遍成立的。
參考資料 >