極限（Limit）是微積分學的基本概念之一，用于定義連續、導數、積分和級數等數學概念，分為數列極限和函數極限。數列極限的定義為：設為一數列，如果存在常數，對于任意給定的正數（不論它多小），總存在正整數，使得當時，不等式都成立，則稱為數列的極限或稱數列收斂于。函數極限的定義可描述為：在自變量變化過程中，若函數值無限趨近于某一確定數，則該數稱為函數在此過程中的極限。此外，函數的極限因自變量變化過程不同會呈現不同形式。
極限概念的起源可以追溯到中國古代和古希臘時期。17世紀，英國數學家艾薩克·牛頓和德國數學家戈特弗里德·萊布尼茨獨立創立了微積分學，極限概念成為微積分建立過程中不可或缺的部分。18世紀，法國數學家讓·達朗貝爾首次將極限概念明確地作為微積分的基礎。19世紀，法國數學家奧古斯丁-路易·柯西通過算術方法明確定義了極限，為無窮小和無窮大量的理解提供了清晰的算術基礎。隨著極限概念被推廣到多元函數和復變量函數，美國數學家穆爾和德國數學家史密斯通過引入廣義序列的收斂定義了極限的更一般化概念，不僅拓展了極限概念的應用范圍，還在現代拓撲學和數學分析中起到了重要作用。
極限具有唯一性、有界性和保號性等性質。極限的求法有四則運算法則和復合函數的極限運算法則等。極限的相關概念有無界變量、無窮小量和無窮大量。極限的推廣包括夾逼定理、單調收斂定理和柯西收斂準則等。兩個重要極限分別為和。極限的應用范圍廣泛，在數學、物理、經濟領等域均有重要價值。
歷史
起源
極限概念的起源可以追溯到中國古代和古希臘時期，這一概念在兩個文明中幾乎同時但獨立地被提出和應用。在中國，最早記載極限思想的文獻之一是《莊子·天下篇》，其中惠子提出了“一尺之錘，日取其半，萬世不竭”的思想，這是對無限分割過程的直觀描述。而在3世紀，中國數學家劉徽在計算圓的面積時提出了“割圓術”，通過將圓內接正多邊形的邊數不斷倍增來逼近圓的真實面積，體現了早期極限思想的實際應用。劉徽的方法不僅成功計算出圓周率的近似值，而且通過無限細分，內接多邊形的面積可以無限逼近圓的面積。
古希臘數學家安蒂豐（Antiphon）在討論化圓為方的問題時，也想到了使用邊數不斷增加的內接正多邊形來逼近圓面積的方法。這種方法后來由歐多克索斯（Eudoxus）進一步發展，并被阿基米德（Archimede）成功應用于求解面積和體積的問題。阿基米德利用了歐多克索斯的“窮竭法”原理，這是一種通過不斷減去大于半量的過程來逼近較小量的方法，它是現代分析中阿基米德原理的原型。阿基米德通過這種方法獲得了拋物線弓形面積等重要結論，展示了近代積分學中微元法思想的雛形，盡管當時還沒有形成精確的極限概念?！案F竭法”到了17世紀被重新研究并進一步發展，其蘊含的思想成為近代極限概念的雛形。
發展
17世紀標志著數學發展的一個重要轉折點，特別是解析幾何的創立，使得自然科學的研究焦點轉向了自然界中的運動和變化，促進了變量和函數概念的引入。這一時期，英國數學家艾薩克·牛頓（Newton）和德國數學家戈特弗里德·萊布尼茨（Leibniz）基于前人的工作，獨立創立了微積分學，極限概念成為微積分建立過程中不可或缺的部分。然而，最初關于極限的概念理解是模糊的，尤其在一些關鍵之處經常顯得理論自相矛盾。
牛頓在其著作中提出流數法，將曲線視為動點的軌跡，動點的坐標是時間的函數，他通過流數（即導數）來描述動點的速度。萊布尼茲則從和、差可逆性的研究出發，構建了微積分思想。通過研究帕斯卡三角形和探索切線問題及求積問題的互逆性，戈特弗里德·萊布尼茨引入了微分和積分的符號。不同于艾薩克·牛頓，萊布尼茲視無窮小量為離散且具有不同層次的，從而引出了高階微分的概念。然而，牛頓和萊布尼茲在定義無窮小量時都存在邏輯上的模糊。極限概念的含糊不清導致一些數學家對微積分學產生了質疑，尤其是英國利奧六世安東尼·伯克萊（Berkeley），他曾在《分析學家》上嘲笑牛頓在無窮小概念上是“瞪著眼睛說瞎話”。
完善
為了克服無窮小概念帶來的困難，18至19世紀的數學家們提出了多種方案，其中法國數學家讓·達朗貝爾（D' Alembert）首次將極限概念明確地作為微積分的基礎。他提出了一個變量趨近于固定量的定義，雖然這個定義較為通俗且未完全公式化，但它標志著極限概念開始擺脫直觀的幾何和力學原型，向現代嚴格極限理論的初步形態邁進。
1817年，捷克數學家波爾查諾首次拋棄無窮小概念，采用極限觀念定義導數和連續性，并提出級數收斂的判別準則及確界存在原理，但其工作長期未被重視。直到法國數學家奧古斯丁-路易·柯西（Cauchy）通過算術方法明確定義了極限，并用不等式刻畫了極限的概念，為無窮小和無窮大量的理解提供了清晰的算術基礎。他的極限定義擺脫了長期以來的幾何說明，使極限概念成為算術的，為數學分析的嚴格化奠定了基礎。德國數學家卡爾·魏爾施特拉斯（Weierstrass）對柯西的工作進行了改進，他采用了靜態觀點來定義極限，避免了直觀的時間和運動概念，將分析奠基在純算術概念之上。外爾斯特拉斯的方法使極限運算成為一系列不等式的推導，徹底擺脫了對幾何直觀的依賴，實現了極限概念的算術化。
經過這些數學家的努力，19世紀的數學界最終消除了極限概念的不明確性，建立了嚴格的極限理論。這一理論的確立對于微積分基礎的建立具有重大意義，不僅解決了長期存在的各種困惑和悖論，而且推動了微積分及整個數學的深入發展，使微積分的應用和理論研究達到了一個新的廣闊境界。
推廣
隨著極限概念被推廣到多元函數和復變量函數，雖然極限過程變得更為復雜，但其基本性質大致保持不變。然而，數學家們逐漸發現，存在一些極限過程具有特殊性質，這些特殊情況的極限過程與傳統的單變量函數極限在處理方法上有所不同。例如，定積分的定義引入了達布和的概念，這里的極限過程與區間的分割緊密相關，難以僅用傳統的極限語言來描述。曲線弧長的定義也面臨著類似的情形。
對于極限的更一般化概念，則是由美國數學家穆爾（Moore）和德國數學家史密斯（Smith）通過引入廣義序列的收斂來定義的，這種收斂也被稱為廣義極限。廣義序列的概念是在有向集映射到拓撲空間的框架下提出的，它涉及到將有向集中的元素映射到拓撲空間中的元素上的對應關系。在這個定義下，一個拓撲空間中的廣義序列在該空間中收斂于某點，如果對該點的每個鄰域，都存在有向集中的一個元素，使得所有有序對中的元素均落在這個鄰域內。穆爾-史密斯收斂的概念展示了傳統序列作為廣義序列的一種特殊情況，其中有向集就是自然數集。廣義序列的引入不僅拓展了極限概念的應用范圍，還在現代拓撲學和數學分析中起到了重要作用。它可以用來刻畫分離公理、各種緊性以及緊化的構造，為理解和處理更復雜的數學結構提供了一種強有力的工具。
定義
數列極限
設為一數列，如果存在常數，對于任意給定的正數（不論它多?。偞嬖谡麛担沟脤λ袧M足的自然數，都有成立，則稱為數列的極限，并記作或。此時又稱數列收斂于。如果數列沒有極限，則稱該數列發散。
幾何定義：將常數及數列在數軸上用它們的對應點表示出來，再在數軸上作點的鄰域，即開區間。
因不等式與不等式等價，所以當時，所有的點都落在開區間內，而只有有限個（至多只有個）在這區間以外。
函數極限
函數極限的定義可描述為：在自變量變化過程中，若函數值無限趨近于某一確定數，則該數稱為函數在此過程中的極限。函數的極限因自變量變化過程不同會呈現不同形式。
自變量趨于有限值時函數的極限
設函數在的附近有定義，為實數，如果，，使得所有的都滿足，則稱當時，函數有極限，或稱當時，趨向于，記作，或。
幾何定義：任意給定一正數，作平行于軸的兩條直線和，界于這兩條直線之間是一橫條區域。根據定義，對于給定的，存在著點的一個鄰域，當的圖形上的點的橫坐標在鄰域內，但時，這些點的縱坐標滿足不等式，或。即這些點落在上面所作的橫條區域內。
單側極限：設函數在的左（右）側區間上有定義，為一實數，如果，，對于所有的，都有，則稱在有左（右）極限，記作，或。
自變量趨于無窮大時函數的極限
設在上有定義，是一個實數。如果，，對于所有的都有，則稱當趨向于時函數有極限，記作，或。
幾何定義：作直線和，則總有一個正數存在，使得當或時，函數的圖形位于這兩直線之間。這時，直線是函數的圖形的水平漸近線。
性質
數列極限
數列極限的唯一性
如果數列收斂，那么它的極限唯一。
證明：
假定存在兩個不相等的實數和，使得，同時成立。給定正數。由推出：存在正整數，使得當時恒有（公式1）。由又推出：存在正整數，使得當時恒有（公式2）。令，則當時，公式1與公式2同時成立，這時就有。這是矛盾的，證明收斂數列的極限具有唯一性。
收斂數列的有界性
如果數列收斂，那么數列一定有界。
證明：
設，則對于正數1，存在正整數，使得當時，恒有。由此可得，當時恒有。令，那么當時恒有。
數列的有界性是極限存在的必要條件，但是有界數列未必收斂。例如考察數列。這個數列有界，但是不存在極限。
收斂數列的保號性
如果，且（或），那么存在正整數，當時，都有（或）。
證明：
設，則由極限概念，存在正整數，使得當時恒有。此時就有。
假定 ，則得出：對于充分大的，恒有，這與定理假設沖突。
收斂數列與其子數列間的關系
如果數列收斂于，那么它的任一子數列也收斂，且極限也是。
證明：
設數列是數列的任一子數列。由于，故，正整數，當時，成立。取，則當時，。于是。這就證明了。
如果數列有兩個子數列收斂于不同的極限，那么數列是發散的。同時，一個發散的數列也可能有收斂的子數列。
函數極限
函數極限的唯一性
如果存在，那么這極限唯一。
證明方法可參考數列極限的唯一性。
函數極限的局部有界性
如果，那么存在常數和，使得當時，有。
證明：
因為，所以取，則，當時，有，記。
函數極限的局部保號性
如果，且（或），那么存在常數，使得當時，有（或）。
證明：
設，因為，所以，取，則，當時，有。當時同理。
函數極限與數列極限的關系
如果極限存在，為函數的定義域內任一收斂于的數列，且滿足，那么相應的函數值數列必收斂，且。
證明：
設，則，，當時，有。又因，故對，正整數，當時，有。由假設，，故當時，，從而，即。
運算法則
極限的求法主要建立在四則運算法則和復合函數的極限運算法則上。
定理一
兩個無窮小的和是無窮小。
證明：
設和是當時的兩個無窮小，而， 。因為是當時的無窮小，對于，，當時，不等式成立。又因是當時的無窮小，對于，，當時，不等式成立。取，則當時，及同時成立，從而。這就證明了也是當時的無窮小。
定理二
有界函數與無窮小的乘積是無窮小。
證明：
設函數在的某一去心鄰域內是有界的，即使對一切成立。又設是當時的無窮小，即，，當時，有。取，則當時，及同時成立。從而，這就證明了是當時的無窮小。
定理三
如果，，那么
證明1：
因，，根據無窮小定理可知，在自變量的同一變化過程（或）中，函數具有極限的充分必要條件是，其中是無窮小。于是得到。由定理一可知是無窮小，所以得到。同理可證2。
證明3：
由，，有，，其中及為無窮小。設，則。可看作兩個函數的乘積，其中函數是無窮小。由于，存在著點的某一去心鄰域，當時，，從而。于是。這就證明了在點的去心鄰域內有界。因此，根據定理二，是無窮小。而，所以由無窮小定理可得。
定理四
設有數列和。如果，，那么
證明方法可參考定理三。
定理五
如果，而，，那么。
證明：
令，則。根據定理三，有，可推論出有，即，故。
復合函數的極限運算法則
設函數是由函數與函數復合而成，在點的某去心鄰域內有定義，若，，且存在，當時，有，則。
證明：
由于，，，當時，成立。又由于，對于上面得到的，，當時，成立。假設當時，。取，則當時，和同時成立，即成立，從而成立。
相關概念
無界變量
設為數列，如果對于任意給定的正數，總能在該數列中找到某一項，滿足，則稱是一個無界數列。無窮大數列一定是無界數列，但是無界數列未必是無窮大數列。
舉例：是無界數列，但不是無窮大數列。如果是一個無窮大數列，則極限不存在。但是為了表示的簡潔，可以用記號來表示是一個無窮大數列。
無窮小量
如果函數當（或）時的極限為零，那么稱函數為當（或）時的無窮小。特別地，以零為極限的數列稱為時的無窮小。
例1：因為，所以函數為當時的無窮小。
例2：因為，所以函數為當時的無窮小。
無窮大量
設函數在的某一去心鄰域內有定義（或大于某一正數時有定義）。如果對于任意給定的正數（無論多大），總存在正數（或正數），只要適合不等式（或）,對應的函數值總滿足不等式，那么稱函數是當（或）時的無窮大。
舉例：證明。設，要使，只要。所以，取，則只要適合不等式，就有。這就證明了。一般地說，如果，那么直線是函數的圖形的鉛直漸近線。所以，直線是函數的圖形的鉛直漸近線。
推廣
夾逼定理
如果數列，和，滿足下列條件：
那么數列的極限存在，且。
證明：
因，，所以根據數列極限的定義，，正整數，當時，有；又正整數，當時，有。現在取，則當時，有，同時成立，即，同時成立。又因當時，介于和之間，從而有，即成立。這就證明了。
還可以推廣到函數的極限：
由夾逼定理可得出重要極限，可推廣為。
單調收斂定理
如果數列滿足條件，就稱數列是單調增加的；如果數列滿足條件，就稱數列是單調減少的。單調增加和單調減少的數列統稱為單調數列。
幾何解釋：
從數軸上看，對應于單調數列的點只可能向一個方向移動，所以只有兩種可能情形：點沿數軸移向無窮遠（或）；點無限趨于某一個定點A，也就是數列趨于一個極限。假定數列是有界的，而有界數列的點都落在數軸上某一個區間內，則上述第一種情況不可能發生。這表示這個數列趨于一個極限，并且這個極限的絕對值不超過。
由單調收斂定理可得出重要極限，可推廣為，其中，是一個無理數。
柯西收斂準則
數列收斂的充分必要條件是為奧古斯丁-路易·柯西數列。
證明：
假設數列收斂，令，則，，只要正整數滿足，就有。于是只要，，就有，?？芍灰?，，就有。于是為奧古斯丁-路易·柯西數列。
極限與導數的關系
若函數在上連續，在內可導，并且導函數的右極限存在，則在處的右導數存在，且。
證明：
因為在上連續，在內可導，所以任取，有在上連續，在內可導。由拉格朗日中值定理，得至少使得。因為，所以當時，有，于是，對上式兩邊同時取極限，得，又因為，所以有。
應用
數學應用
在數學中，極限的應用是多方面的，它不僅在高等數學中占據著重要的位置，而且在其他數學學科中也展現了巨大的作用。古代數學家劉徽的“割圓術”，現在用于定義曲邊梯形的面積。具體方法是通過將曲線下方的區域劃分為無數小矩形，這些小矩形的總面積在適當的極限下，可以無限逼近曲邊梯形的實際面積。這不僅是定積分的定義基礎，也是求解任何曲線邊界圖形面積的基礎。此外，極限思想同樣適用于求方程的數值解，例如求解二次方程的正根（即）。通過不斷取算術平均值和調整近似值，可以生成一個數列，該數列的極限即為方程的數值解。
物理學應用
函數極限的概念在物理學中的應用范圍廣泛，為揭示和理解多種物理現象提供了強有力的工具。函數極限的概念在物理學中的應用范圍廣泛，例如，在力學中，瞬時加速度的定義就是通過將平均加速度在極短時間間隔的極限情況下進行考慮得到的。同樣，在理想氣體溫標的定義中，也是通過考慮氣體壓強趨近于零時定壓和定容氣體溫標值的共同極限來確定的。此外，物理學中許多基本的運動規律和公式，如物理引力場的勢能、點電荷形成的電場位能、以及理想氣體的玻義耳-埃德姆·馬略特定律等，都可以通過函數極限的概念來解釋和理解。在熱力學領域，第三定律通過描述熱力學系統在溫度趨近于絕對零度時的行為，體現了極限概念的應用。在原子物理學領域，里德伯常數的理論值和原子光譜線系限波數的確定，都是通過應用函數極限的概念來實現的。
經濟學應用
在金融領域，尤其是股票市場和房地產市場，極限的應用展現了其在解決實際問題中的獨特價值。通過應用零增長模型，即假設股利增長率為零，可以通過計算未來股息的貼現值來估算股票的內在價值。這個過程涉及到將未來無限期股息紅利的累計貼現回現在，最終歸結為股票的凈現值（NPV）。根據NPV的正負，投資者能夠判斷股票是處于被低估狀態還是被高估狀態，進而作出買入或不買的決策。同樣，在購房按揭貸款分期償還的計算中，極限的應用同樣重要。通過構建年金計算模型，可以明確地計算出在給定的分期年數、年利率等條件下，購房者每月需還款的金額。當考慮到無限期付清的情形，即每期還款金額變成一個固定值時，通過極限的概念可以精確地計算出每個還款日的應還金額，為購房者提供了一種清晰的財務規劃方法。
參考資料 >
極限的概念和求法.tup.tsinghua.edu.2024-02-24
第二章 數列極限.第二章 數列極限.2024-02-24
函數的極限與連續.tup.tsinghua.edu.2024-02-24