設(shè)0≤X1≤X2≤…≤Xn≤…是一單調(diào)非負(fù)隨機(jī)變量列。那么，若Xn(處處)收斂于隨機(jī)變量X，則相應(yīng)的數(shù)學(xué)期望列EX1，EX2，…，EXn，…收斂于X的數(shù)學(xué)期望EX，這種現(xiàn)象稱為單調(diào)收斂定理。
收斂性
定理
如果 是一個(gè)單調(diào)的實(shí)數(shù)序列（例如 ），則這個(gè)序列具有極限（如果我們把正無窮大和負(fù)無窮大也算作極限的話）。這個(gè)極限是有限的，當(dāng)且僅當(dāng)序列是有界的。
證明
我們證明如果遞增序列有上界，則它是收斂的，且它的極限為。
由于非空且有上界，因此根據(jù)實(shí)數(shù)的最小上界公理，存在，且是有限的。現(xiàn)在，對(duì)于每一個(gè)，都存在一個(gè)，使得 ，否則 是的一個(gè)上界，這與c為最小上界 的事實(shí)矛盾。于是，由于是遞增的，對(duì)于所有的，都有，因此根據(jù)定義，的極限為。證畢。
類似地，如果一個(gè)實(shí)數(shù)序列是遞減且有下界，則它的最大下界就是它的極限。
定理
如果對(duì)于所有的自然數(shù) j和 k， 都是非負(fù)實(shí)數(shù)，且 ，則
勒貝格定理
這個(gè)定理是前一個(gè)定理的推廣，也許就是最重要的單調(diào)收斂定理。
定理
設(shè)為一個(gè)測(cè)度空間。設(shè)為可測(cè)的值單調(diào)遞增函數(shù)。也就是說： 。接著，設(shè)序列的逐點(diǎn)極限為f。也就是說： ，那么，f是 -可測(cè)的，且： 。
證明
我們首先證明f是 -可測(cè)函數(shù)。為此，只需證明區(qū)間在f下的原像是X上的σ代數(shù)A的一個(gè)元素。設(shè)I為的一個(gè)子區(qū)間。那么： ，另一方面，由于是閉區(qū)間，因此：等價(jià)于，所以： 。注意可數(shù)交集中的每一個(gè)集合都是A的一個(gè)元素，這是因?yàn)樗且粋€(gè)波萊爾子集在 -可測(cè)函數(shù) 下的原像。由于根據(jù)定義，σ代數(shù)在可數(shù)交集下封閉，因此這便證明了f是 -可測(cè)的。需要注意的是，一般來說，任何可測(cè)函數(shù)的最小上界也是可測(cè)的。
現(xiàn)在我們證明單調(diào)收斂定理的余下的部分。f是 -可測(cè)的事實(shí)，意味著表達(dá)式 是定義良好的。
我們從證明 開始。
根據(jù)勒貝格積分的定義，其中SF是X上的-可測(cè)簡(jiǎn)單函數(shù)的交集。由于在每一個(gè)，都有，我們便有：包含于，因此，由于一個(gè)子集的最小上界不能大于整個(gè)集合的最小上界，我們便有： ，右面的極限存在，因?yàn)樾蛄惺菃握{(diào)的。
我們現(xiàn)在證明另一個(gè)方向的不等式（也可從法圖引理推出），也就是說，我們來證明：從積分的定義可以推出，存在一個(gè)非負(fù)簡(jiǎn)單函數(shù)的非遞增序列 ，它幾乎處處逐點(diǎn)收斂于 f，且：
只需證明對(duì)于每一個(gè)，都有：
這是因?yàn)槿绻@對(duì)每一個(gè) k都成立，那么等式左端的極限也將小于或等于等式右端。
我們證明如果 是簡(jiǎn)單函數(shù)，且 幾乎處處，則：由于積分是線性的，我們可以把函數(shù) 分拆成它的常數(shù)部分，化為 是σ代數(shù)A的一個(gè)元素B的指示函數(shù)的情況。在這種情況下，我們假設(shè) 是一個(gè)可測(cè)函數(shù)的序列，它在B的每一個(gè)點(diǎn)的最小上界都大于或等于一。為了證明這個(gè)結(jié)果，固定，并定義可測(cè)集合的序列：根據(jù)積分的單調(diào)性，可以推出對(duì)于任何的，都有 根據(jù) 的假設(shè)，對(duì)于足夠大的 n，任何 B內(nèi)的 x都將位于 內(nèi)，因此： ，所以，我們有：利用測(cè)度的單調(diào)性，可得，取，并利用這對(duì)任何正數(shù)都正確的事實(shí)，定理便得證。
參考資料 >