量子糾纏（Quantum Entanglement），即在量子力學里，描述兩個相互糾纏的粒子，無論相距多么遠的距離，一個粒子的行為都會影響另一個粒子的狀態，當其中一個粒子被操作時發生變化（例如量子測量），另一顆粒子也會發生相應變化，量子糾纏是一種純粹發生于量子系統的現象，在經典力學里，找不到類似的現象。
假若對于兩個相互糾纏的基礎粒子分別測量其物理性質，像位置、動量、自旋、偏振等，則會發現量子關聯現象。例如，假設一個零自旋粒子衰變為兩個以相反方向移動分離的粒子。沿著某特定方向，對于其中一個粒子測量自旋，假若得到結果為上旋，則另外一個粒子的自旋必定為下旋，假若得到結果為下旋，則另外一個粒子的自旋必定為上旋；更特別的是，假設沿著兩個不同方向分別測量兩個粒子的自旋時，則會發現結果違反貝爾不等式；除此以外，還會出現貌似佯謬般的現象：即便是兩個粒子相隔較遠和未發現任何傳遞信息的機制的情況下，當對其中一個粒子做測量，另外一個粒子似乎知道測量動作的發生與結果。
量子糾纏的研究始于1935年5月，由阿爾伯特·愛因斯坦（Albert Einstein）、Boris Podolsky和Nathan Rosen發表了一篇題為《物理實在的量子力學描述能否被認為是完備的？》的論文。他們當時并沒有使用“量子糾纏”這個名詞，但發現了量子糾纏這一特別性質，這篇論文后來被稱為EPR佯謬，也稱為愛因斯坦-波多爾斯基-羅森（EPR）關聯。他們以量子力學基本原理為基礎，推導出與經典理論中的物理實在論相矛盾的結論，并把這一量子特性稱之為“幽靈般的超距作用”，進而對量子力學提出了質疑。
埃爾溫·薛定諤（Erwin Schr?dinger）在研究這一佯謬時提出了EPR操控，EPR操控描述了對一個粒子進行測量能非局域地影響另一個粒子狀態的能力，它是一類新的量子非局域特性。通常說的量子非局域特性是指某個糾纏態能違背貝爾不等式，叫做貝爾非局域性。EPR操控則介于量子糾纏與貝爾非局域性之間，也就是說量子糾纏態中只有一部分具有EPR操控特性，而這些具有EPR操控特性的態中只有一部分具有貝爾非局域性。埃爾溫·薛定諤之后發表幾篇關于量子糾纏的論文，并且給出“Quantum Entanglement”這一術語。然而，多年來多個實驗證實量子力學的反直覺預言正確無誤，在各種驗證實驗中，糾纏粒子的極化或自旋在不同的位置被測量，在統計上違反了貝爾不等式。早期的測試中，不能排除一個點的結果可能被傳輸到其他點，從而影響第二個點的結果，后來進行了沒有漏洞的貝爾測試，排除了所有可能的所謂隱變量。根據目前實驗顯示，量子糾纏的作用速度至少比光速快10,000倍。這還只是速度下限。根據量子理論，測量的效應具有瞬時性質。可是，這效應不能被用來以超光速傳輸經典信息，因此并不違反因果律。
在量子糾纏的相關研究中，像光子、電子一類的微觀粒子，或者像分子、巴克明斯特富勒烯、甚至像小鉆石一類的介觀粒子，都可以觀察到量子糾纏現象。目前研究的熱門已轉至應用性階段，在量子通訊、量子計算機等領域都取得了一定的成果。2023年，研究人員報告了有史以來第一張量子糾纏的圖像，這些糾纏光子的波函數的產生圖像強烈地讓人聯想到陰陽符號，在中國文化中，陰陽符號代表了相互聯系的力量的概念。Erico博士把這些總結為：“任何基于兩個或多個粒子狀態的生成和轉換的量子技術都必須通過測量最終狀態的波函數來測試，”這項技術也有可能激發超越經典光學分辨率限制的新成像技術。
研究歷史
1935年，阿爾伯特·愛因斯坦、B.E.波多爾斯基（B.E.Podolsky）和N.羅森（N.Rosen）在《物理評論》聯合發表了題為《物理實在的量子力學描述能否被認為是完備的？》的論文。這是最早探索量子力學理論對于強關聯系統所做的反直覺預測的論文。后來稱為EPR佯謬，現在稱為EPR效應。例如，考慮先前的零自旋中性π介子衰變案例，兩個衰變產物（電子和正電子）各自朝著相反方向移動，分別測量電子的位置與正電子的動量。若量子糾纏機制不存在，則可借著守恒定律預測兩個粒子各自的位置與動量，這違反了不確定性原理；由于量子糾纏機制存在，粒子的位置與動量遵守不確定性原理。該論文中考慮量子力學的二粒子糾纏態delta。如果測得粒子1的坐標為，立即可確定粒子2的坐標為L-x。測得粒子1的動量為，立即可確定粒子2的動量為，這表示出兩個粒子的量子力學關聯。進行測量時兩個粒子的距離已經很大，阿爾伯特·愛因斯坦等認為對一個粒子的測量不會對第二個粒子造成干擾，并給出一個判據：如果人們毫不干擾一個體系而能確定地預言它的一個物理量的值，則對應于這個物理量就存在物理實在性的一個元素。根據這個判據，粒子2的坐標和動量都是物理實在的元素，但量子力學認為粒子的坐標和動量不能同時具有確定值，因此它的描述是不完備的。在論證中，愛因斯坦等人設想了一個測量粒子坐標和動量的思想實驗，稱為“EPR思想實驗”，可以顯示出局域實在論與量子力學完備性之間的矛盾。
埃爾溫·埃爾溫·薛定諤閱讀完畢EPR論文之后，有很多心得感想，他用德文寫了一封信給愛因斯坦。在這封信里，他最先使用了術語Verschr?nkung（他自己將之翻譯為“糾纏”），這是為了要形容在EPR思想實驗里，兩個暫時耦合的粒子，不再耦合之后彼此之間仍舊維持的關聯。薛定諤體會到這一概念的重要性，后來為此發表了一篇重要論文，在這篇文章中薛定諤表明量子糾纏不只是量子力學的某個很有意義的性質，而是量子力學的特征性質，在量子力學與經典思路之間起到了完全切割的作用。D.戴維·玻姆把它簡化為測量自旋的實驗：考慮兩個自旋為的粒子A和B構成的一個體系，在一定的時刻使A和B完全分離，不再相互作用。當我們測得A自旋的某一分量后，根據角動量守恒，就能確定地預言B在相應方向上的自旋值。由于測量方向選取的任意性，B自旋在各個方向上的分量應都能確定地預言。所以他們根據上述實在性判據，就應當斷言B自旋在各個方向上的分量同時具有確定的值。如果堅持把量子力學看作是完備的，那就必須認為對A的測量可以影響到B的狀態，從而導致對某種“超距”作用的承認。因此，愛因斯坦稱量子糾纏為“遙遠地點間幽靈螳螂般的相互作用”。
1951年，美國物理學家波姆(David Bohm）提出了ERP實驗的另一種變化形式，在改進后的實驗中不是測量粒子的動量和位置，而是測量粒子的自旋，也就是電子的自旋。由于電子的自旋只有向上和向下兩種狀態，而且電子始終處于兩種自旋狀態的疊加中，如果使兩個電子發生糾纏，并對兩個電子的自旋狀態進行測量，對ERP實驗進行驗證。
1964年，約翰·斯圖爾特·貝爾（John Bell）提出論文表明，對于EPR思想實驗，量子力學的預測明顯地不同于定域性隱變量理論。概略而言，假若測量兩個粒子分別沿著不同軸向的自旋，則量子力學得到的統計關聯性結果比定域性隱變量理論要強很多，貝爾不等式定性地給出這差別。貝爾不等式的根源來自于1935年阿爾伯特·愛因斯坦、波多斯基和羅森三人提出的一個佯謬，也就是EPR（Einstein-Podolsky-Rosen）佯謬：要么量子理論是不完備的，要么量子力學會導致超光速的作用，與局域性相違背。EPR佯謬并沒有質疑量子力學的正確性，而是質疑量子力學的不完備性。
1966年，愛爾蘭物理學家貝爾（Bell）在美國《物理學》期刊上發表了一篇論文，他仔細研究了當時的量子力學理論和 ERP論文，在波姆修正版實驗的基礎上，計算出了兩個糾纏電子的自旋相關性之間的關系，這就是著名的貝爾不等式，具體來說，貝爾證明了一個上限，在貝爾不等式中看到，關于任何服從局部實在論的理論中可以產生的相關強度，并表明量子理論預測某些糾纏系統會違反這個限制。他的不等式是可以實驗驗證的，并且有許多相關的實驗，從1972年約翰·克勞澤（John F. Clauser）等人的開創性工作開始和1982年阿蘭·阿斯佩（Alain Aspect）的實驗。這個不等式表明：所有符合定域性理論的兩個糾纏粒子之間的自旋相關度在-2到+2之間，而符合量子力學預言的兩個糾纏粒子之間的自旋相關度則超出了這個范圍。只要同時對兩個糾纏電子的自旋相關度進行測量，就能通過實驗來檢驗EPR論文。貝爾不等式的出現，讓愛因斯坦堅持的定域性現實和尼爾斯·玻爾倡導的哥本哈根詮釋能夠一同接受實驗室的檢驗，這意味著量子力學從思想實驗階段進入了實驗室階段。5年之后，加利福尼亞大學伯克利分校一位青年物理學家，當時26歲的克勞澤(JohnClauser）在一些同事的幫助下，設計出了一個可以檢驗貝爾不等式的實驗。他們在實驗中并沒有使用電子對，而是采用了具有糾纏關系的光子對。因為光子具有偏振的屬性，偏振的兩種狀態與電子自旋的兩個方向相似，也可以用來通過貝爾不等式檢驗EPR 論文。
從1972年之后，包括約翰·克勞澤（John F. Clauser）和同事在內，以及在他之后的法國物理學家阿蘭·阿斯佩（Alain Aspect）等很多科學家用相互糾纏的光子進行了大量實驗，實驗結果表明，在量子糾纏中，愛因斯坦堅持的定域性是錯誤的，他所認為的不可思議的超距作用真實存在。但因存在定域性漏洞，即糾纏的粒子之間距離太小，不足以說明糾纏的非局域性，結果不具有說服力。
1982年，阿蘭·阿斯佩（Alain Aspect）的博士論文是以這種檢試實驗為題目，他們得到的實驗結果符合量子力學的預測，不符合定域性隱變量理論的預測，因此證實定域性隱變量理論不成立。但是，至今為止，每一個相關實驗都存在有漏洞，這造成了實驗的正確性遭到質疑，在作總結之前，還需要完成更多精確的實驗。
1998年，安東·塞林格（Anton Zeilinger）等人在因斯布魯克大學完成貝爾定理實驗，徹底排除定域性漏洞，實驗結果具有決定性，但是實驗用的單光子探測器效率不夠高，無法排除測量帶來的漏洞。
2011年，中國科學技術大學郭光燦院士領導的研究小組制備出了8光子糾纏GHZ態，刷新了糾纏粒子數目當時的世界紀錄，并且利用制備出的糾纏態實現了8個端口的量子通信復雜性實驗 實驗結果展示了量子通信抗干擾能力強、傳播速度快的優越性。
2015年，安東·塞林格（Anton Zeilinger）進行了一項實驗，并因該實驗無任何漏洞被譽為“無漏洞”，這個實驗證明了貝爾不等式不成立，同時排出定域性漏洞和測量漏洞，同年荷蘭代爾夫特大學物理學家羅納德·漢森(Ronald Hanson)研究組報道了他們在金剛石色心系統中完成的驗證貝爾不等式的實驗。要避免局域性漏洞，只需把兩個金剛石色心放置在相距1.3公里的兩個實驗室。利用糾纏光子對和糾纏交換技術，他們實現了金剛石色心電子之間的糾纏，同時解決了局域性漏洞與測量漏洞。這個實驗也宣告了局域隱變量理論的死刑，量子非局域性是真實的。緊接著，美國Sae Woo Nam等人、奧地利的安東·蔡林格研究組也分別完成了無漏洞貝爾不等式違背的實驗。
2017年6月16日，量子科學實驗衛星墨子號首先成功實現，兩個量子糾纏光子被分發到相距超過1200公里的距離后，仍可繼續保持其量子糾纏的狀態。
2018年4月25日，芬蘭阿爾托大學教授麥卡·習嵐帕（Mika Sillanp??）領導的實驗團隊成功地量子糾纏了兩個獨自振動的鼓膜。每個鼓膜的寬度只有15微米，約為1根頭發絲的寬度，是由約10萬億個金屬鋁原子制成。通過超導微波電路，在接近絕對零度（-273.15°C）下，兩個鼓膜持續進行了約30分鐘的互動。這實驗演示出宏觀的量子糾纏。
2018年，中國科學技術大學教授潘建偉及其同事陸朝陽、劉乃樂、汪喜林等通過調控6個光子的偏振、路徑和軌道角動量三個自由度，在國際上首次實現18個光子比特的糾纏，刷新了當時所有物理體系中最大糾纏態制備的世界紀錄。2019年，由浙江大學、中科院物理所、中科院自動化所、北京計算科學研究中心等國內單位共同合作，再次在量子計算領域刷新了又一項世界紀錄——開發了具有20個超導量子比特的量子芯片，在此芯片上生成了18比特的全局糾纏的GHZ態，以及20比特的薛定譚貓態。
2022年諾貝爾物理學獎授予阿蘭·阿斯佩（Alain Aspect）、約翰·克勞澤（John F. Clauser）和安東·塞林格（Anton Zeilinger），獎勵他們通過糾纏光子的實驗，驗證了貝爾不等式的違反，也開創了量子信息科學。阿蘭·阿斯佩是法國巴黎-薩克雷大學光學研究所研究生院以及巴黎綜合理工學院教授，克勞澤在克勞澤與伙伴公司，蔡林格是維也納大學教授。他們的開創性實驗使量子糾纏成為“有力的工具”，為量子科技的新紀元打下基礎。這代表了量子革命的新階段，或者說是第二次量子革命。
2023年，研究人員公布了首張量子糾纏圖像。2024年，中國科學家聯合國際團隊通過精密實驗，首次精確測定兩個糾纏電子之間的狀態變化時間差為232阿秒（1阿秒為10?1?秒，即1秒的一百億億分之一）。這一成果進一步揭示了量子糾纏在極短時間尺度上的超快關聯特性。
相關概念
定義
量子糾纏（Quantum Entanglement），又可譯為量子纏結，這是一種量子力學現象，其描述復合系統的一類特殊的量子態，此量子態無法分解為成員系統各自量子態之張量積（Tensor Product）。量子具有糾纏態的性質是實現量子通信的基礎。
微觀世界中，部分基本粒子具有量子糾纏現象，指兩個粒子即使相距遙遠（例如分處宇宙不同星系），仍能保持特定的關聯狀態（Correlation）。具體表現為：當其中一個粒子因量子測量發生狀態變化時，另一處于遙遠星系的粒子會立即同步發生相應狀態變化。這種關聯性與經典的“開盲盒”存在本質差異。以經典場景為例，若兩個盲盒分別放置左手套和右手套，打開一個發現左手套時，可推斷另一盲盒為右手套，這種關聯結果在開盒前已確定。而量子糾纏中，兩個粒子的狀態在測量前是隨機且不確定的，僅在測量瞬間“選擇”狀態，其關聯性在測量后才顯現，并非預先確定。
1935年，阿爾伯特·愛因斯坦、波多爾斯基和羅森等人提出一種波，其量子態為：
exp （1-1）
式中：、分別代表了2個量子糾纏粒子的坐標，這樣1個量子態的基本特征是在任何表象下，它都不可以寫成2個子系統的量子態的直積的形式：
Psi （1-2）
糾纏的含義
糾纏系統被定義為其量子態不能分解為其局部成分狀態的乘積的系統；也就是說，它們不是單個粒子，而是一個不可分割的整體。在糾纏中，如果不考慮其他成分，就無法完全描述一個組成部分。復合系統的狀態總是可以表示為局部成分狀態的乘積的總和或疊加；如果此總和不能寫成單個乘積項，則糾纏不清。量子系統則可以通過各種類型的相互作用變得糾纏在一起。
悖論
悖論是指對任何一個粒子進行的測量顯然會破壞整個糾纏系統的狀態——并且在有關測量結果的任何信息可以傳達給另一個粒子之前（假設信息不能傳播得比光快），從而確保測量糾纏對另一部分的“正確”結果。在哥本哈根解釋中，對其中一個粒子進行自旋測量的結果是（波函數）坍縮成每個粒子沿測量軸具有確定自旋（向上或向下）的狀態。結果被認為是隨機的，每種可能性的概率為 50%。但是，如果沿同一軸測量兩個自旋，則發現它們是反相關的。這意味著對一個粒子進行的測量的隨機結果似乎已經傳遞給另一個粒子，因此它在測量時也可以做出“正確的選擇”。
隱變量理論
悖論的一個可能的解決方案是假設量子理論是不完整的，測量的結果取決于預先確定的“隱藏變量”。被測量粒子的狀態包含一些隱藏變量，其值從分離的那一刻起就有效地決定了自旋測量的結果。這意味著每個粒子都攜帶所有必需的信息，并且在測量時不需要從一個粒子傳輸到另一個粒子。
違反Bell不等式
當考慮沿不同軸測量糾纏粒子的自旋時，局部隱變量理論失敗了。如果進行大量這樣的測量（在大量糾纏粒子對上），那么從統計學上講，如果局部現實主義或隱變量視圖是正確的，則結果將始終滿足貝爾不等式。許多實驗在實踐中表明，貝爾不等式并不滿足。然而，在2015年之前，所有這些都存在漏洞問題。從以相對論性速度移動的兩個參考系分別測量兩個糾纏粒子的物理性質時，盡管在每一個參考系中測量兩個粒子的時間順序不同，獲得的實驗數據仍舊違反貝爾不等式，測量結果仍能可靠地復制出兩個糾纏粒子的量子關聯。
1998年，安東·塞林格（Anton Zeilinger）等人在奧地利因斯布魯克大學完成貝爾定理實驗，徹底排除定域性漏洞，實驗結果具有決定性；2015年，安東·塞林格（Anton Zeilinger）進行了一項實驗，并因該實驗無任何漏洞被譽為“無漏洞”，這個實驗證明了貝爾不等式不成立，同時排出定域性漏洞和測量漏洞。
基本性質
量子糾纏與量子力學中的狀態疊加原理密切相關。考慮經典二值系統，例如一枚硬幣，它有兩個狀態，即正面和反面，它的量子力學對應物是兩態量子系統，如二能級原子模型中的基態和激發態。光子的兩個偏振態為水平偏振和垂直偏振，這兩個正交基一般表示為和，而量子系統一般用疊加態表示為兩枚硬幣可以處在4個不同的狀態：正/正，正/反，反/正，反/反。若以量子正交基表示，則為：
但作為一個量子系統，由狀態疊加原理，它不再局限于這4個“經典”基態上，而是任意疊加態，例如貝爾態： sqrt
這是兩個粒子系統的最大糾纏態之一。
假設一個復合系統是由兩個子系統A、B所組成，這兩個子系統A、B的希爾伯特空間分別為、則復合系統的希爾伯特空間為張量積 :
設定子系統A、B的量子態分別為：alpha，
假若復合系統的量子態psi 不能寫為張量積 ，則稱這復合系統為子系統A、B的糾纏系統，兩個子系統A、B相互糾纏。
量子力學相關原理
數學表述
假設一個復合系統是由兩個子系統A、B所組成，這兩個子系統A、B的希爾伯特空間分別為、則復合系統的希爾伯特空間為張量積 :
設定子系統A、B的量子態分別為：alpha，
假若復合系統的量子態psi 不能寫為張量積 ，則稱這復合系統為子系統A、B的糾纏系統，兩個子系統A、B相互糾纏。
純態
考慮兩個任意量子系統 A 和 B，分別具有希爾伯特空間和。復合系統的希爾伯特空間是張量積：
如果第一個系統處于狀態，和第二狀態psi此標記法為保羅·狄拉克于1939年將“bracket”（括號）這個詞拆開后所造的。
復合系統的狀態為：
可以用這種形式表示的復合系統的狀態稱為可分離狀態或產品狀態，并非所有狀態都是可分離狀態（因此也是產品狀態）。
固定基礎分別對應于和為：{}和{}
中最一般的狀態是：
psi
如果存在向量，則此狀態是可分離的因此：，服從于：
psi
對于任何向量，它是不可分割的至少對于一對坐標、我們有
如果一個狀態是不可分割的，它就被稱為“糾纏狀態”。例如，按上述條件給定兩個基向量，以下為糾纏狀態：
sqrt
如果復合系統處于這種狀態，則不可能將確定的純狀態歸因于系統A或系統B。另一種說法是，雖然整個狀態的馮諾依曼為零（就像任何純狀態一樣），但子系統的熵大于零。從這個意義上說，系統是“糾纏在一起的”。這對干涉測量具有特定的經驗影響。上面的例子是四個貝爾態之一，它們是（最大）糾纏的純態。（空間的純態，但不能分成和的純態）。
現在假設 Alice 是系統 A 的觀察者，Bob 是系統 B 的觀察者。如果在上面給出的糾纏狀態下，愛麗絲在對應的特征基，有兩種可能的結果，以相等的概率發生：
1.愛麗絲測量 0，系統狀態崩潰為
2.愛麗絲測量 1，系統狀態崩潰為
如果發生前者，則 Bob 在相同基礎上執行的任何后續測量將始終返回 1。如果后者發生，（愛麗絲測量 1），那么鮑勃的測量值將確定地返回 0。因此，系統 B 已被 Alice 在系統 A 上執行局部測量而改變。即使系統 A 和 B 在空間上是分開的，這仍然是正確的。這是EPR悖論的基礎。
愛麗絲測量的結果是隨機的。Alice 無法決定將復合系統折疊成哪種狀態，因此無法通過對她的系統進行操作來向 Bob 傳輸信息。因此，在這種特殊的方案中，因果關系得以保留。
混合態
混合態是由幾種純態依照統計概率組成的量子態。假設一個量子系統處于純態，概率分別為概率分別為omega···，則這混合態量子系統的密度算符定義為：long
注意到所有概率的總和為1：
將先前對于純態的可分性所做的定義加以延伸，具有可分性的兩體混合態，其密度算符可以寫為：
其中，是正實值系數，可以詮釋為概率，是子系統A的一組密度算符，是子系統B的一組密度算符，假若兩體混合態可以以上述方程表示，則這混合態具有可分性，其量子系統遵守貝爾不等式，不被量子糾纏；否則，這混合態具有不可分性，是糾纏態，其量子系統被量子糾纏，但并不一定會違反貝爾不等式。一般而言，很不容易辨識任意混合態量子系統到底是否被量子糾纏。一般兩體案例已被證明為NP困難。對于混合態，佩雷斯-霍羅德基判據（Peres-Horodecki criterion）是可分性的充要條件。
約化密度算符
約化密度算符的點子最先由保羅·狄拉克于1930年提出，假設由兩個子系統A、B所組成的復合系統，其量子態為純態：
其密度算符為：
密度算符也是投影算符，能夠將復合系統的希爾伯特空間里的任意量子態投影為任意量子態：
取密度算符對于子系統B的偏跡數，可得到子系統A的約化密度算：long
例如，先前提到的糾纏態：
其子系統A的約化密度算符為：
如同預想，這公式演示出，子系統A的約化密度算符為混合態。
馮諾伊曼熵
在量子統計力學（quantum statistical mechanics）里，馮諾伊曼熵（von Neumann entropy）是經典統計力學關于熵概念的延伸。對于約化密度矩陣為的糾纏態，馮諾伊曼熵的定義為：
其中，是約化密度矩陣的第個本征態的本征值從這形式可以推論馮諾伊曼熵與經典信息論里的夏農熵相關。
倫伊熵
倫伊熵（Rényi entropy）以匈牙利數學家倫伊·阿爾弗雷德命名，可視為馮諾伊曼熵的一種推廣。
定義為：
其中，是一個實數。當取極限時，倫伊熵就是馮諾伊曼熵。
量子糾纏度量
量子糾纏與量子力學中的狀態疊加原理密切相關。考慮經典二值系統，例如一枚硬幣，它有兩個狀態，即正面和反面，它的量子力學對應物是兩態量子系統，如二能級原子模型中的基態|b>和激發態|a）。光子的兩個偏振態為水平偏振|H>和垂直偏振|V》，這兩個正交基
兩枚硬幣可以處在4個不同的狀態：正/正，正/反，反/正，反/反。作為一個量子系統，由狀態疊加原理，它不再局限于這4個“經典”基態上，而是任意疊加態。
并發糾纏
1997年，Hill和Wootters兩人針對兩量子比特糾纏態，提出了并發糾纏（Concurrence）的糾纏度量方式。隨后，Wootters還推導了Concurrence和形成糾纏度之間的解析函數關系。對于一個兩量子比特糾纏態，Concurrence可以定義為：
lambda
式中，是算符sigma的本征值的平方根，并且從1到4是按降序排列。這里的星號是標準基矢下的復共軛，是泡利算符。利用Concurrence的定義，人們就可以直接地計算出不同形式的兩量子比特糾纏態的糾纏度。
負性糾纏度
負性糾纏度（Negativity）是另一種對兩體糾纏態方便計算的糾纏度量方式，它的定義可以表示為：
其中，兩體系統的密度矩陣；是其部分轉置矩陣。表示部分轉置是對兩體系統的第二個子系統進行。是的負本征值。所以，概括地講，負性糾纏度 Negativity 就是密度矩陣部分轉置后，得到的所有負數本征值之和的絕對值。它適用于純態和混合態的糾纏度量。
量子糾纏與量子系統失序現象、量子信息喪失程度
量子糾纏與量子系統失序現象、量子信息喪失程度密切相關。量子糾纏越大，則子系統越失序，量子信息喪失越多；反之，量子糾纏越小，子系統越有序，量子信息喪失越少。因此，約翰·馮·諾依曼熵可以用來定量地描述量子糾纏，另外，還有其它種度量也可以定量地描述量子糾纏。
這些糾纏度量較常遵守的幾個規則，如：
對于兩體純態，只有馮諾伊曼熵能夠量度量子糾纏，因為只有它能夠滿足某些量度量子糾纏必須遵守的判據。對于混合態，使用馮諾伊曼熵并不是能夠量度量子糾纏的獨有方法。
量子糾纏與不可分性
假設一個量子系統是由幾個處于量子糾纏的子系統組成，而整體系統所具有的某種物理性質，子系統不能私自具有，這時，不能夠對子系統給定這種物理性質，只能對整體系統給定這種物理性質，它具有“不可分性”。不可分性不一定與空間有關，處于同一區域的幾個物理系統，只要彼此之間沒有任何糾纏，則它們各自可擁有自己的物理性質。物理學者艾雪·佩雷斯（Asher Peres）給出不可分性的數學定義式，可以計算出整體系統到底具有可分性還是不可分性。假設整體系統具有不可分性，并且這不可分性與空間無關，則可將它的幾個子系統分離至兩個相隔遙遠的區域，這動作凸顯出不可分性與定域性的不同──雖然幾個子系統分別處于兩個相隔遙遠的區域，仍舊不可將它們個別處理。在EPR佯謬里，由于兩個粒子分別處于兩個相隔遙遠的區域，整體系統被認為具有可分性，但因量子糾纏，整體系統實際具有不可分性，整體系統所具有明確的自旋z分量，兩個粒子各自都不具有。
相關研究
蟲洞
將兩個黑洞糾纏在一起，然后再將它們分離，就可制成一個蟲洞連結在它們之間，2013年，斯坦福大學教授李奧納特·薩斯坎德與普林斯頓高等研究院教授胡安·馬爾達西那共同提出了ER=EPR猜想，認為兩個量子糾纏的粒子彼此之間的連結是一個蟲洞。將這論述加以延伸，物理學者質疑，蟲洞的連結與量子糾纏的連結是同一種現象，只有系統的尺寸如同天壤之別，類似地從弦理論來檢視，糾纏兩個夸克也會有同樣的作用。
施溫格效應（Schwinger effect）從真空生成的糾纏粒子對，處于電場的作用下，可以被捕獲，不讓它們湮滅回真空。這些被捕獲的粒子相互糾纏，可以映射到赫爾曼·閔可夫斯基時空。閔可夫斯基時空的意思為三維的空間和一維的時間，也被人們常誤會為四維空間。與之不同，有些物理學者認為，引力存在于第五維，按照阿爾伯特·愛因斯坦的定律，將時空彎曲與變形。
根據全息原理（holographic principle），所有在第五維的事件可以變換為在其它四維的事件。因此，在糾纏粒子被生成的同時，蟲洞也由此產生。
時間與量子糾纏
物理學者賽斯·勞埃德（Seth Lloyd）在1988年博士論文中猜想，量子糾纏是時間流向的源頭；時間的流向是關聯遞加的方向，這機制源自于量子糾纏。起初，這點子并未受到學術界重視。后來，越來越多物理學者在這方面有所突破，他們發現了時間流向的更基礎源頭，微觀粒子彼此相互作用產生量子糾纏，因此形成能量散布與平衡的現象，關于微觀粒子的信息通過量子糾纏機制，從一至十、從十至百，逐步泄露到整個環境，因此顯示出時間流向。1983年，檔恩·佩吉（Don Page）與威廉·烏特斯（William Wooters）找到一個建基于量子糾纏現象的解答，說明怎樣用量子糾纏來測量時間。2013年，意大利都靈的國立計量研究院（Istituto Nazionale di Ricerca Metrologica）實驗團隊完成實驗檢試佩吉與烏特斯的點子，證實這點子值得進一步研究。
應用
量子計算機
我們現在用到的計算方式，包括電腦、手機、計算器等，都是基于二進制邏輯的，最底層的信息存儲和處理單元叫作比特。一個比特可以處于0或1兩種狀態之一，通過電路大量的比特連接在一起，并在上面執行一系列的邏輯操作，如“與門、與非門、異或門”等等，最終去獲取存儲著計算結果的那一組比特的狀態，這樣便能進行各種各樣的運算。這種計算方式我們稱之為經典計算。
計算的四要素有：一是信息的存算單元——比特；二是作用在比特上的一組通用邏輯門操作；三是算法，即邏輯門是如何組織并映射到比特上的；最后一個要素就是讀取。量子計算同樣需要具備這些要素，而在利用了量子力學的疊加和糾纏等基本原理之后，它能表現出很多經典計算所不具備的能力。
量子計算的基本信息處理單元是量子比特，它是一個最簡單的量子系統——兩能級系統。作為類比，我們可以分別將這兩個能級標記為0和1。由于量子態的疊加性，這樣一個系統可以處在0和1的疊加態，也就是說，這個量子比特可以部分是0，部分是1。這種疊加特性賦予了量子比特同時表達多種狀態的能力，因此其有更強的信息編碼能力。當多個量子比特連接在一起，我們可以將其糾纏在一起，這也是經典比特所不具備的能力。
對于量子比特的糾纏很難詳細解釋，但可理解為：糾纏的比特中，信息的表達必須當成一個整體來看，而且其維度隨著比特數量的增長而指數增長，這就為計算提供了一個指數增長的編碼空間，理論上能夠實現指數級的計算加速能力。如果我們能找到這樣一對能級（即糾纏的量子比特）并且能夠不斷地擴展，在這些量子比特上執行精確的量子門操作，然后能夠準確地測量它們的量子態，最后能設計出好的量子算法，我們就有可能完成一些不可思議的高效計算。實際上，確有實例——著名的Shor算法，能夠將大數分解問題的復雜性降低到準多項式級；在理論上，該算法可能將互聯網通用的RSA密碼或橢圓曲線密碼在很短時間內破解掉，產生的威脅度可以說直接關系到國家安全。這也是各國大力投入對量子計算/信息產業的原因之一。
現實中，能夠構建出量子比特的物理系統有很多種，可以是基于光子、電子、原子、分子、原子核、晶格缺陷等；熟悉一點量子計算的讀者可能聽說過超導量子計算、離子阱量子計算、半導體量子計算、光量子計算等，這些本質上就是基于不同物理體系而發展出的不同技術路線，進展狀況也各不相同。目前，超導和離子阱被認為是最有前景的兩種技術方案。IBM的“魚鷹”處理器和Quafu量子計算云平臺，都是基于超導方案的。
2023年5月， IBM將此前發布的433量子比特“Osprey（魚鷹）”處理器推上量子云平臺；2023年5月北京舉辦的中關村論壇上，北京量子信息科學院（簡稱“北京量子院”）正式發布“Quafu”量子計算云平臺，該平臺由北京量子院、中國科學院物理研究所和清華大學聯合研發，其中最大規模的一臺量子計算系統，能提供136個相互連通的、可獨立操控與測量的量子比特。
量子通信
量子密鑰分發
量子密鑰分發（Quantum Key Distribution, QKD），是一種密鑰的安全傳輸方式，可以在兩個相距遙遠的通信端之間進行密鑰的發送。在保密通信的過程中，需要用密鑰加密解密信息，密鑰的安全性保證了信息的安全性。
與傳統方式不同，量子密鑰分發理論上是無條件安全的，其安全性由量子力學的基本原理保證。量子不可克隆定理說明，無法完美克隆任意量子態。因此，任何對量子密鑰分發過程的竊聽，都有可能改變量子態本身，造成高誤碼率，從而使竊聽被發現。一般來說，QKD過程中對量子態的傳輸，是依靠對光子進行編碼、傳輸、測量實現的。
密集編碼
密集編碼（superdense coding）的目的是利用分享糾纏以增加通信信道的容量。相對量子遠程傳態，在密集編碼中，量子與經典信道起的作用正好相反。遠程傳態是利用經典信道達到量子態的傳送：而密集編碼是利用連續量子變量傳送以增加經典信道的容量。
量子算法
量子計算是一種重要的量子信息技術，其核心是構造量子算法。量子算法必須利用量子糾纏這一重要性質。一般來說，量子算法有兩個存儲器A和B，利用量子計算的平行性，將么正算符作用于存儲器A與B上，由此形成了A和B兩個存儲器的量子態之間的糾纏。由于A與B之間具有糾纏性，因此，測量A存儲器，必然導致B存儲器的塌縮，進而實現量子計算。
量子隱形傳態
Bennett等人于1993年首次提出量子隱形傳態的設想,其量子隱形傳態基本原理如圖所示（量子隱形傳態中，發送者為Alice，接收者為Bob）。將傳送的未知量子態與EPR對的其中一個粒子量子態施行Bell基聯合測量，由于EPR對的量子非局域關聯特性，此時未知態的全部量子信息將會“轉移”到EPR對的第二個粒子上。只要根據經典信道傳送的Bell基測量結果，對EPR的第二個粒子的量子態施行適當的幺正變換（U），就可使這個粒子處于與待傳送的未知態完全相同的量子態，從而在EPR的第二個粒子上實現對未知態的重現。
參考資料 >
諾獎解讀:為什么證明貝爾不等式不成立，對于量子科學很重要.華東師范大學.2023-09-11
量子糾纏概念的起源:誰是量子糾纏研究的最大功臣?.網易手機網.2025-06-26
中國科大實現愛因斯坦-波多爾斯基-羅森操控.中國科學院.2023-08-26
Quantum entanglement shows that reality can’ t be local.arstechnica.2023-09-13
Quantum entanglement visualized for the first time ever.advancedsciencenews.2023-09-13
《環球科學》2019年十大科學新聞出爐:黑洞照片、5G商用位居前二.微信公眾平臺.2023-09-14
墨子號量子衛星首次實現千公里級量子糾纏分發.人民網.2023-08-26
2022年諾貝爾物理學獎揭曉，三位量子信息科學家獲獎.澎湃新聞.2023-09-11
Entanglement and the Geometry of Spacetime.ias.2023-09-11
You can't get entangled without a wormhole: Physicist finds entanglement instantly gives rise to a wormhole.sciencedaily.2023-09-11
New Quantum Theory Could Explain the Flow of Time.WIRED.2023-09-11
Quantum Experiment Shows How Time ‘Emerges’ from Entanglement.medium.2023-09-11
普通人如何用上量子計算機?.微信公眾平臺.2023-09-12
量子密鑰分發.北京大學.2023-08-26