黎曼流形是一個微分流形，其中每點p的切空間都定義了點積，而且其數值隨p平滑地改變。它容許我們定義弧線長度、角度、面積、體積、曲率、函數梯度及向量域的散度。
概念
黎曼流形是一度量張量的微分流形。設M是n維光滑流形，若在M上給定一個光滑的二階協變張量場g，稱(M，g)為一個n維黎曼流形，g稱為該黎曼流形的基本張量或黎曼度量，如果滿足：
1.g是對稱的，即：.
2.g是正定的，即：，且等號僅在時成立。
簡單地說，黎曼流形就是給定了一個光滑的對稱、正定的二階張量場的微分流形。
在微分流形以及黎曼幾何中，一個黎曼流形是具有度量張量的微分流形，換句話說，這個流形上配備有一個對稱正定的二階協變張量場，亦即在每一點的切空間上配備一個正定二次型。給了度量以后，我們就可以像初等幾何學中一樣，測量長度，面積，體積等量。
簡介
具體的定義如下：
伯恩哈德·黎曼流形是具有黎曼度量的微分流形，換句話說，這個流形上有一個對稱正定協變二階張量場，亦即每一點處有一個2階正定矩陣。給了度量以后，我們就可以像數學分析里做的那樣，建立起微積分的理論。
歐氏空間有自然的度量.它的矩陣就是單位矩陣。
歐氏空間中的子流形當然也就自然地誘導出一個度量。曲線和曲面的微分幾何里，我們都是把曲線曲面視為三維空間的子流形，所以自然賦予了度量結構。
伯恩哈德·黎曼度量給定后，我們可以有唯一的確定出一個對稱（即無撓）聯絡，并且它是保持黎曼點積。這個聯絡稱為黎曼聯絡。
黎曼空間
阿爾伯特·愛因斯坦的廣義相對論告訴我們，引力并不是真正的力，而是反映空間扭曲的一個幾何現象。對一個考察者來說，他身處在這個空間里，是無法直接體會到空間扭曲的。但是他可以通過測量自己所處的空間來判斷是否存在空間扭曲，測量的標準就是所謂的度量。度量是內蘊性質。具有度量的空間就稱為黎曼空間。
流形
流形是一類特殊的連通、豪斯多夫仿緊的拓撲空間，在此空間每一點的鄰近預先建立了坐標系，使得任何兩個(局部)坐標系間的坐標變換都是連續的。n維流形的概念在18世紀法國數學家約瑟夫·拉格朗日的力學研究中已有萌芽。19世紀中葉英國數學家凱萊(1843)、德國數學家赫爾曼·格拉斯曼(1844，1861)、瑞士數學家施勒夫利(1852)分別論述了n維歐幾里得空間理論，把它視為n個實變量的連續統。1854年德國數學家伯恩哈德·黎曼在研究微分幾何時用歸納構造法給出一般n維流形的概念：n維流形是把無限多個()維流形按照一維流形方式放在一起而形成的，從此開始流形的拓撲結構及其局部理論的研究。法國數學家亨利·龐加萊在19世紀末把n維流形定義為一種連通的拓撲空間，其中每一點都具有和n維歐氏空間同胚的鄰域(被稱為龐加萊流形)，從而開辟了組合拓撲學的道路。
對流形的深入研究集中在流形上的導數結構與組合結構的存在性、唯一性問題，微分結構與組合結構的關系，流形的各種意義下的分類等問題，20世紀50—60年代做出許多重要結果，近幾十年來出現有限維帶邊流形和無限維流形概念。流形理論在與其他拓撲理論的相互結合發展中也提出許多問題，其研究仍在繼續。
聯絡與曲率
Levi-Civita聯絡
流形上的伯恩哈德·黎曼度量給定后，我們可以得到一個唯一確定的對稱（即無撓）聯絡，并且它保持黎曼度量。這個聯絡稱為這個黎曼度量的Levi-Civita聯絡。
有了聯絡，我們就可以定義向量場的協變導數和協變導數，從而建立起流形上的微分學。歐氏空間的聯絡就是通常意義上的向量函數的微分。
曲率
黎曼度量還誘導出曲率的概念，它反映了流形的彎曲程度。曲率處處為零的流形稱為平坦黎曼流形。歐氏空間就是最常見的平坦流形。
德國約翰·卡爾·弗里德里希·高斯最早研究了曲面上的曲率，發現這種曲率是內蘊的，盡管它的定義式不是內蘊的。
人物簡介
德國數學家。生于德國漢諾威(Hannover)的布雷塞倫茨(Breselenz)，是牧師之子，在哥廷根市(Gottingen)大學和梅林大學學習，1851年在哥廷根大學獲得博士學位，1854年任該大學兼職講師，1857年任副教授，1859年作為P.G.L.Dirichlet的繼承人任教授。因患肺病，英年早逝。短短一生中，在數學各個領域作出了劃時代的貢獻。最重要的貢獻有四個方面：幾何學、復變函數論、微分方程和數學分析的基本理論。他是黎曼幾何的創始人，復變函數理論的創始人之一。在數學分析方面，他給積分下的標準定義，一直沿用至今，以至于這種意義下的古典積分叫作“黎曼積分”。他還對傅立葉級數理論做了許多研究，其中最著名的就是以他的名字命名的定理。伯恩哈德·黎曼對偏微分方程和常微分方程理論，特別是常微分方程的奇點理論，也都創造了一些重要的方法。黎曼還十分關注自然科學，特別是物理學。他的復變函數和微分方程研究都直接與流體力學和電磁理論相聯系，著名的數學家菲利克斯·克萊因曾在《19世紀數學發展講義》一書中指出：“黎曼用他的數學才能為自然科學本身開辟新的途徑。然后又把自然科學作為形成數學中的新概念的動力”。
作用
有了聯絡，我們就可以定義向量場的協變導數和協變導數，從而建立起流形上的微分學。在歐氏空間上，聯絡是0，所以這就是通常意義上的向量函數的微分。
伯恩哈德·黎曼度量還誘導出黎曼曲率的概念，它反映了流形的彎曲程度，是內蘊性質，也就是說這個性質與流形所在的大空間無關。曲率恒消失的流形稱為平坦黎曼流形。歐氏空間就是最常見的平坦流形。
大約翰·卡爾·弗里德里希·高斯最早研究了曲面上的曲率--高斯曲率，發現這種曲率是內蘊的，盡管它的定義式不是內蘊的。這是一個非常了不起的發現。
參考資料 >