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在黎曼幾何里面，度量張量，物理學(xué)譯為度規(guī)張量，是指用來(lái)衡量度量空間中距離及角度的二階張量。
介紹
在伯恩哈德·黎曼幾何里面，度量張量（英語(yǔ)：Metric tensor）又叫黎曼度量，物理學(xué)譯為度規(guī)張量，是指一用來(lái)衡量度量空間中距離，面積及角度的二階張量。
當(dāng)選定一個(gè)局部坐標(biāo)系統(tǒng)，度量張量為二階張量一般表示為，也可以用矩陣表示，記作為G或g。而記號(hào)傳統(tǒng)地表示度量張量的協(xié)變分量（亦為“矩陣元素”）。
定義
a到 b的弧線長(zhǎng)度定義如下，其中參數(shù)定為t，t由a到b:
兩個(gè)切矢量的夾角，設(shè)矢量和和，定義為：
若 f為 到的局部微分同胚，其誘導(dǎo)出的度量張量的矩陣形式G，由以下方程計(jì)算得出：
J 表示f的雅可比矩陣，它的轉(zhuǎn)置為。著名例子有之間從極坐標(biāo)到直角坐標(biāo)的坐標(biāo)變換，在這例子里有：
這映射的雅可比矩陣為
所以
這跟微積分里極坐標(biāo)的伯恩哈德·黎曼度量，一致。
例子
二維歐幾里德度量張量：
弧線長(zhǎng)度轉(zhuǎn)為熟悉微積分方程式：
在其他坐標(biāo)系統(tǒng)的歐氏度量：
圓柱坐標(biāo)系：
球坐標(biāo)系：
平面赫爾曼·閔可夫斯基空間：
在一些習(xí)慣中，與上面相反地，時(shí)間ct的度規(guī)分量取正號(hào)而空間 的度規(guī)分量取負(fù)號(hào)，故矩陣表示為：
參考資料 >