張量場(chǎng)是物理學(xué)中場(chǎng)的一種，它在數(shù)學(xué)、物理和工程學(xué)中廣泛應(yīng)用。如果一個(gè)空間中的每一點(diǎn)的屬性都可以以一個(gè)張量來(lái)代表，那么這個(gè)場(chǎng)就是一個(gè)張量場(chǎng)。張量場(chǎng)是向量場(chǎng)和純量場(chǎng)的一般化，其中最常見(jiàn)的例子是廣義相對(duì)論中的應(yīng)力能張量場(chǎng)（Stress-能量 tensor field）。
應(yīng)用
張量場(chǎng)在微分幾何、流形理論、代數(shù)幾何、廣義相對(duì)論以及材料應(yīng)力和應(yīng)變分析中有著重要的應(yīng)用。它是向量場(chǎng)的一般化，向量場(chǎng)可以視為從點(diǎn)到點(diǎn)變化的向量。在物理科學(xué)和工程學(xué)中，張量場(chǎng)的應(yīng)用無(wú)處不在，例如曲率張量在微分幾何中的應(yīng)用，以及應(yīng)力能張量在物理和工程學(xué)中的重要性。這些都與阿爾伯特·愛(ài)因斯坦的廣義相對(duì)論理論相關(guān)。
幾何式介紹
向量場(chǎng)可以被想象為不同長(zhǎng)度和方向的態(tài)射附著在一個(gè)區(qū)域的每一點(diǎn)。例如，彎曲空間的向量場(chǎng)可以通過(guò)地球表面的水平風(fēng)速氣象圖來(lái)示例。張量場(chǎng)則包含更豐富的幾何信息，如度量張量場(chǎng)可以視為點(diǎn)到點(diǎn)變化的橢球。張量場(chǎng)的概念應(yīng)獨(dú)立于任何特定的坐標(biāo)系統(tǒng)或映射方式。
向量叢解釋
張量場(chǎng)的現(xiàn)代數(shù)學(xué)表達(dá)將其分為兩個(gè)概念。首先是向量叢的概念，即依賴于參數(shù)的向量空間，其中參數(shù)是流形。給定流形M上的向量叢V，相應(yīng)的場(chǎng)的概念稱為叢的截面。張量積的概念與基的選擇無(wú)關(guān)，因此在流形M上的兩個(gè)向量叢的乘積是常規(guī)做法。從切叢開(kāi)始，整個(gè)無(wú)分量的張量處理機(jī)制可以以坐標(biāo)無(wú)關(guān)的方式復(fù)制過(guò)來(lái)。張量場(chǎng)可以定義為某個(gè)張量叢的截面。
記號(hào)
張量場(chǎng)的記號(hào)與張量空間的記號(hào)非常相似，有時(shí)會(huì)導(dǎo)致混淆。例如，切叢TM=T（M）有時(shí)被寫(xiě)作`T_{0}^{1}(M)=T(M)=TM`，以強(qiáng)調(diào)切叢是流形M的（1,0）型張量場(chǎng)的空間。手寫(xiě)體字母有時(shí)用于表示光滑的張量場(chǎng)，如`{\mathcal {T}}_{n}^{m}(M)`表示M上的無(wú)限可導(dǎo)數(shù)張量場(chǎng)的（m,n）型張量叢的截面集。
張量微積分
張量場(chǎng)在理論物理和其他領(lǐng)域中的應(yīng)用包括用張量場(chǎng)表達(dá)的微分方程，這些方程本質(zhì)上是幾何的，并且與微積分緊密相關(guān)。這需要協(xié)變偏導(dǎo)數(shù)的概念來(lái)表述張量場(chǎng)沿著一個(gè)向量場(chǎng)的變化，這是張量微積分的一部分，也導(dǎo)致了聯(lián)絡(luò)這個(gè)幾何概念的產(chǎn)生。
通過(guò)一個(gè)線叢的扭轉(zhuǎn)
張量場(chǎng)的推廣包括加入一個(gè)額外的線叢L。若W是V和L的張量積叢，則W是一個(gè)同樣維度的向量空間叢。這允許定義張量密度，即一種扭轉(zhuǎn)類型的張量場(chǎng)。張量密度是當(dāng)L是流形的密度叢時(shí)的特殊情況。密度叢L的一個(gè)特點(diǎn)是，它可以定義為L(zhǎng)s對(duì)于一個(gè)實(shí)數(shù)s，這意味著我們可以考慮比重s的張量密度場(chǎng)。
平坦的情況
當(dāng)流形M是一個(gè)三維空間，且所有場(chǎng)都在M的向量平移下不變時(shí)，張量場(chǎng)和位于原點(diǎn)的一個(gè)張量同義。在張量密度的情況下，這確實(shí)有區(qū)別，因?yàn)槊芏葏膊荒茉谝稽c(diǎn)上嚴(yán)格定義，因此張量密度需要以一種迂回的方式定義。
閉上鏈和鏈?zhǔn)椒▌t
張量概念的高級(jí)解釋包括將鏈?zhǔn)椒▌t在多變量情況下解釋為坐標(biāo)變換時(shí)的應(yīng)用，以及作為張量場(chǎng)中張量本身一致性的要求。抽象地講，鏈?zhǔn)椒▌t可以被視為一個(gè)1-閉上鏈，這為定義切叢的內(nèi)在一致性提供了基礎(chǔ)。其他張量的向量叢有相應(yīng)的閉上鏈，可以從把張量構(gòu)造的泛函屬性應(yīng)用到鏈?zhǔn)椒▌t本身得到。這證明了張量的幾何本質(zhì)，以及整個(gè)理論的正確性。
參考資料 >