一個(gè)典型的例子是流形的切叢：對(duì)流形的每一點(diǎn)附上流形在該點(diǎn)的切空間。或者考慮一個(gè)平面上的光滑曲線，然后在曲線的每一點(diǎn)附上和曲線垂直的直線；這就是曲線的"法叢"。向量叢是纖維叢的一種。
簡(jiǎn)介
數(shù)學(xué)上，向量叢是一個(gè)幾何構(gòu)造，對(duì)于拓?fù)淇臻g(或流形,或代數(shù)簇)的每一點(diǎn)用互相兼容的方式附上一個(gè)向量空間，所用這些向量空間"粘起來"就構(gòu)成了一個(gè)新的拓?fù)淇臻g(或流形，或代數(shù)簇)。一個(gè)典型的例子是流形的切叢:對(duì)流形的每一點(diǎn)附上流形在該點(diǎn)的切空間。或者考慮一個(gè)平面上的光滑曲線，然后在曲線的每一點(diǎn)附上和曲線垂直的直線；這就是曲線的"法叢"。
這個(gè)條目主要處理有限維纖維的實(shí)向量叢。復(fù)向量叢也在很多地方有用；他們可以視為有附加結(jié)構(gòu)的實(shí)向量叢的特例。
向量叢是更一般的纖維叢的特例。
數(shù)學(xué)定義
假設(shè)E和M是兩個(gè)微分流形，其中M是m維流形。是M上的一組坐標(biāo)卡（即U_i 同胚于m維歐氏空間的某個(gè)開集）。假設(shè)它們之間有可微映射, 滿足以下兩個(gè)條件，就稱E為M上的向量叢。
（1）局部平庸條件：
，即在M的每個(gè)局部鄰域上，E可看成是某個(gè)n維歐氏空間與底流形的開集的勒內(nèi)·笛卡爾積--從而E局部上是一個(gè)的歐氏空間的開集。特別地，對(duì)每一點(diǎn)，p在下的原像 是一個(gè)n維歐氏空間，
（2）相容條件：在非空交集上，存在向量空間的同構(gòu)映射:， .
特別地，如果非空，那么復(fù)合映射（這里1是恒同映射）。
n稱為向量叢E的秩。秩1的向量叢稱為線叢。
稱為轉(zhuǎn)移函數(shù)（也稱轉(zhuǎn)換函數(shù)，過渡函數(shù)）。它反映了向量叢整體非平庸性，體現(xiàn)了向量叢扭曲的程度。
截面
向量叢 的截面，就是指一個(gè)光滑映射,使得（恒同映射）。由于M上每個(gè)點(diǎn)在下的像都是對(duì)應(yīng)的n維向量空間中的一個(gè)向量，所以截面整體上就定義了M上的一個(gè)光滑向量場(chǎng)。因此可以認(rèn)為向量場(chǎng)和向量叢的截面是同一件事。
有了截面之后，我們就可以看出向量叢整體是否拓?fù)淦接梗簿褪强闯鱿蛄繀驳呐で潭取?/p>
比如帶邊莫比烏斯帶就是圓圈上的非平庸向量叢的截面（即某個(gè)光滑向量場(chǎng)）。
例子
給定兩個(gè)向量叢，和，我們可以構(gòu)造出新的向量叢:
(1)E的對(duì)偶叢
(2)直和叢
(3)張量叢
(4)對(duì)稱積
(5)外積
等等
此外，流形M上自帶了切叢和余切叢。這是微分幾何中最重要的兩個(gè)向量叢。
線叢也是一種特殊的向量叢，它和自身的對(duì)偶張量一下變成了平凡叢。全體線叢在張量下構(gòu)成一個(gè)群，稱為Picard群。線叢也稱為可逆叢。
參考資料 >