角動量守恒定律是物理學(xué)中重要的基本原則之一。在經(jīng)典力學(xué)中，它反映的是質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系在系統(tǒng)具有空間旋轉(zhuǎn)不變性時運(yùn)動的普遍規(guī)律；在量子力學(xué)中，它體現(xiàn)為薛定諤方程（或哈密頓量）在空間旋轉(zhuǎn)下的不變性。當(dāng)系統(tǒng)不受外力作用或所受諸外力對某定點(diǎn)（或定軸）的合力矩始終等于零時，系統(tǒng)的總角動量將保持恒定。角動量守恒定律是物理規(guī)律具有空間旋轉(zhuǎn)對稱性的必然結(jié)果，意味著物理規(guī)律不因空間方向的改變而變化。用數(shù)學(xué)表達(dá)式表述，即當(dāng)合外力矩M=dL/dt=0時，角動量L=r×p為常矢量。質(zhì)點(diǎn)的角動量定理為，其中是質(zhì)點(diǎn)對固定點(diǎn)的角動量對時間的微商，是作用于該質(zhì)點(diǎn)上的力對該點(diǎn)的力矩。角動量是一個廣泛的量，任何復(fù)合系統(tǒng)的總角動量是其組成部分角動量的總和。
開普勒第二定律是角動量守恒定律的最早表述。十七世紀(jì)初，約翰尼斯·開普勒（Johannes Kepler）通過對火星繞太陽的運(yùn)動進(jìn)行觀測，發(fā)現(xiàn)火星運(yùn)行時的面速度是不變的，這就是”面積定律“。隨后，艾薩克·牛頓（Isaac Newton）從理論上推導(dǎo)出了角動量守恒定律。
角動量有方向和大小，而且都是守恒的。特定相互作用的角動量變化稱為角沖量，也稱旋轉(zhuǎn)。與線性動量守恒類似，如果沒有外力矩，角動量守恒。對于質(zhì)點(diǎn)系，其內(nèi)力服從牛頓第三定律，內(nèi)力對任一點(diǎn)的主矩為零，因此質(zhì)點(diǎn)系的角動量守恒。不同的是，角動量取決于選擇原點(diǎn)的位置，因?yàn)榱Ｗ拥奈恢檬菑脑c(diǎn)測量的。因此在研究物體轉(zhuǎn)動問題時，角動量可以作為動量的補(bǔ)充來描述機(jī)械運(yùn)動。
角動量守恒定律在經(jīng)典力學(xué)、量子力學(xué)以及天體物理學(xué)中都有廣泛的應(yīng)用。自行車、飛盤、膛線子彈和陀螺儀的有用性質(zhì)都可以用角動量守恒來解釋。角動量守恒也是熱帶氣旋形成螺旋和中子星具有高旋轉(zhuǎn)速率的原因。它與能量守恒（時間平移對稱性）、動量守恒（空間平移對稱性）并列為現(xiàn)代物理學(xué)的三大基石，很好地印證了諾特定理的核心內(nèi)涵：每一個連續(xù)的對稱性變換都對應(yīng)一個守恒量。
發(fā)展歷史
自從約翰內(nèi)斯·開普勒于1609年在《新天文學(xué)》中提出他的第二行星運(yùn)動定律（面積定律），人們就已獲知，在相同的時間間隔內(nèi)，太陽和行星之間的連線掃過的面積是相等的。牛頓提出了獨(dú)特的數(shù)學(xué)證明，進(jìn)一步證實(shí)了太陽引力的吸引力是導(dǎo)致所有開普勒定律的原因。在《原理》一書中，牛頓在討論第一運(yùn)動定律的例子時，暗示了角動量的概念。他通過對面積定律的幾何證明，間接證明了在受到中心力的情況下，角動量是守恒的。
萊昂哈德·歐拉（Leonhard Euler）、丹尼爾·伯努利（Daniel Bernoulli）和帕特里克·達(dá)西都（Patrick Darcy）都從面速度守恒的角度理解角動量，這是他們對開普勒行星運(yùn)動第二定律分析的結(jié)果。1736?年，歐拉像牛頓一樣，在《力學(xué)》一書中提到了一些角動量方程，但并未對這些方程進(jìn)行進(jìn)一步的探討。雅各布·伯努利在1744 年的一封信中寫到了“旋轉(zhuǎn)運(yùn)動的力矩”，這可能是我們現(xiàn)在理解的第一個角動量概念。1799 年，皮埃爾-西蒙·拉普拉斯 (Pierre-Simon Laplace)首次意識到固定平面與旋轉(zhuǎn)相關(guān)——拉普拉斯不變平面。路易·波因索（Louis Poinsot）于1803年開始將旋轉(zhuǎn)表示為垂直于旋轉(zhuǎn)的線段，并詳細(xì)闡述了“力矩守恒”。1852 年，萊昂·福柯（Leon Foucault）在一項(xiàng)實(shí)驗(yàn)中使用陀螺儀來顯示地球的自轉(zhuǎn)。
威廉·約翰·麥夸恩·蘭金（William Rankine）在1852年的《應(yīng)用力學(xué)手冊》首次定義了現(xiàn)代意義上的角動量：一條線，其長度與角動量的大小成正比，其方向垂直于物體和固定點(diǎn)的運(yùn)動平面。當(dāng)從線的末端觀察物體的運(yùn)動時，物體的半徑矢量符合右螺旋法則。
定義
經(jīng)典力學(xué)中的定義
二維軌道角動量
角動量是一個矢量（更準(zhǔn)確地說，是偽矢量），表示物體繞特定軸的旋轉(zhuǎn)慣量和旋轉(zhuǎn)速度（以弧度/秒為單位）的乘積。然而，如果粒子的軌跡位于單個平面內(nèi)，則可以忽略角動量的矢量性質(zhì)，并將其視為標(biāo)量（更準(zhǔn)確地說，偽標(biāo)量）。角動量可以被認(rèn)為是動量在旋轉(zhuǎn)過程中的表現(xiàn)。因此，正如線性動量與質(zhì)量和切向速度成正比，
，
角動量與轉(zhuǎn)動慣量和以弧度/秒為單位的角速度成正比，
。
與僅取決于物體數(shù)量的質(zhì)量不同，轉(zhuǎn)動慣量還取決于旋轉(zhuǎn)軸的位置和物體密度的分布。與不依賴于原點(diǎn)選擇的線速度不同，軌道角速度的測量始終是相對于一個固定的原點(diǎn)進(jìn)行的。因此，嚴(yán)格來說，應(yīng)該是指相對于該中心的角動量。
對于單個粒子的圓周運(yùn)動，我們可以使用和將角動量化簡為：
。
如果使用垂直于半徑向量的運(yùn)動分量，這一簡單的分析也適用于非圓周運(yùn)動：
,
其中是運(yùn)動的垂直分量。重新排列，代入到原式，得到：
，
其中是力臂的長度，是從原點(diǎn)垂直落到粒子路徑上的一條線。術(shù)語動量矩定義為力臂長度與動量的叉積。
三維軌道角動量
若物體運(yùn)動時有一點(diǎn)固定不動，則相對于該點(diǎn)的總角動量L為：
，
其中、、分別是質(zhì)點(diǎn)i的質(zhì)量、相對該點(diǎn)的距離矢量以及速度。由于是一個相對于物體的固定矢量，所以，相對于空間坐標(biāo)系的速度完全由剛體繞固定點(diǎn)的轉(zhuǎn)動所引起。因此上式可以寫成：
，
把三重矢積展開，即有：
，
再次展開，角動量的x分量為：
。
角動量的每一個分量都是角速度的所有分量的線性函數(shù)，角動量矢量通過線性變換與角速度矢量相關(guān)聯(lián)。為了強(qiáng)調(diào)其與線性變換式的相似性，我們可以將角動量的x分量寫成：
，
等九個系數(shù)是變換矩陣的九個元素，其中對角元就是通常所說的轉(zhuǎn)動慣量系數(shù)，其形式為：
，
而那些非對角元則稱為慣量積：
。
對連續(xù)體來說，應(yīng)以體積分代替求和，而質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量應(yīng)該為質(zhì)量密度。因此，如果用表示坐標(biāo)軸，則矩陣元能表示為：
。
拉格朗日力學(xué)中的角動量
在拉格朗日力學(xué)中，圍繞給定軸旋轉(zhuǎn)的角動量是圍繞同一軸的角度的廣義坐標(biāo)和共軛動量：
，
其中是圍繞z軸旋轉(zhuǎn)角度對時間的偏導(dǎo)數(shù)，即角速度。通常，拉格朗日量可以表示為動能與角速度的函數(shù)。對于密度為非點(diǎn)狀物體，在其物體區(qū)域上進(jìn)行積分，有：
。
哈密頓力學(xué)中的角動量
哈密頓力學(xué)中引入了新的獨(dú)立變量——廣義動量p，并引入新的特征函數(shù)H(q, p, t)。哈密頓方程將繞z軸的角度與其共軛動量（繞同一軸的角動量）聯(lián)系起來：
，
以及：
，
因此我們得到了以下結(jié)果：
，
即：
，
其中是z方向的角動量算符，是z方向的轉(zhuǎn)動慣量，是繞z軸的角度觀測變量，是繞z軸的角速度，i是虛數(shù)單位，表示平面直角坐標(biāo)系中的虛數(shù)軸。
軌道力學(xué)中的角動量
在軌道力學(xué)計(jì)算中，質(zhì)量通常并不重要，因?yàn)槲矬w的運(yùn)動是由重力決定的。系統(tǒng)的主體通常比周圍運(yùn)動的任何物體都大得多，因此可以忽略較小物體對其的引力影響；實(shí)際上，它保持恒定的速度。無論質(zhì)量如何，所有物體的運(yùn)動都以相同的方式受到重力的影響，因此在相同的條件下，所有物體的運(yùn)動方式大致相同。在天體動力學(xué)和天體力學(xué)中，與角動量密切相關(guān)的量被定義為：
，
稱為比角動量。注意。
廣義相對論中的角動量
對于粒子系統(tǒng)，總角動量只是各個粒子角動量的總和，并且質(zhì)心是系統(tǒng)的質(zhì)心。在笛卡爾坐標(biāo)系中：
，
其中x、y、z分別為粒子相對于原點(diǎn)在x軸、y軸、z軸方向的距離，、、分別為粒子在各個方向上的動量分量，、、分別是笛卡爾坐標(biāo)系中的三個單位向量，表示各個坐標(biāo)軸的方向，用于計(jì)算兩個向量的叉積。即：
，
其中表示粒子在xy平面上的角動量。角速度也可以定義為反對稱二階張量，其分量為，表示粒子在i和j方向上的角速度。兩個反對稱張量之間的關(guān)系由轉(zhuǎn)動慣量給出，轉(zhuǎn)動慣量現(xiàn)在必須是一個四階張量：
，
其中表示粒子在旋轉(zhuǎn)過程中各個方向上的慣性力矩，四個指標(biāo)i、j、k、l可以取x、y、z，表示粒子上三個相互正交的坐標(biāo)系，表示粒子在各個方向上的轉(zhuǎn)動慣量。在相對論力學(xué)中，粒子的相對論角動量表示為二階反對稱張量：
，
用四個矢量表示，即四個位置的和四個動量的，并將上述與質(zhì)矩（粒子的相對論質(zhì)量與其質(zhì)心的乘積）納入其中。這樣的表示可以被認(rèn)為是對物體質(zhì)心運(yùn)動的描述，因?yàn)樵?a href="/hebeideji/7255279640158552083.html">廣義相對論中，質(zhì)能是守恒的。
電動力學(xué)中的角動量
在電磁體系中，電磁場對帶電體的作用力為：
，
其中為帶電體電荷分布，為電場，為磁流密度，為磁場，為帶電體體積元。故力矩為：
。
設(shè)帶電體的機(jī)械角動量，角動量的時間變化率等于作用在該體系上的合力矩，故：
。
量子力學(xué)中的定義
經(jīng)典上，一個粒子的軌道角動量（相對于原點(diǎn)）由下式給出：
,
其中p是物體的動量。其在各個方向的分量、、分別為，
，
其中x、y、z分別為粒子相對于原點(diǎn)在x軸、y軸、z軸方向的距離，、、分別為粒子在各個方向上的動量分量。對應(yīng)的量子算符由，，得到，其中為約化普朗克常數(shù)，為虛數(shù)。
在量子物理學(xué)中，還有另一種角動量，稱為自旋角動量，用自旋算子表示。自旋通常被描述為繞軸旋轉(zhuǎn)的粒子，但事實(shí)上，自旋是粒子的固有屬性，與空間中的任何運(yùn)動無關(guān)，并且與軌道角動量有著根本的不同。所有基本粒子都具有特征自旋（可能為零），并且?guī)缀跛谢玖Ｗ佣季哂蟹橇阕孕?/p>
對于一個粒子，總角動量 結(jié)合了所有粒子和場的自旋角動量和軌道角動量。角動量守恒適用于，但不適用于或。例如，自旋軌道相互作用允許角動量在和之間來回轉(zhuǎn)移，而總角動量保持恒定。電子和光子不需要具有基于整數(shù)的總角動量值。
原理
牛頓第三運(yùn)動定律的旋轉(zhuǎn)模擬可以這樣寫：“在封閉系統(tǒng)中，如果不對其他物質(zhì)施加繞同一軸的相等且相反的扭矩，則任何物質(zhì)都不能施加扭矩。” 因此，角動量可以在封閉系統(tǒng)中的物體之間進(jìn)行交換，但交換前后的總角動量保持不變（守恒）。
從另一個角度來看，牛頓第一運(yùn)動定律的旋轉(zhuǎn)類比可以寫成：“除非受到外部影響，否則剛體將繼續(xù)處于勻速旋轉(zhuǎn)狀態(tài)。” 因此，在沒有外部影響作用的情況下，系統(tǒng)的原始角動量保持恒定。
諾特定理指出，每個守恒定律都與基礎(chǔ)物理的對稱性（不變量）相關(guān)。與角動量守恒相關(guān)的對稱性是旋轉(zhuǎn)不變性。如果一個系統(tǒng)繞軸旋轉(zhuǎn)任何角度，其物理性質(zhì)都不會改變，則意味著角動量是守恒的。
角動量守恒定律也可以從牛頓第二運(yùn)動定律中推導(dǎo)出來。假設(shè)某一剛體由大量質(zhì)點(diǎn)組成，某時刻角速度為，角加速度為。現(xiàn)研究質(zhì)量為、距轉(zhuǎn)軸垂直距離為的任意質(zhì)點(diǎn)k，作用在k上的力可以分為外力（來自剛體以外一切力的合力）以及內(nèi)力（來自剛體以內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)對質(zhì)點(diǎn)k作用力的合力），按牛頓第二定律，有：
，
將兩邊投影到質(zhì)點(diǎn)k圓軌跡切線方向，有：
，
對兩邊乘以，并對整個剛體求和，則有：
，
其中等式右邊第一項(xiàng)為合外力矩，第二項(xiàng)為所有內(nèi)力對旋轉(zhuǎn)軸的力矩總和。由于內(nèi)力成對出現(xiàn)，而且大小相等、方向相反，因此所有內(nèi)力對旋轉(zhuǎn)軸的力矩總和恒等于0。
應(yīng)用
物理現(xiàn)象
角動量守恒用于分析中心力運(yùn)動。行星和衛(wèi)星軌道上的引力就是這種情況，其中引力總是指向主星體，而繞軌道運(yùn)行的天體在圍繞主星體移動時通過交換距離和速度來守恒角動量。對于行星來說，角動量分布在行星的自轉(zhuǎn)和軌道公轉(zhuǎn)之間，并且這些角動量經(jīng)常通過各種機(jī)制進(jìn)行交換。由于月球?qū)?a href="/hebeideji/7196471799734190132.html">地球施加的潮汐扭矩，地月系統(tǒng)中的角動量守恒導(dǎo)致角動量從地球轉(zhuǎn)移到月球。這反過來導(dǎo)致地球自轉(zhuǎn)速度減慢，約為每天 65.7 納秒，并導(dǎo)致月球軌道半徑逐漸增加，約為每年 3.82 厘米。
花樣滑冰運(yùn)動員或芭蕾舞舞蹈演員快速旋轉(zhuǎn)時，總是先將手腳伸開，以一定角速度轉(zhuǎn)動，然后迅速收回手腳，轉(zhuǎn)速就顯然增加了。半徑縮小時角速度增大，這也是角動量守恒的體現(xiàn)。
工業(yè)技術(shù)
角動量守恒定律在實(shí)際應(yīng)用中有很多優(yōu)勢。在蒸汽機(jī)或內(nèi)燃機(jī)等發(fā)動機(jī)中，常常需要使用飛輪，這個裝置能夠有效地將活塞的橫向運(yùn)動轉(zhuǎn)化為旋轉(zhuǎn)運(yùn)動。慣性導(dǎo)航系統(tǒng)就是利用了角動量相對于空間慣性系守恒的原理，使得潛艇能夠在極地冰蓋下航行，同時對于所有現(xiàn)代導(dǎo)航方式都至關(guān)重要。旋轉(zhuǎn)的陀螺具有很好的定軸性，這也是因?yàn)槠渥袷亓私莿恿渴睾愕脑恚丛跊]有外力矩的作用下，物體的角動量會保持恒定。在工業(yè)中，可以看到很多這樣的例子，比如子彈從槍膛里出來時高速旋轉(zhuǎn)，這樣就能夠保持穩(wěn)定性和準(zhǔn)確性。角動量守恒定律還可以用來實(shí)現(xiàn)衛(wèi)星的定向控制。而在一些轎車上，就安裝了測量車身縱向和橫向擺動的陀螺傳感器，這樣可以實(shí)現(xiàn)車身穩(wěn)定度的控制。
在騎車的時候會發(fā)現(xiàn)騎得越快，越容易保持平衡，是因?yàn)樵谕勇菪?yīng)的作用下，輪子克服了重力，形成了進(jìn)動，通過改變方向維持了自身平衡。而這種平衡狀態(tài)與車輪的速度有關(guān)，速度越快，車輪的傾角越小，車身越穩(wěn)定
參考資料 >
Tropical Cyclone Structure.National Weather Service.2023-08-29
The Euler Archive.Ghost Archive.2023-08-27
新京報(bào)：專家：太空授課計(jì)劃一年前開始籌備 難度高于美國.中國載人航天.2023-09-08