諾特定理：是理論物理的中心結(jié)果之一，它表達了連續(xù)對稱性和守恒定律的一一對應(yīng)。
概述
諾特定理把對稱性跟守恒量聯(lián)系起來了，非常有用。是指對于力學(xué)體系的每一個連續(xù)的對稱變換，都有一個守恒量與之對應(yīng)。對稱變換是力學(xué)體系在某種變換下不變。
解釋
命題中的“對稱性”一詞精確一點來說是指物理定律在滿足某種技術(shù)要求的一維李群作用下所滿足的協(xié)變性。物理量的守恒定律通常用連續(xù)性方程表達。定理的形式化命題僅從不變性條件就導(dǎo)出和一個守恒的物理量相應(yīng)的流的表達式。該守恒量稱為諾特荷，而該流稱為諾特流。諾特流至多相差一個無散度向量場。
應(yīng)用：諾特定理的應(yīng)用幫助物理學(xué)家在物理的任何一般理論中通過分析各種使得所涉及的定律的形式保持不變的變換而獲得深刻的洞察力。例如：對于物理系統(tǒng)對于空間平移的不變性（換言之，物理定律不隨著空間中的位置而變化）給出了線性動量的守恒律；對于轉(zhuǎn)動的不變性給出了角動量的守恒律；對于時間平移的不變性給出了著名的能量守恒定律。在量子場論中，和諾特定理相似，沃德－高橋恒等式（Ward-Takahashi）產(chǎn)生出更多的守恒定律，例如從電勢和向量勢的規(guī)范不變性得出電荷的守恒。
諾特荷也被用于計算靜態(tài)黑洞的1。
證明
設(shè)我們有一個n維流形M以及一個目標流形T。令為從M到T的光滑函數(shù)組成的位形空間。（更一般的情況下，我們可以有一個M上的纖維叢的光滑截面）物理學(xué)中這樣的"M"的例子包括：經(jīng)典力學(xué)上，哈密頓表述中，M是一個一維流形R，代表時間而目標空間是廣義位置的空間的余切叢。場論中，M是時空流形，而目標空間是場在任何給定可取的值的集合。例如，如果有m個實值標量場，φ1,...,φm，則目標流形是Rm。若流形是一個實向量場，則目標流形同構(gòu)于R3。現(xiàn)在設(shè)有一個泛函稱為作用量。（注意它在中而非中取值；這是有物理原因的，并且并不影響本證明。）要得到通常版本的諾特定理，我們需要對作用量作額外的限制。我們假設(shè)S[φ]是M上的如下函數(shù)的積分稱為拉格朗日量，它依賴于φ，包括它在各點的導(dǎo)數(shù)和位置。換句話說，對于中的φ設(shè)我們給出邊界條件，也即，在M為緊致的情況下φ在邊界的取值，或者在x趨向∞時，φ的極限。則的由滿足如下兩個條件的的φ組成的子空間就是在殼解的子空間，其一是φ的S的泛函導(dǎo)數(shù)為零，也即：其二是φ滿足給定邊界條件。（參看穩(wěn)定作用量原理）現(xiàn)在，假設(shè)我們有一個無窮小變換，定義在上，它由一個泛函求導(dǎo)Q生成，滿足對于所有緊致子流形N成立，換句話講（散度定理），對于所有x成立，其中我們令。若這在在殼和離殼都成立，我們稱Q生成一個離殼對稱性。若只在在殼情況成立，稱Q生成在殼對稱性。然后，我們稱Q是單參數(shù)對稱性李群的生成元。現(xiàn)在，對于每個N，因為歐拉-拉格朗日定理，在殼（只有在殼)上，我們有}-因為這對于所有N成立，我們有但這無非就是對于如下的流的連續(xù)性方程這被稱為和該對稱性相關(guān)的艾米·諾特流（Noether current）。該連續(xù)性方程說明如果對這個流在空間式切片上積分，就可以得到稱為諾特荷的守恒量。
相關(guān)再敘述
常見的例子有動量、能量、角動量守恒跟相應(yīng)的時空均勻性的關(guān)系：
空間均勻性與動量守恒：空間是均勻的，也就是地球上的物理定律跟月球上的物理定律是一樣的，物理定律在空間平移（不如從地球移到月亮上）變換下是不變的，由諾特定理可以得到存在這么一個守恒量，即動量。
空間各項同性與角動量守恒：空間是各項同性的，也就是空間沒有一個特殊的方向，我們?nèi)我馊∽鴺溯S的方向，雖然物理量的數(shù)值在各個坐標系當中可能是不一樣的，但物理定律所對于的方程是不變的，比如牛頓運動定律F＝ma(向量形式)在空間旋轉(zhuǎn)變換下是不變的，我們把坐標軸旋轉(zhuǎn)，雖然矢量的各個分量變了，但總的方程F＝ma(矢量形式)是不變的，這樣，在牛頓力學(xué)當中，就存在著一個跟空間各向同性相對應(yīng)的守恒量角動量。
時間均勻性跟能量守恒：同樣，由時間均勻性，也就是過去、現(xiàn)在、未來物理定律是一樣的，由諾特定理可以得出存在這么一個守恒量－－能量。
一般諾特定理的證明都是在約瑟夫·拉格朗日形式下來證明的，也就是假定我們所發(fā)現(xiàn)的力學(xué)體系的拉格朗日描述是正確的。
參考資料 >