卡爾·馬克思一生酷愛(ài)數(shù)學(xué)，從19世紀(jì)40年代起，直到逝世前不久，數(shù)十年如一日地利用閑暇時(shí)間學(xué)習(xí)和鉆研數(shù)學(xué)，給我們留下了近千頁(yè)數(shù)學(xué)手稿，其中有讀書(shū)摘要、心得筆記和述評(píng)，以及一些研究論文的草稿。
20世紀(jì)30年代以后，馬克思的數(shù)學(xué)手稿和其他手稿一起，一直保存在荷蘭首都阿姆斯特丹的國(guó)際社會(huì)史研究所的檔案館中。
創(chuàng)作背景
起初，馬克思在與恩格斯和其他人的通信中討論初等數(shù)學(xué)問(wèn)題居多。例如，他在1864年的一封信中有關(guān)于數(shù)字計(jì)算的議論：“可以看出：不太大的計(jì)算，例如在家庭開(kāi)支和商業(yè)中，從來(lái)不用數(shù)字而只用石子和其他類似的標(biāo)記在算盤(pán)上進(jìn)行。在這種算盤(pán)上定出幾條平行線，同樣幾個(gè)石子或其他顯著的標(biāo)記在第一行表示幾個(gè)，在第二行表示幾十，在第三行表示幾百，在第四行表示幾千，余類推。這種算盤(pán)幾乎整個(gè)中世紀(jì)都曾使用，直到今天中國(guó)人還在使用。至于更大一些的數(shù)學(xué)計(jì)算，則在有這種需要之前古羅馬人就已有乘法表或畢達(dá)哥拉斯表，誠(chéng)然，這種表還很不方便，還很繁瑣。因?yàn)檫@種表一部分是用特殊符號(hào)，一部分是用希臘字母（后用羅馬字母）編制成的。……在作很大的計(jì)算時(shí)，舊方法造成不可克服的障礙，這一點(diǎn)從杰出的數(shù)學(xué)家阿基米德所變的戲法中就可以看出來(lái)。”[（P650）
卡爾·馬克思關(guān)于數(shù)學(xué)的筆記和他研究政治經(jīng)濟(jì)學(xué)的材料有緊密的聯(lián)系。在1846年的一個(gè)經(jīng)濟(jì)學(xué)筆記本中，最后幾頁(yè)全是各種代數(shù)運(yùn)算；在以后的許多筆記本中也都記有數(shù)學(xué)公式和圖形，還有整頁(yè)整頁(yè)的算草；在為撰寫(xiě)《國(guó)民經(jīng)濟(jì)學(xué)批判大綱》準(zhǔn)備材料的筆記本中他畫(huà)了一些幾何圖形，記錄了關(guān)于分?jǐn)?shù)指數(shù)和對(duì)數(shù)的公式。
1858年1月11日馬克思在致恩格斯的信中說(shuō)：“在制定政治經(jīng)濟(jì)學(xué)原理時(shí)，計(jì)算的錯(cuò)誤大大地阻礙了我，失望之余，只好重新坐下來(lái)把代數(shù)迅速地溫習(xí)一遍。算術(shù)我一向很差，不過(guò)間接地用代數(shù)方法，我很快又會(huì)計(jì)算正確的。”（P247）卡爾·馬克思曾為自己能把高等數(shù)學(xué)的某些公式用于經(jīng)濟(jì)學(xué)的研究而深感高興。1868年1月8日馬克思寫(xiě)信給恩格斯談到工資問(wèn)題的研究時(shí)，他說(shuō)：“工資第一次被描寫(xiě)為隱藏在它后面的一種關(guān)系的不合理的表現(xiàn)形式，這一點(diǎn)通過(guò)工資的兩種形式即計(jì)時(shí)工資和計(jì)件工資得到了確切的說(shuō)明（在高等數(shù)學(xué)中常常可以找到這樣的公式，這對(duì)我很有幫助）。”（P12）
看來(lái)，馬克思的數(shù)學(xué)興趣與他希望把數(shù)學(xué)運(yùn)用于經(jīng)濟(jì)學(xué)研究有關(guān)。在1873年5月31日給恩格斯的信中談到經(jīng)濟(jì)危機(jī)的研究時(shí)，他說(shuō)：“為了分析危機(jī)，我不止一次地想計(jì)算出這些作為不規(guī)則曲線的升和降，并曾想用數(shù)學(xué)公式從中得出危機(jī)的主要規(guī)律（而且現(xiàn)在我還認(rèn)為，如有足夠的經(jīng)過(guò)檢驗(yàn)的材料，這是可能的）。”（P87）在《資本論》中我們也能看到數(shù)學(xué)的運(yùn)用，據(jù)拉法格回憶，卡爾·馬克思曾經(jīng)強(qiáng)調(diào)說(shuō)：一門科學(xué)只有當(dāng)它達(dá)到了能夠成功地運(yùn)用數(shù)學(xué)時(shí)，才算真正發(fā)展了。（P8）我理解，馬克思這里所說(shuō)的運(yùn)用數(shù)學(xué)，不僅僅是運(yùn)用數(shù)學(xué)的計(jì)算方法，而且也要運(yùn)用數(shù)學(xué)的思維方法和論證方法。
作品影響
通過(guò)閱讀馬克思數(shù)學(xué)手稿，以及馬克思的著作和通信中有關(guān)數(shù)學(xué)的論述，聯(lián)系到幾十年來(lái)馬克思數(shù)學(xué)手稿在我國(guó)的翻譯、介紹、出版和影響，我特撰寫(xiě)本文談?wù)勛约簩?duì)馬克思數(shù)學(xué)手稿的理解和看法，就教于對(duì)此有興趣的朋友們，也作為對(duì)馬克思逝世120周年的紀(jì)念。
讀讀卡爾·馬克思數(shù)學(xué)手稿，就感到馬克思是深鉆到數(shù)學(xué)中去了，確如恩格斯所說(shuō)：“馬克思是精通數(shù)學(xué)的。”當(dāng)然，所謂“精通”，不能要求馬克思通曉當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)的全部，正好像現(xiàn)在堪稱“精通”數(shù)學(xué)的專家也不可能對(duì)當(dāng)前數(shù)學(xué)的全部?jī)?nèi)容都了如指掌一樣。事實(shí)上，正如恩格斯所說(shuō)：“對(duì)于自然科學(xué)，我們只能作零星的、時(shí)停時(shí)續(xù)的、片斷的研究”，而且“自然科學(xué)本身也正處在如此巨大的變革過(guò)程中，以至那些即使有全部空閑時(shí)間來(lái)從事于此的人，也很難跟蹤不失”。卡爾·馬克思生前還沒(méi)有來(lái)得及跟蹤19世紀(jì)數(shù)學(xué)分析方面的重要成就，還沒(méi)有閱讀當(dāng)時(shí)已經(jīng)出版的，像哥西的《分析教程》（1821年初版）那樣的一些重要著作。由于馬克思還不了解微積分經(jīng)過(guò)波爾察諾（B．B．lzan，1781-1848）、哥西（A.L.Cauchy，1789-1857）、卡爾·魏爾施特拉斯（K.W.T.Weierstrass，1815-1897）等數(shù)學(xué)家的努力以后所取得的逐步“完善”的形式，因而他也不可能運(yùn)用極限理論做出像后來(lái)人們所理解的那樣來(lái)闡明微積分的本質(zhì)。
卡爾·馬克思不是專職數(shù)學(xué)家，也沒(méi)有對(duì)數(shù)學(xué)本身做出重大建樹(shù)，他的數(shù)學(xué)手稿之所以受到人們重視，首先，因?yàn)樗侨祟悮v史上的偉大思想家，而他又在數(shù)學(xué)這一園地上數(shù)十年如一日地執(zhí)著地辛勤耕耘過(guò)，這一事跡是人類文化史上所罕見(jiàn)的，是歷史上任何一位思想家都難以相比的。現(xiàn)在我們讀到的數(shù)學(xué)手稿，就是他以自己的獨(dú)特方式辛勤耕耘的歷史足跡，這足跡能夠保留下來(lái)，為世人所知，是令人感到寶貴的，而且值得加以研究和回味，從中獲得有益的啟迪。
其次，在馬克思數(shù)學(xué)手稿中，確有至今還在閃光的思想和見(jiàn)解。比如卡爾·馬克思在考察了微分學(xué)的具體歷史發(fā)展過(guò)程以后，曾做出這樣的論斷：“新事物和舊事物之間的真實(shí)的從而是最簡(jiǎn)單的聯(lián)系，總是在新事物自身取得完善的形式后才被發(fā)現(xiàn)。”（P144）這是對(duì)新舊事物關(guān)系的哲理性概括，也是對(duì)人的認(rèn)識(shí)規(guī)律的哲理性概括，對(duì)人們的認(rèn)識(shí)進(jìn)展很有啟發(fā)。
第三，在馬克思主義理論中，非常注重人，尤其注重人的全面發(fā)展。馬克思對(duì)自由時(shí)間或閑暇時(shí)間，也就是非勞動(dòng)時(shí)間的重要性有深刻的論述，他把自由時(shí)間看作財(cái)富，把休閑看作人的生活的重要組成部分。那么，卡爾·馬克思自己怎樣度過(guò)閑暇時(shí)間呢？據(jù)馬克思的女婿拉法格回憶：“除了讀詩(shī)歌和小說(shuō)以外，馬克思還有一種獨(dú)特的精神休養(yǎng)方法，這就是他十分喜愛(ài)的數(shù)學(xué)。代數(shù)甚至給他以精神上的安慰；在他那驚濤駭浪的一生中有些最痛苦的時(shí)期，他總是以此自慰。”（P8）
馬克思曾對(duì)恩格斯說(shuō)：“在工作之余——當(dāng)然不能老是寫(xiě)作——我就搞搞微分學(xué)。我沒(méi)有耐心再去讀別的東西。任何其他讀物總是把我趕回寫(xiě)字臺(tái)來(lái)。”（P124）馬克思對(duì)數(shù)學(xué)的特殊愛(ài)好，使他在任何情況下都能使自己沉浸于數(shù)學(xué)之中。當(dāng)馬克思的夫人燕妮·馬克思身患重病——肝癌的時(shí)候，他給恩格斯寫(xiě)信說(shuō)：“寫(xiě)文章現(xiàn)在對(duì)我來(lái)說(shuō)幾乎是不可能了。我能用來(lái)使心靈保持必要平靜的唯一的事情，就是數(shù)學(xué)。”（P113）他的關(guān)于微分學(xué)的研究草稿，正是在1881年燕妮病危的那些痛苦的日子里寫(xiě)作的。
在馬克思的數(shù)學(xué)手稿中，能看到很多幽默俏皮的語(yǔ)言和生動(dòng)有趣的比喻。可以想見(jiàn)，數(shù)學(xué)曾是卡爾·馬克思尋求歡樂(lè)和安慰的休閑王國(guó)，在馬克思的一生中有許多時(shí)日是在這里愉快地度過(guò)的，上千頁(yè)的數(shù)學(xué)手稿就是馬克思這種獨(dú)特的精神休養(yǎng)法的真實(shí)記錄。
綜上所述，我認(rèn)為，馬克思數(shù)學(xué)手稿是一份寶貴的有特殊價(jià)值的歷史文獻(xiàn)。
作品評(píng)價(jià)
馬克思曾經(jīng)打算把自己對(duì)數(shù)學(xué)的一些研究成果寫(xiě)成正式論文，但他反復(fù)改寫(xiě)了多遍草稿，卻沒(méi)有來(lái)得及寫(xiě)完。他生前曾囑咐小女兒愛(ài)琳娜：“要她和恩格斯一起處理他的全部文稿，并關(guān)心出版那些應(yīng)該出版的東西，特別是第二卷（按：指《資本論》第二卷）和一些數(shù)學(xué)著作。”（P42）卡爾·馬克思逝世以后，恩格斯也曾希望把自己在自然辯證法方面的研究成果同馬克思遺留下來(lái)的數(shù)學(xué)手稿一齊發(fā)表。（第三版序言）但是由于他肩負(fù)著整理出版馬克思的最重要的著作——《資本論》第二卷、第三卷的重任，上述愿望沒(méi)有能夠?qū)崿F(xiàn)。
馬克思關(guān)于微分學(xué)的幾篇論文草稿和一些札記于1933年譯成俄文與讀者見(jiàn)面，即在紀(jì)念馬克思逝世五十周年的時(shí)候才第一次發(fā)表在蘇聯(lián)的理論刊物《在馬克思主義旗幟下》，隨后收入文集《馬克思主義與自然科學(xué)》。1968年在前蘇聯(lián)出版了馬克思數(shù)學(xué)手稿的比較完全的德俄對(duì)照本，書(shū)中對(duì)各個(gè)時(shí)期的手稿寫(xiě)了較詳細(xì)的記述。此外，對(duì)馬克思的數(shù)學(xué)手稿，還陸續(xù)出版過(guò)內(nèi)容和編排不一的德文本、日語(yǔ)本、意大利文本等等。在國(guó)際學(xué)術(shù)界引起了學(xué)者們的重視和興趣。如日本的玉木美彥、今野武雄早就撰文介紹過(guò)馬克思數(shù)學(xué)手稿的內(nèi)容。1977年在西德召開(kāi)的國(guó)際數(shù)學(xué)史會(huì)議上，美國(guó)學(xué)者肯尼迪（H．C．Kennedy）作了題為《馬克思與微積分基礎(chǔ)》的學(xué)術(shù)報(bào)告。美國(guó)著名數(shù)學(xué)史家斯特洛依克（D．J．Struik）1978年在《數(shù)學(xué)評(píng)論》雜志上寫(xiě)文章介紹了這篇報(bào)告。前幾年，還有美國(guó)科學(xué)史方面的研究生在研究馬克思數(shù)學(xué)手稿的傳播和影響。
在我國(guó)，早從1949年起，許默夫就發(fā)表過(guò)關(guān)于馬克思數(shù)學(xué)手稿的文章（注：許默夫的有關(guān)馬克思數(shù)學(xué)手稿的幾篇文章，先后發(fā)表在《東北日?qǐng)?bào)》（1949年5月5日）、《自然科學(xué)》（1951年第1卷）、《數(shù)學(xué)通報(bào)》（1958年第12期）、《新科學(xué)》（1955年第2期）等報(bào)刊上。），后來(lái)有些學(xué)者從日文本或俄文本將部分內(nèi)容翻譯過(guò)來(lái)。1973年1月北京市大學(xué)成立了馬克思數(shù)學(xué)手稿編譯組，依據(jù)蘇聯(lián)1968年出版的德俄對(duì)照本進(jìn)行翻譯。為了翻譯準(zhǔn)確，為了能從德語(yǔ)原文直接譯成中文，北京大學(xué)于1974年通過(guò)外交途徑從荷蘭購(gòu)得全部數(shù)學(xué)手稿原件的復(fù)印照片，將其中關(guān)于微積分的大部分論述和部分初等數(shù)學(xué)札記翻譯成中文，編排成書(shū)，由人民出版社于1975年正式出版。（注：1973年1月，當(dāng)時(shí)馬克思恩格斯列寧著作編譯局的負(fù)責(zé)人王惠德同志把一本《馬克思數(shù)學(xué)手稿》（1968年的德俄對(duì)照本，是一位瑞士記者送給他的）交給了孫小禮，建議由北京市大學(xué)來(lái)組織翻譯。北大欣然接受這一建議，立即成立了北京大學(xué)馬克思數(shù)學(xué)手稿編譯組，由鄧東皋、孫小禮具體負(fù)責(zé)，動(dòng)員了數(shù)學(xué)系、西語(yǔ)系、俄語(yǔ)系、哲學(xué)系的教師參加翻譯工作，德語(yǔ)方面有江澤涵、姚保琮、冷生明、丁同仁等人，俄文方面有吳文達(dá)、黃敦、郭仲衡、鮑良駿、顏品中等人。1974年3月譯出了卡爾·馬克思關(guān)于微積分的大部分論述，請(qǐng)于光遠(yuǎn)、胡世華、陸汝鈐和編譯局楊彥君等同志幫助校對(duì)后，于1974年5月由北京大學(xué)學(xué)報(bào)印出專刊：馬克思數(shù)學(xué)手稿（試譯本）。1974年冬購(gòu)得馬克思數(shù)學(xué)手稿原件的照片后，由諳悉德文的江澤涵、姚保琮兩位教授仔細(xì)辨認(rèn)馬克思原稿手跡，同冷生明、丁同仁、鄧東皋等人反復(fù)討論推敲，對(duì)原來(lái)的譯文進(jìn)行核校、修改和補(bǔ)充。最后又請(qǐng)北京師范大學(xué)的張禾瑞教授、蔣碩民教授對(duì)全部譯稿從德語(yǔ)作了詳細(xì)校訂之后，才由人民出版社于1975年7月出版了馬克思的《數(shù)學(xué)手稿》。）
極端看法
卡爾·馬克思《數(shù)學(xué)手稿》一書(shū)于1975年在我國(guó)編譯出版以后，出現(xiàn)了兩種極端的看法：
一是過(guò)分地在數(shù)學(xué)上抬高馬克思，說(shuō)馬克思為微積分奠定了理論基礎(chǔ)，把19世紀(jì)許多卓越數(shù)學(xué)家的重要成就都視為形而上學(xué)，惟有馬克思的論述才是符合辯證法的，甚至要在教學(xué)中用馬克思《數(shù)學(xué)手稿》代替微積分教材。這種作法顯然是極其錯(cuò)誤的，既違背馬克思的本意，也不符合數(shù)學(xué)發(fā)展的實(shí)際，對(duì)于高等數(shù)學(xué)教學(xué)只能產(chǎn)生有害的影響。
另一種極端的看法則認(rèn)為卡爾·馬克思根本不懂?dāng)?shù)學(xué)，至少不懂高等數(shù)學(xué)，寫(xiě)于19世紀(jì)的《數(shù)學(xué)手稿》沒(méi)有什么學(xué)術(shù)價(jià)值，不值得翻譯出版。這種完全否定的態(tài)度也是缺乏歷史分析、不符合實(shí)際的。
由于這兩種看法在不同程度上一直延續(xù)到現(xiàn)在，所以，我感到把馬克思的《數(shù)學(xué)手稿》放在當(dāng)時(shí)的歷史條件下，根據(jù)其具體內(nèi)容，做出實(shí)事求是的恰當(dāng)?shù)脑u(píng)價(jià)是必要的，有現(xiàn)實(shí)意義的。
學(xué)習(xí)思索
19世紀(jì)60年代以后，馬克思陸續(xù)閱讀了一大批微積分方面的書(shū)籍，其中有布沙拉（J．L．B．ucharlat）、辛德（J．Hind）、拉庫(kù)阿（S．F．Lacr．ix）、霍爾（G．Hall）等人各自編寫(xiě)的微積分教科書(shū)，還有艾薩克·牛頓有關(guān)的數(shù)學(xué)原著等等，寫(xiě)下了詳細(xì)的讀書(shū)筆記。卡爾·馬克思對(duì)這些教科書(shū)進(jìn)行比較，開(kāi)始了自己對(duì)于微分學(xué)中一些問(wèn)題的獨(dú)立的思考。于1881年前后，馬克思撰寫(xiě)了關(guān)于微分學(xué)的歷史發(fā)展進(jìn)程、論導(dǎo)函數(shù)概念、論微分以及關(guān)于泰勒定理等問(wèn)題的研究草稿，而且對(duì)于這些問(wèn)題都曾寫(xiě)過(guò)多遍草稿，例如，關(guān)于泰勒定理留下了八份草稿。
馬克思把微分學(xué)看作科學(xué)上的一種新發(fā)現(xiàn)、新事物，考察它是怎樣產(chǎn)生的，產(chǎn)生以后遇到一些什么困難，經(jīng)歷了怎樣的曲折發(fā)展。馬克思對(duì)微積分有過(guò)一段生動(dòng)的而又富有哲理的描述：“人們自己相信了新發(fā)現(xiàn)的算法的神秘性。這種算法通過(guò)肯定是不正確的數(shù)學(xué)途徑得出了正確的（尤其在幾何應(yīng)用上是驚人的）結(jié)果。人們就這樣把自己神秘化了，對(duì)這新發(fā)現(xiàn)評(píng)價(jià)更高了，使一群舊式正統(tǒng)派數(shù)學(xué)家更加惱怒，并且激起了敵對(duì)的叫囂，這種叫囂甚至在數(shù)學(xué)界以外產(chǎn)生了反響，而為新事物開(kāi)拓道路，這是必然的。”（P88）
卡爾·馬克思把從艾薩克·牛頓（1642—1727）、戈特弗里德·萊布尼茨（1646—1716）創(chuàng)建微分學(xué)到約瑟夫·拉格朗日（J．L．Lagrange1736—1813）的發(fā)展，約一百多年的發(fā)展過(guò)程分為三個(gè)階段，分別稱為：“神秘的微分學(xué)”、“理性的微分學(xué)”、“純代數(shù)的微分學(xué)”。在牛頓和萊布尼茨時(shí)期，新生的微積分很快在應(yīng)用上獲得了驚人的成功，但是從舊的傳統(tǒng)數(shù)學(xué)看來(lái)，這種新算法，比如導(dǎo)數(shù)過(guò)程，正是通過(guò)不正確的數(shù)學(xué)途徑得到正確的結(jié)果的。在同一個(gè)公式的推導(dǎo)過(guò)程中Δx和dx既作為有限的量，卻又消失為零，在邏輯上顯示出矛盾；時(shí)為什么能有確定的值，等等，都不能從理論上給出合理的解釋。人們認(rèn)為微分學(xué)是神秘的。艾薩克·牛頓和戈特弗里德·萊布尼茨，以及后繼者們都希望給微分學(xué)生找到合乎邏輯的說(shuō)明，他們?yōu)榇烁冻隽撕艽蟮呐ΑＲ?a href="/hebeideji/3677536811537581982.html">讓·達(dá)朗貝爾（J．L．R．D’Alembert，1717-1783）為代表的“理性的微分學(xué)”和以約瑟夫·拉格朗日為代表的“純代數(shù)的微分學(xué)”，都是這種努力的一定階段的成果。卡爾·馬克思指出：“這里，像在別處一樣，給科學(xué)撕下神秘的面是很重要的”（P139）
馬克思力圖運(yùn)用辯證法觀點(diǎn)去分析微分學(xué)的困難。他認(rèn)為“理解導(dǎo)數(shù)運(yùn)算時(shí)的全部困難”，“正像理解否定之否定本身”一樣，要把“否定”理解為發(fā)展的環(huán)節(jié)，并且要從量和質(zhì)的統(tǒng)一看待量的變化。在微分過(guò)程中，在量的否定，比如量的消失中，看到其間仍保存著特定的質(zhì)的關(guān)系，即y對(duì)x的函數(shù)關(guān)系所制約的質(zhì)的關(guān)系。因此，當(dāng)增量Δx變?yōu)榱悖也變?yōu)榱悖瑫r(shí)能具有特定的值，即導(dǎo)函數(shù)。卡爾·馬克思說(shuō)，要把握的真正含義，“唯一的困難是在逐漸消失的量之間確定一個(gè)比的這種辯證的見(jiàn)解。”（P16）
馬克思以比較簡(jiǎn)單的多項(xiàng)式函數(shù)的微分過(guò)程為例，參照比較了多種教科書(shū)，運(yùn)用上述觀點(diǎn)，選擇了一種具體的推導(dǎo)步驟以說(shuō)明這種函數(shù)的微分過(guò)程的合理性，從而說(shuō)明微分學(xué)的神秘性是可以擺脫的。這樣的內(nèi)容，現(xiàn)在看來(lái)固然是很淺顯的，也不足以說(shuō)明一般函數(shù)的導(dǎo)數(shù)過(guò)程。但這也是馬克思為撕下微分學(xué)的神秘面紗所做的一份歷史性的努力。
卡爾·馬克思曾勸說(shuō)恩格斯研究微積分。他在1863年7月6日給恩格斯的信中說(shuō)：“有空時(shí)我研究微積分。順便說(shuō)說(shuō)，我有許多關(guān)于這方面的書(shū)籍，如果你愿意研究，我準(zhǔn)備寄給你一本。我認(rèn)為這對(duì)于你的軍事研究幾乎是必不可缺的。況且，這個(gè)數(shù)學(xué)部門（僅就技術(shù)方面而言），例如同高等代數(shù)比起來(lái)，要容易得多。除了普通代數(shù)和三角以外，并不需要先具備什么知識(shí)，但是必須對(duì)圓錐曲線有一個(gè)一般的了解。”（P357）
馬克思對(duì)高等數(shù)學(xué)的興趣和鉆研影響和帶動(dòng)了恩格斯，1865年以后，他們?cè)谕ㄐ胖杏懻摰酶嗟膭t是微積分方面的問(wèn)題了。卡爾·馬克思在一封給恩格斯的信的附件中說(shuō)：“全部微分學(xué)本來(lái)就是求任意一條曲線上的任何一點(diǎn)的切線。我就想用這個(gè)例子來(lái)給你說(shuō)明問(wèn)題的實(shí)質(zhì)。”馬克思是用求拋物線y=ax上某一點(diǎn)m的切線的例子，認(rèn)真畫(huà)了圖，向恩格斯作詳細(xì)講解的。（P168—169）
1881年馬克思把一份“論導(dǎo)數(shù)概念”的手稿和一份“論導(dǎo)數(shù)”手稿謄抄清楚，先后寄給了恩格斯。恩格斯認(rèn)真閱讀了這些手稿，于1881年8月18日給馬克思寫(xiě)了一封很長(zhǎng)的討論導(dǎo)函數(shù)的回信，信中說(shuō)：“這件事引起我極大的興趣，以致我不僅考慮了一整天，而且做夢(mèng)也在考慮它：昨天晚上我夢(mèng)見(jiàn)我把自己的領(lǐng)扣交給一個(gè)青年人去求微分，而他拿著領(lǐng)扣溜掉了。”（P21—23）
在馬克思的影響下，恩格斯對(duì)微積分也越來(lái)越有興趣了，他在《反杜林論》、《自然辯證法》等哲學(xué)著作中，不但大段大段地談?wù)撐⒎e分，精辟地分析高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)的區(qū)別，而且還有對(duì)于微積分的高得不能再高的贊譽(yù)：“在一切理論成就中，未必再有什么像十七世紀(jì)下半葉微積分的發(fā)明那樣看作人類精神的最高勝利了。如果在某個(gè)地方我們看到人類精神的純粹的和唯一的功績(jī)，那就正在這里。”（P611）
辯證法
卡爾·馬克思和恩格斯都非常明確地認(rèn)為，數(shù)學(xué)是建立辯證唯物主義哲學(xué)的一個(gè)重要基礎(chǔ)。恩格斯指出：“要確立辯證的同時(shí)又是唯物主義的自然觀，需要具備數(shù)學(xué)和自然科學(xué)的知識(shí)。”（第三版序言）
在舊哲學(xué)中，格奧爾格·威廉·弗里德里希·黑格爾是論述數(shù)學(xué)得比較多的。恩格斯曾經(jīng)指出：“黑格爾的數(shù)學(xué)知識(shí)極為豐富，甚至他的任何一個(gè)學(xué)生都沒(méi)有能力把他遺留下來(lái)的大量數(shù)學(xué)手稿整理出版。據(jù)我所知，對(duì)數(shù)學(xué)和哲學(xué)了解到足以勝任這一工作的唯一的人，就是馬克思。”（P471）卡爾·馬克思忙于自己的研究和革命活動(dòng)，并沒(méi)有承擔(dān)這一工作。不過(guò)，他在數(shù)學(xué)手稿中把微分學(xué)的發(fā)展同德國(guó)唯心主義哲學(xué)的發(fā)展聯(lián)系起來(lái)，作了有趣的對(duì)比。當(dāng)他探討艾薩克·牛頓、戈特弗里德·萊布尼茨與他們的后繼者的關(guān)系時(shí)，他說(shuō)：“正像這樣，約翰·費(fèi)希特繼承伊曼努爾·康德，謝林繼承費(fèi)希特，格奧爾格·威廉·弗里德里希·黑格爾繼承謝林，無(wú)論費(fèi)希特、謝林、黑格爾都沒(méi)有研究過(guò)康德的一般基礎(chǔ)，即唯心主義本身；否則他們就不能進(jìn)一步發(fā)展康德的唯心主義。（P88）
馬克思把研究數(shù)學(xué)作為豐富唯物辯證法的一個(gè)源泉。他通過(guò)自己對(duì)數(shù)學(xué)的多年鉆研，深有體會(huì)地認(rèn)為，在高等數(shù)學(xué)中，他找到了最符合邏輯的同時(shí)又是形式最簡(jiǎn)單的辯證運(yùn)動(dòng)。在馬克思的數(shù)學(xué)手稿中能夠看到這方面的記述。
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К．МАРКС МАТЕМАТИЧЕСИЕ РУКОПИСИ，ИЗДАТЕЛЪСТВО 《НАУКА》 ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ，МОСКВА，1968
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