辛幾何（symplectic geometry）是數(shù)學(xué)中微分幾何領(lǐng)域的分支領(lǐng)域，是研究辛流形（symplectic manifold）的幾何與拓?fù)湫再|(zhì)的學(xué)科。它的起源和物理學(xué)中的經(jīng)典力學(xué)關(guān)系密切，也與數(shù)學(xué)中的代數(shù)幾何，數(shù)學(xué)物理，幾何拓?fù)涞阮I(lǐng)域有很重要的聯(lián)系。不同于微分幾何中的另一大分叉黎曼幾何，辛幾何是一種不能測量長度卻可以測量面積的幾何，而且辛流形上并沒有類似于黎曼幾何中曲率這樣的局部概念。這使得辛幾何的研究帶有很大的整體性。
內(nèi)容簡介
辛幾何（Symplectic geometry），也叫辛拓?fù)洌⊿ymplectic topology），是微分幾何的一個分支。其研究對象為辛流形，亦即帶有閉非退化2-形式的微分流形。辛拓?fù)湓从?a href="/hebeideji/336676385077254301.html">經(jīng)典力學(xué)的哈密頓表述，其中特定經(jīng)典系統(tǒng)的相空間有辛流形的結(jié)構(gòu)。
辛拓?fù)浜脱芯坑蟹峭嘶瘜ΨQ2階張量(稱為度量張量)的流形的黎曼幾何有一些相似和不同之處。不像伯恩哈德·黎曼的情況，辛流形沒有像曲率那樣的局部不變量。這是達(dá)布定理的一個結(jié)果，表明每一對辛流形是局部同構(gòu)的。另一個和黎曼幾何的區(qū)別是不是所有的微分流形可以接受一個辛形式；有一些特定的拓?fù)湎拗啤Ｊ紫龋餍伪仨毷桥紨?shù)維的。辛拓?fù)涞暮芏喙ぷ骶褪且匝芯磕男┝餍慰梢杂行两Y(jié)構(gòu)為中心的。
每個凱勒流形也是一個辛流形。直到1970年代，辛專家們還不確信是否有任何緊非K?hler辛流形存在，但從那以后又很多例子被構(gòu)造出來(第一個由William Thurston給出)；特別的，Robert Gompf證明每個有限表示群都可以作為辛4維流形的基本群出現(xiàn)，這和凱勒的情形完全不同。
可以說大部分辛流形都是非凱勒的；所以沒有和辛形式相容的可積復(fù)結(jié)構(gòu)。但是 Mikhail Gromov給出了一個重要的發(fā)現(xiàn)，就是辛流形可以接受很多相容的復(fù)結(jié)構(gòu)，所以它們滿足復(fù)流形的所有假設(shè)，"除了"坐標(biāo)變換函數(shù)必須是全純的這一條。
以幾乎復(fù)結(jié)構(gòu)相容的映射到辛流形的黎曼曲面稱為偽全純曲線，米哈伊爾·格羅莫夫證明了該類曲線的緊致性定理；這個結(jié)構(gòu)導(dǎo)致了辛拓?fù)湟粋€很大的子學(xué)科的發(fā)展。從格羅莫夫的理論產(chǎn)生的結(jié)果包括關(guān)于球到柱的辛嵌入的格羅莫夫非壓縮定理，和關(guān)于哈密頓流的不動點的個數(shù)的阿爾諾德的一個猜想的證明。這是由從Andreas Floer開始的幾個研究者(逐步推廣到更一般的情形)所證明的，F(xiàn)loer用格羅莫夫的方法引入了稱為Floer同調(diào)的概念。
偽全純曲線也是辛不變量的一個來源，這種不變量稱為Gromov-Witten不變量，原則上可以用來區(qū)分兩個不同的辛流形。
定義
設(shè)M是一個2n維微分流形，稱一個二次微分形式ω叫做M上的一個辛結(jié)構(gòu)（symplectic structure）或辛形式，如果ω滿足
ω是一個閉形式，即。
ω是非退化的，即（ω的n次向量積）是一個處處非零的2n次微分形式。
我們稱（M，ω）為一個辛流形。簡單的說，辛幾何就是研究辛流形的性質(zhì)的一種幾何，一般認(rèn)為屬于微分幾何的范疇。
辛流形的例子
緊的微分流形存在辛結(jié)構(gòu)的一個阻礙是可定向和第二個上同調(diào)群的秩非零。
凱勒流形
一大類緊的辛流形來源于復(fù)代數(shù)幾何，譬如，n維復(fù)射影空間都存在一個標(biāo)準(zhǔn)的辛形式（稱為Fubini-Study形式）；Fubini-Study形式限制在任何光滑的復(fù)射影簇上都是一個辛形式。更一般的，任何Kaehler流形都是辛流形。
余切叢
參見：向量叢
任何微分流形的余切叢上都有一個典則的辛形式。這是一大類非緊的辛流形。事實上余切叢可以看作經(jīng)典力學(xué)的相空間，而一般的辛流形則是它的推廣。
定理
達(dá)布定理是辛幾何中第一個重要的定理。它斷言辛流形上任意一個點附近存在一個局部坐標(biāo)系，使得辛形式在這組坐標(biāo)系下是歐式空間的標(biāo)準(zhǔn)的辛形式。這樣的坐標(biāo)系被稱為達(dá)布坐標(biāo)系。這說明不同于黎曼幾何，辛幾何中并沒有曲率這樣的局部概念，而辛流形的所有性質(zhì)應(yīng)該都是整體的。
類比于達(dá)布定理，Alan Weinstein證明，任何嵌入的拉格朗日子流形L都有一個管狀鄰域，使得辛形式在這個鄰域的限制等價于L的余切叢上的典則的辛形式。這樣的鄰域被稱為Weinstein鄰域。
擬全純曲線
辛幾何發(fā)展的里程碑是在1985年，俄羅斯數(shù)學(xué)家米哈伊爾·格羅莫夫（M. Gromov）引入了擬全純曲線（Pseudo-holomorphic curve）的概念
，證明了譬如不可壓縮定理（Non squeezing theorem）等一些非常奇妙的定理。這套理論后來發(fā)展成為格羅莫夫-威騰不變量（Gromov-Witten invariant），弗洛爾同調(diào)（Floer homology）等在辛幾何中非常重要的理論。
阿諾德猜測
蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家阿諾德（V. I. Arnold）猜測緊致辛流形的辛自同構(gòu)至少要有一定數(shù)目的不動點，并將不動點的數(shù)目估計同拓?fù)鋵W(xué)中的莫爾斯不等式做類比。
這個猜測成為辛幾何在二十世紀(jì)最后20年的指導(dǎo)性綱領(lǐng)。德國數(shù)學(xué)家弗洛爾（Andreas Floer）為證明阿諾德猜測，引入了弗洛爾同調(diào)的概念，成為辛幾何領(lǐng)域的重要工具。
鏡像對稱
在弦理論中，物理學(xué)家發(fā)現(xiàn)卡拉比-丘流形（一類特別的辛流形）存在一種被稱為“鏡像對稱”的現(xiàn)象，即一個卡拉比-丘流形的復(fù)幾何性質(zhì)對應(yīng)著另一個卡拉比-丘流形（它的鏡像流形）的辛幾何性質(zhì)。這個觀點極大的影響了1990年代之后的辛幾何的研究。其中1998年菲爾茲獎得主孔采維奇（Maxim Kontsevich）提出的“同調(diào)鏡像對稱”猜想，日本幾何學(xué)家深谷賢治（Kenji Fukaya）提出的“深谷范疇”等在現(xiàn)代辛幾何的研究中都有非常重要的意義。
參考資料 >