定理緊致性定理是符號邏輯和模型論中的基本事實，它斷言一階句子的（可能無限的）集合是可滿足的（就是說有一個模型），當且僅當它的所有有限子集是可滿足的。命題演算的緊致性定理是吉洪諾夫定理（它聲稱緊致空間的積是緊致的）應用于緊致Stone空間的結果。
定義
1)在一階邏輯中，如果我們有一個公式集合（記作）并且 是一個不滿足式的公式集合，那么 至少有一個有限個數元素的子集（記作）并且也是不滿足要求的集合
2) 注意到，如果有一個公式集合（記作）并且是一個可滿足式的公式集合，那么對于所有 有限個數元素的子集（記作）也是可滿足式的集合
3)也就是，前提假設我們有一個子句（Clause）集合（記作）S，并且S中的所有子句是封閉的（Clause Fermee，也就是說子句中不含有變量），如果S是不可滿足式的子句集合，當且僅當S至少有一個子集合S'，S'是有限集合并且S'是不可滿足的集合
在3)中，我們把公式集合轉化成子句集合S，定理的可滿足性和轉化成的子句集合S的可滿足性是等價的。
證明
根據完備性定理我們可以知道子句集合S擁有一個駁斥，那么對應的集合也擁有駁斥，那么這兩個集合都是有限的，所以一個S的子集合S'在衍生駁斥中也是有限的，我們根據正確性定理可以知道，通過應用衍生規則,S'也是不可滿足的，那么很顯然存在對應于S'的公式集合來說，由于含有以子句形式的集合S',那么集合必定是不可滿足的。
應用
從這個定理可以得出，如果某個一階句子對于特征值為零的所有域都成立，則存在著一個常量p，使得這個句子對特征值大于p的所有域都成立。這可以被看作為如下：假定S是要考慮的句子。那么它的否定~S，和域公理與句子的無限序列1+1 ≠ 0, 1+1+1 ≠ 0, ...一起，不能被假定所滿足。所以這些句子的有限子集是不可滿足的，意味著S在有足夠大特值得的這些域中成立。
從這個定理還得出，有一個無限模型的任何理論都有任意大基數的模型。所以，有著帶有不可數多個自然數的皮亞諾算術有非標準模型。非標準分析是出現無限個自然數的另一個例子，是不能被任何公理化所排除的可能事物，也是緊致性定理的一個推論。
緊致性定理也可用于探討一些數學命題間的和諧性、獨立性問題，例如可以用它證明數論中一些待解問題相對于自然數一階理論的一些較弱子理論的和諧性或獨立性。
參考資料 >