復(fù)流形具有復(fù)結(jié)構(gòu)的微分流形，作為一維的復(fù)流形的伯恩哈德·黎曼面的研究有著悠久的歷史，而一般復(fù)流形的研究從20世紀(jì)40年代才開始，在埃爾米特流形中可引進(jìn)一個(gè)二次外微分形式ω,稱為凱勒形式，它在復(fù)坐標(biāo)下的局部表達(dá)式為。
正文
具有復(fù)結(jié)構(gòu)的微分流形。即它能被一族坐標(biāo)鄰域(見微分流形)所覆蓋，其中每個(gè)坐標(biāo)鄰域能與n維復(fù)空間中的一個(gè)開集同胚，從而使坐標(biāo)區(qū)域中的點(diǎn)具有復(fù)坐標(biāo)，而對(duì)兩個(gè)坐標(biāo)鄰域的重疊部分中的點(diǎn)，其對(duì)應(yīng)的兩套復(fù)坐標(biāo)之間的坐標(biāo)變換是復(fù)解析的。稱n 為此復(fù)流形的復(fù)維數(shù)。一個(gè)n 維復(fù)流形也是2n維的(實(shí))微分流形。
作為一維的復(fù)流形的伯恩哈德·黎曼面的研究有著悠久的歷史，而一般復(fù)流形的研究從20世紀(jì)40年代才開始。現(xiàn)在，它已成為近代數(shù)學(xué)中十分重要的概念和課題。
最簡(jiǎn)單的復(fù)流形是復(fù)數(shù)平面C及復(fù)歐氏空間。
考慮R3中的單位球面。它可以被球面分別去掉北極和南極洲所得到的兩個(gè)坐標(biāo)鄰域所覆蓋。用關(guān)于北極的球極投影得到一個(gè)坐標(biāo)映射，而關(guān)于南極的球極投影后再取共軛復(fù)數(shù)又得到另一個(gè)坐標(biāo)映射。這樣，單位球面也構(gòu)成一維復(fù)流形，稱為黎曼球面。
對(duì)復(fù)射影空間描述如下：設(shè)是復(fù)維的歐氏空間，是中非零點(diǎn)全體。對(duì)其中兩點(diǎn) 和,如存在使，則稱 等價(jià)，()稱為此等價(jià)類的齊次坐標(biāo),就是上述這種等價(jià)類的全體，它是n維復(fù)流形。事實(shí)上和黎曼球面是同構(gòu)的。
對(duì)中的任一點(diǎn)p,是它的齊次坐標(biāo)，那么 是中以原點(diǎn)為球心的單位球面中的一點(diǎn)。由p點(diǎn)所確定的上點(diǎn)的全體構(gòu)成中的大圓。因此中的點(diǎn)也可看成中的大圓的全體。
如在復(fù)流形M 上定義了一個(gè)下列復(fù)形式的伯恩哈德·黎曼度量，其中是埃爾米特陣，則稱此度量為埃爾米特度量，稱具有埃爾米特度量的復(fù)流形為埃爾米特流形。復(fù)流形上總存在埃爾米特度量。
在埃爾米特流形中可引進(jìn)一個(gè)二次外微分形式ω,稱為凱勒形式，它在復(fù)坐標(biāo)下的局部表達(dá)式為。
若，即ω 是閉形式，稱埃爾米特流形為凱勒流形。
復(fù)歐氏空間關(guān)于通常度量是凱勒流形。在復(fù)射影空間中有著名的富比尼-施圖迪度量，描述如下：設(shè)P是中任一點(diǎn)，它確定了中的大圓。在P點(diǎn)的任一切向量X可對(duì)應(yīng)于球面中與上述大圓正交的切向量，把塣 的長(zhǎng)度定義為X的長(zhǎng)度。就給出了中的富比尼-施圖迪度量;關(guān)于這個(gè)度量構(gòu)成凱勒流形。任何伯恩哈德·黎曼面關(guān)于其上任何與復(fù)結(jié)構(gòu)相容的黎曼度量也是凱勒流形。
如果在復(fù)流形M 上有一個(gè)黎曼度量，那么由這個(gè)度量，對(duì)M 上任一點(diǎn)的每個(gè)二維平面可定義截面曲率(見黎曼幾何學(xué))。如特取某點(diǎn)P處的二維切平面σ為全純截面，即n維復(fù)切空間TpM的一維復(fù)子空間，則相應(yīng)于σ的截面曲率，稱為全純截面曲率。前面例子中，復(fù)歐氏空間關(guān)于通常度量的全純截面曲率為零，復(fù)射影空間關(guān)于富比尼-施圖迪度量的全純截面曲率為正常數(shù)。
參考書目
S.Kobayashi and K.Nomizu,Foundations of differentia Geometry，Vol.2, John Wiley & Sons, New York,1969.
參考資料 >