數(shù)學(xué)上，黎曼曲面是一種將復(fù)數(shù)平面加上一個(gè)無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的擴(kuò)張，使得下面這類公式至少在某種意義下有意義
正文
數(shù)學(xué)上，黎曼曲面是一種將復(fù)數(shù)平面加上一個(gè)無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的擴(kuò)張，使得下面這類公式至少在某種意義下有意義
它由19世紀(jì)數(shù)學(xué)家伯恩哈德·黎曼而得名。也稱為
復(fù)射影直線，記為，和 擴(kuò)充復(fù)平面，記為 或者. 從純代數(shù)的角度，復(fù)數(shù)加上一個(gè)無窮遠(yuǎn)點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)數(shù)系稱為擴(kuò)充復(fù)數(shù)。無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的算數(shù)有時(shí)和一般的代數(shù)規(guī)則不符，因此擴(kuò)充復(fù)數(shù)不構(gòu)成一個(gè)代數(shù)域。但是，黎曼球面在幾何和解析角度都行為良好，甚至在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)也不例外；它是一個(gè)一維復(fù)流形，也稱黎曼曲面。
復(fù)分析中，黎曼球面對(duì)于亞純函數(shù)這個(gè)優(yōu)雅的理論很有幫助。黎曼球面在射影幾何和代數(shù)幾何中作為復(fù)流形、射影空間和代數(shù)簇的基本例子到處出現(xiàn)。它在涉及分析和幾何的其他學(xué)科也很有用，譬如量子力學(xué)和物理學(xué)其他分支。
作為復(fù)流形
作為一維復(fù)流形，黎曼曲面可以由兩個(gè)圖卡描述，每個(gè)的定義域都是復(fù)數(shù)平面。令ζ和ξ為上的復(fù)坐標(biāo)。將非零復(fù)數(shù)ζ和非零復(fù)數(shù)ξ用如下轉(zhuǎn)移映射等同起來：
因?yàn)檫@些變換映射為全純函數(shù)，他們定義了一個(gè)復(fù)流形，稱為黎曼球面。
直觀地來看，這些變換映射表示了如何將兩個(gè)平面粘合成一個(gè)黎曼球面。兩個(gè)面用一種"從里翻出來"的方式粘合，所以他們幾乎處處重合，每個(gè)平面（用自己的原點(diǎn)）貢獻(xiàn)對(duì)方平面上缺少的一點(diǎn)。換言之，（幾乎）所有黎曼球面上的點(diǎn)既有ζ值也有ξ值，而兩個(gè)值由關(guān)聯(lián)。ξ = 0處的點(diǎn)應(yīng)該具有；從這個(gè)意義上講，ξ-圖的原點(diǎn)是ζ-圖上的""。對(duì)稱地，ζ-圖的原點(diǎn)對(duì)應(yīng)于ξ-圖上的.
拓?fù)渖希詈蟮慕Y(jié)果是從平面到球面的單點(diǎn)緊致化。但是，黎曼球面不單單是一個(gè)拓?fù)淝蛎妗Ｋ蔷哂袕?fù)結(jié)構(gòu)的拓?fù)淝蛎妫郧蛎嫔系拿總€(gè)點(diǎn)都有一個(gè)領(lǐng)域可以通過雙全純函數(shù)和同胚。
另一方面，黎曼曲面分類的的中心結(jié)果單值化定理，斷言唯一的單連通一維復(fù)流形為復(fù)平面、雙曲平面、和黎曼球面。在這三者中，黎曼球面是唯一的閉曲面（無邊界的緊致曲面）。因此二維球面只有唯一的復(fù)結(jié)構(gòu)將它變?yōu)橐痪S復(fù)流形。
作為復(fù)射影線
黎曼球面也可以定義為復(fù)射影線。這也就是的子集，由所有非零復(fù)數(shù)對(duì)()構(gòu)成，模如下等價(jià)關(guān)系:
對(duì)于所有非零復(fù)數(shù)λ成立。復(fù)平面用坐標(biāo)ζ，可以映射到復(fù)射影線：
. 另一個(gè)用坐標(biāo)ξ也映射到復(fù)射影線
. 這兩個(gè)復(fù)圖覆蓋整個(gè)射影線。對(duì)于非零ξ，等同關(guān)系：
給出了變換映射和，同上文一致。
這個(gè)黎曼球面的定義和射影幾何直接相關(guān)。例如任何復(fù)射影平面上的直線(或者光滑圓錐曲線)雙全純等價(jià)于復(fù)射影線。這個(gè)表達(dá)對(duì)于研究下文所述的球面的自同構(gòu)也很方便。
作為球面
從復(fù)數(shù)A到黎曼球面上的一點(diǎn)α的球極投影。
黎曼球面可以顯示為三維實(shí)空間中的單位球面.為此，考慮從單位球減去一點(diǎn)()到（赤道）平面的球極投影，可以將該平面等同于復(fù)平面.在笛卡爾坐標(biāo)系()和球面坐標(biāo)系中（其中φ為天頂角而θ為方位角)，該投影為
類似的，從()到平面的球極投影將另一份復(fù)平面等同于赤道平面，記為
(兩份復(fù)平面和平面的對(duì)應(yīng)方式不同。必須使用定向翻轉(zhuǎn)來保證球面上定向的一致性，實(shí)際上復(fù)共軛使得變換映射成為全純函數(shù)。）ζ-坐標(biāo)和ξ-坐標(biāo)之間的變換函數(shù)可以通過將其中一個(gè)映射和另一個(gè)的逆的復(fù)合得到。它們就是如上所述的和。因此單位球面和黎曼球面微分同胚。
在這個(gè)微分同胚下，ζ-圖中的單位圓，ξ-圖中的單位圓，以及單位球面的赤道可以等同起來。單位圓盤 和南半球面，單位圓盤 和北半球面分別等同。
度量
伯恩哈德·黎曼曲面沒有特定的黎曼度量。但是，黎曼曲面的復(fù)結(jié)構(gòu)的確在共形等價(jià)下確定了唯一的度量。（兩個(gè)度量稱為共形等價(jià)，如果他們的區(qū)別只是一個(gè)正光滑函數(shù)的因子。）反過來，可定向曲面上的任意度量唯一的決定一個(gè)復(fù)結(jié)構(gòu)，該結(jié)構(gòu)在共形等價(jià)下依賴于該度量。因此可定向曲面的復(fù)結(jié)構(gòu)和該曲面上的度量的共形類有一一對(duì)應(yīng)。
給定共形類，可以用共形對(duì)稱性找到一個(gè)有合適屬性的代表度量。精確地講，每個(gè)共形類總是有一個(gè)常曲率完備度量。
在黎曼球面的情況，高斯-博內(nèi)定理表明常曲率度量必須有正的曲率K。因而該度量必須通過球極投影等度于中半徑為的球面。對(duì)于黎曼球面上的ζ-圖，度量可以給出如下：
在實(shí)坐標(biāo)中，該公式為：
除了一個(gè)常數(shù)因子，該度量和復(fù)射影空間（黎曼球面就是一個(gè)特例）中的富比尼-施圖迪度量一樣。
反過來，令S代表（作為微分流形或者拓?fù)淞餍蔚模┣蛎妗０凑?a href="/hebeideji/6143767232043921127.html">單值化定理，存在唯一的S上的復(fù)結(jié)構(gòu)。由此可見，S上的度量和球面度量共形等價(jià)。所有這樣的度量構(gòu)成一個(gè)共形類。因此"圓球"度量不是黎曼球面的內(nèi)在度量，因?yàn)?圓形"并不是共形幾何的不變量。黎曼球面只是一個(gè)共形流形而非黎曼流形。但是，如果需要用到伯恩哈德·黎曼球面上的黎曼度量，圓形度量是一個(gè)很自然的選擇。
自同構(gòu)
作用于球面上以及作用于球極投影的平面上的莫比烏斯變換。
主條目：莫比烏斯變換
理解數(shù)學(xué)對(duì)象的自同構(gòu)群有助于對(duì)該對(duì)象的研究，自同構(gòu)也就是對(duì)象到自身保持其基本結(jié)構(gòu)不變的映射。對(duì)于黎曼球面，自同構(gòu)就是黎曼球面到自身的可逆雙全純映射。唯一可能的這樣的映射只有莫比烏斯變換。這些變換有如下形式：
其中a、b、c、和d為復(fù)數(shù)，滿足。莫比烏斯變換的例子包括膨脹，旋轉(zhuǎn)，平移，和復(fù)倒數(shù)。事實(shí)上，所有莫比烏斯變換可以有這些特例的復(fù)合得到。
將莫比烏斯變換視作復(fù)射影線上的變換很有益。在射影坐標(biāo)下，變換f可以寫作
這樣，莫比烏斯變換可以表述為行列式非零的復(fù)矩陣；兩個(gè)矩陣產(chǎn)生同樣的莫比烏斯變換當(dāng)且僅當(dāng)他們只差一個(gè)非零常數(shù)。這樣莫比烏斯邊喊恰好對(duì)應(yīng)于射影線性變換.
如果賦予黎曼球面富比尼-施圖迪度量，則不是所有的莫比烏斯變換是等度的；例如膨脹和平移就不是。等度變換構(gòu)成的一個(gè)子群，也即PSU2.該子群同構(gòu)于旋轉(zhuǎn)群SO(3)，它是單位球在中的等度群。
應(yīng)用
復(fù)分析中，復(fù)平面（或者任何黎曼曲面）上的的亞純函數(shù)是兩個(gè)全純函數(shù)f和g的比值.作為到復(fù)數(shù)的映射，任何g為零的地方，它就沒有定義。但是，它引出了一個(gè)全純映射到復(fù)射影線，甚至在處也有定義。這個(gè)構(gòu)造對(duì)于研究全純和亞純函數(shù)很有用。例如，緊致黎曼曲面上不存在存在非常數(shù)復(fù)值全純映射，但是有很多到復(fù)射影線上的全純映射。
黎曼球面有很多物理中的應(yīng)用。量子力學(xué)中，復(fù)射影線上的點(diǎn)是光子極化態(tài)，自旋為1/2的重亞原子粒子和一般二態(tài)粒子的的自旋態(tài)的自然取值。黎曼球面被推薦為天體球面的廣義相對(duì)論模型。弦論中，弦的世界面是黎曼曲面，而黎曼球面作為最簡(jiǎn)單的黎曼曲面有重要的作用。它在扭子理論中也很重要。
參考資料 >