圓錐曲線是指由圓錐與平面相交所產生的曲線，包括橢圓、雙曲線和拋物線。
圓錐曲線經歷了論證幾何、解析幾何、射影理論、線代理論等多方面的研究，形成了多種定義。目前使用的主要是第一定義和第二定義（統一定義）。
圓錐曲線的統一定義指的是到定點F的距離與到定直線l的距離（F不在l上）的比e是常數的點的軌跡叫作圓錐曲線，其中e（e=c/a）是圓錐曲線的離心率，定點F是圓錐曲線的焦點，定直線l是圓錐曲線的準線。當0＜e＜1時為橢圓，其標準方程為x2/a2+y2/b2=1（a＞b＞0），準線方程為x=±a2/c（a2=b2+c2）；當e=1時為拋物線，標準方程包括y2=2px等類型；當e＞1時為雙曲線，標準方程為x2/a2-y2/b2=1。
圓錐曲線應用廣泛。宇宙中天體的運動軌跡是圓錐曲線，根據圓錐曲線性質可推算天體運動。每種圓錐曲線擁有獨特的光學性質，應用于探照燈、手電筒等器件的設計中。圓錐曲線還可用于機械零件設計和位置定位等。
歷史沿革
古代起源
圓錐曲線的發現和研究可能源于制作日晷的工作過程。在機械鐘表發明之前, 人們通過測量同一物體在陽光下影子的變化來確定太陽的運行情況, 從而得到精確的時間，并根據這一原理制作出日。圓錐曲線起源的另一說法是在解著名的三大尺規作圖問題 (化圓為方、倍立方和三等分角) 時發現的。
公元前四世紀，古希臘幾何學家梅內克繆斯（Menaechmus）最早給圓錐曲線命名，并利用拋物線解決了“立方倍積問題”。令一個平面垂直于頂角分別是銳角、直角和鈍角的圓錐的母線，截得的邊線即是圓錐曲線。
阿波羅尼斯（Apollonius）第一個依據同一個圓錐的截面來研究圓錐曲線理論，也是首先發現雙曲線有兩支的人。其著作《圓錐曲線論》較系統地研究了圓錐曲線的性質。阿波羅尼斯從幾何直觀上給出了圓錐曲線靜態的原始定義：用一個平面去截一個圓錐面，得到的交線就稱為圓錐曲線。在《圓錐曲線論》中圓錐曲線也稱為“圓錐截線”。嚴格來講，得到的交線除了圓、橢圓、雙曲線和拋物線外，還包括三種退化情形（一條直線、一個點和兩條相交直線）。
近代發現
直到16世紀，人們發現圓錐曲線不僅是依附在圓錐面上的靜態曲線，也是自然界物體運動的普遍形式。17世紀初，約翰尼斯·開普勒（Galilei Kepler）發現行星繞太陽運動軌跡是橢圓，伽利略·伽利萊（Galileo Galilei）確定拋物線軌道是拋物線等。
解析幾何
解析幾何以論證幾何為基礎，利用坐標系通過“幾何問題→代數問題→求解→反演”的方式將幾何代數化，還可由已知的代數結果發現新的幾何性質。解析幾何的創始人勒內·笛卡爾和皮耶·德·費瑪重現了圓錐曲線的理論，此后論證幾何的研究方法被逐漸棄。
約翰·沃利斯（John Wallis）在《論圓錐曲線》中，第一次用方程分別定義了橢圓、拋物線和雙曲線。
牛頓 （艾薩克·牛頓） 在他所著的《光學》 (1704) 中推證了圓錐曲線的切線和曲率問題及其在光學中的應用。
洛必達在他的《圓錐曲線解析論》（1720） 中采用第一定義推導出橢圓的標準方程，同時也給出了焦點-準線定義及其統一方程。
1745年萊昂哈德·歐拉發表《分析引論》，給出了現代形式下圓錐曲線的系統闡述：在勒內·笛卡爾平面上，二元二次方程的圖象是圓錐曲線，這個二次方程包含了圓、橢圓、雙曲線、拋物線以及各種退化情形。歐拉還建立極坐標系等坐標系，并研究圓錐曲線在各坐標系間的轉換，引進了曲線的參數方程。
射影幾何
射影幾何與解析幾何幾乎同一時期產生，射影幾何研究幾何圖形在投影變換下保持不變的性質。
創立者德薩格（Desargues）首先將射影幾何思想用于研究圓錐曲線，考察它的射影性質，使圓錐曲線理論獲得了新發展。他在其著作《試論錐面截一平面所得結果的初稿》中將圓錐曲線直觀定義為圓在平面上的投影，由此將圓的性質推到任一類圓錐曲線上。德薩格通過投影和截景提供了統一處理圓錐曲線的簡便方法。
早期的射影幾何學家追求純粹的綜合法處理問題，解析幾何的發展促使后來的數學家用代數的方法研究這一學科，獲得了許多新的圓錐曲線射影性質。沿著這一方向人們開始尋求幾何圖形在不同坐標系下保持不變的那些性質并促成了對代數不變量的研究，這屬于代數幾何的范疇。
線性代數
線性代數產生于17、18世紀，在19世紀獲得輝煌成就。它通過向量、矩陣和行列式大大簡化了幾何的證明和計算，使得許多幾何內容被包含在其中。簡言之，幾何所研究的只是在線性變換下仍保持不變的坐標之間的關系, 即線性變換的不變量理論。線性代數中的重要內容——二次型理論就是研究向量空間中的幾何圖形在不同坐標基下的矩陣表示。
1826年奧古斯丁-路易·柯西在其著作中給出結論：當方程是標準型（只含平方項）時，二次曲線（面）用二次項的符號來進行分類。西爾維斯特在1852年給出了n個變量的二次型的慣性定律。該定律說明方程通過不同變換化簡成標準型時總是得到同樣數目的正項和負項，即保持慣性指數不變。
定義
一個平面與圓錐面相交，也可以說是“用一個平面去截圓錐面”，這個平面就稱為截平面，它們的交線又稱為截線。用一個平面去截一個圓錐面，所得截線的形態與截平面的位置有關。
從歐氏幾何到解析幾何，再到射影幾何和線性代數中的二次型理論，圓錐曲線的定義經歷了原始定義、平面上動點的軌跡定義、射影定義、標準方程定義、焦點-準線定義、代數方程的統一定義以及通過二次型的慣性指數進行分類研究的變化過程。
圓錐曲線的表述方式也經歷了由幾何靜態的直觀描述→幾何動態的度量性質描述→射影性質的描述→代數方程的形式描述的變化過程。而研究方法從歐氏幾何的純幾何綜合法→射影幾何的方法→以坐標為媒介的解析法→線性代數二次型的正交變換法，經歷了由繁到簡，定性研究到定量研究，再到形式研究的變化。
目前主要的有第一定義（橢圓和雙曲線擁有）和第二定義。
第一定義
第一定義分別對不同的圓錐曲線進行了描述。
圓錐曲線的第二定義也稱為統一定義。
給定一點O，一直線l以及一非負實常數，則到O的距離與l距離之比為e的動點P的軌跡是圓錐曲線。稱為離心率，顯然，而圓錐曲線的軌跡與性質隨的變化而變化：
統一方程
以焦點O為原點，過O與相應準線l垂直的直線為x軸，建立直角坐標系（如右圖）。設圓錐曲線離心率為，O到準線l的距離為，則準線方程為。由圓錐曲線統一定義得曲線方程：
在直角坐標系中，四種曲線都是一元二次方程，所以又稱二次曲線。其一般二次曲線方程為：
下面討論曲線方程的分類。設：
其中，當時，曲線為橢圓形；當時，曲線為雙曲線形；當時，曲線為拋物線形。根據判別式的不同，還包含了橢圓、雙曲線、拋物線以及各種退化情形。詳見下表：
圓錐曲線在極坐標系等其他坐標系下也存在統一方程，可以通過其他坐標系與直角坐標系間的坐標轉換推得。
性質
射影幾何的觀點認為橢圓、拋物線和雙曲線與無窮遠直線分別有零個交點、一個交點和兩個交點”及“雙曲線、橢圓各有唯一中心且為有窮遠點，而拋物線的中心為無窮遠點，由此得到三種曲線的互變規律。因此，如果在一種曲線上存在某一性質，那么根據演變規律，能夠找到它們在另外兩種曲線上的相關性質。以下討論圓錐曲線的共同性質與不同性質。
共同性質
（1）焦點弦中點到焦點相應準線的距離性質：
設AB是離心率為的圓錐曲線的焦點弦，若弦長，則AB中點M到焦點相應準線的距離。
（2）線段關系式取最小值性質：
設圓錐曲線C的離心率為，焦點F對應的準線為l，A為C內一定點，P為C上一動點，點A到準線l的距離為，則的最小值為。
（3）焦點弦被焦點所分兩段長的倒數和性質：
設AB為過圓錐曲線的一個焦點F的一條弦，為F到其相應準線的距離，為圓錐曲線的離心率，則。
（4）焦點弦及其中垂線性質：
圓錐曲線C的離心率為，AB為過焦點F而不垂直于曲線C的對稱軸的弦，且線段AB的中垂線交曲線C過焦點的對稱軸于R，則。
（5）四點共圓性質：
AB為過圓錐曲線C的焦點F的弦，AB的中垂線交曲線C過焦點的對稱軸于R，直線RF交曲線C的焦點F相應的準線于點K，則A、K、B、R四點共圓。
橢圓
平面內到兩個定點F1、F2距離之和等于常數2a（2a＞｜F1F2｜）的動點P的軌跡叫做橢圓，即｜PF1｜+｜PF2｜=2a。橢圓有以下性質：
雙曲線
平面上到兩個不重合定點F1、F2的距離之差的絕對值等于常數2a的動點P的軌跡叫做雙曲線。雙曲線有以下性質：
拋物線
平面上到一個定點F與到一條定直線l（定點不在定直線上）距離相等的點的軌跡叫做拋物線。定點F叫做拋物線的焦點，定直線l叫做拋物線的準線。拋物線有以下性質：
相關概念
坐標變換
在不同的坐標系下，曲線的方程具有不同的形式。坐標變換的中心問題就是探討當坐標系變化時，曲線方程的變化規律。坐標變換中出現不變量，反映了曲線固有的（與坐標系的選擇無關的）性質。因此，坐標變換的目的，一是簡化曲線方程從而研究曲線性質，二是把特定坐標系中曲線方程的研究成果向一般的坐標系推廣。
坐標變換分兩種情況：軸的平移（只改變原點位置而不改變軸的方向）和軸的旋轉（只改變軸的方向而不改變原點位置）。
掌握坐標變換要注意以下幾點：
（1）熟練掌握移軸化簡二次方程的方法：待定系數法和配方法。
待定系數法是將平移公式代入須化簡的二次方程，消去一次項，確定、的值，之后化簡二次方程，研究曲線性質。
配方法是將二次方程配方，確定平移公式，之后化簡方程，研究曲線性質。配方法較簡便，但是需要不斷思考。
（2）會用坐標平移求非標準位置的二次曲線方程，可結合待定系數法使用。
（3）掌握對稱軸平行于坐標軸的圓錐曲線的方程與性質。對稱軸平行于坐標軸，中心（拋物線為頂點）在的圓錐曲線一般形式為：
圓：
橢圓：
雙曲線：
拋物線：
其中，，，。從變量代換角度看，將、看成標準方程中的、，結合原有標準方程的結論，可推導出坐標變換后曲線方程的性質。如中心在處橢圓焦點為F1、F2，準線為。
（4）二元二次方程參數變化時能夠進行分類討論。
軌跡問題
一個二元方程叫做曲線C的方程，必須具備兩個條件：
（1）曲線C上任意一點的坐標都是方程的解。
（2）以方程的任意一組解為坐標的點都在曲線C上。
由以上條件可知，圓錐曲線及其他曲線軌跡應具有完備性和純粹性。完備性指求出的軌跡方程必須包含所有符合條件的點。純粹性指軌跡方程不能包含不符合條件的點，防止擴大軌跡方程中變量的取值范圍。求軌跡方程的常用方法包括：直接法、定義法、代入法（相關點法）、參數法、交軌法、代換法和極坐標法等。
與直線位置關系
直線與圓錐曲線的位置關系即為直線與圓錐曲線的公共點個數問題，實際也是直線與圓錐曲線組成的方程組是否有實數解和實數解個數的問題。直線與圓錐曲線位置關系分為相離、相切和相交。推導如下：
設直線l：，圓錐曲線C：。聯立并消去得方程，令，則
（1）等價于l與C無公共點（相離）。
（2）等價于l與C有一個公共點（相切）。
（3）等價于l與C有兩個公共點（相交）。
特別地，時切點為；時，設直線l與圓錐曲線C相交于P、Q兩點，此時弦長，PQ中點坐標為。
二次曲面
二次曲面是三維歐幾里得空間里坐標、、之間的二次方程（系數a、b、c等為實數，且二次項系數不全為零）表示的曲線。
阿基米德、阿波羅尼斯、海倫等人研究過拋物鏡面的反射問題，這是早期對一些特殊二次曲面的研究。部分特殊的二次曲面由圓錐曲線繞軸旋轉而產生。
1731年法國數學家克萊羅給出某些二次曲面的求積公式，并指出、、的齊次方程表示頂點在原點上的一個錐面。
1748年歐拉在他的《無窮分析引論》中研究了三個變量的一般二次方程，得到六種二次曲面：錐面、柱面、橢球面、單葉和雙葉雙曲面、雙曲拋物面以及拋物柱面。他主張按方程的次數將二次曲面分類，認為次數是線性變換下的不變量。
1842年瑞士數學家施泰納用射影幾何構造了直紋二次曲面理論。時至今日，二次曲面理論成為解析幾何學的重要組成部分。
圓錐曲線繞軸旋轉所得部分曲面如下表：
相關文化
蝴蝶問題
蝴蝶定理（Butterfly Theorem）是古典歐氏平面幾何的最精彩的結論之一。這個命題最早出現在1815年，而“蝴蝶定理”這個名稱最早出現在《美國數學月刊》1944年2月號，題目的圖形像一只蝴蝶。2001、2003、2010年高考曾多次以蝴蝶問題為背景命題。
現實應用
天文物體運動
宇宙中天體的運動軌跡是圓錐曲線。行星繞太陽運動軌道是橢圓，彗星運動軌道分為橢圓、雙曲線和拋物線三種。
對于宇宙飛船，其飛行速度等于第一宇宙速度時軌道是一個圓，介于第一宇宙速度和第二宇宙速度之間時軌道是橢圓。等于第二宇宙速度時是拋物線，大于第二宇宙速度時是雙曲線的一支。根據圓錐曲線性質即可推算天體或飛船的運動軌跡。
光學性質應用
在光學上，如果把光源放在拋物鏡的焦點F處，那么射出的光線經拋物鏡反射即可變成平行的光線。汽車前照燈、探照燈、手電筒就是根據這一原理設計。根據光路可逆性，平行光經拋物線反射后集中于焦點，太陽灶由此設計而來。
從橢圓的一個焦點發出的光線經橢圓反射后會交于另一個焦點上。電影放映機聚光燈泡反射鏡面的部分曲面由橢圓繞長軸旋轉而成，可以使片門處獲得最強光線。
從雙曲線的一個焦點發出的光線經雙曲線反射后，反射光線反向延長將匯聚到另一焦點上。雙曲線的應用包含雙曲線型反射鏡面燈泡等。
生產生活應用
許多機械零件和建筑物組成部分的輪廓線采用橢圓、雙曲線或拋物線的一部分。
利用圓錐曲線方程進行定位，在軍事與科學技術上應用也非常廣泛。
參考資料 >
圓錐曲線.術語在線.2023-07-28