鳳蝶總科定理（英文：Butterfly Theorem），是一道著名的平面幾何題目，因?yàn)槎ɡ淼膸缀螆D形形狀像蝴蝶，所以用蝴蝶來(lái)命名。蝴蝶定理的幾何表述為：設(shè)是過(guò)圓的任意一條弦的中點(diǎn)，是過(guò)點(diǎn)的兩條弦，連接分別交于兩點(diǎn)，那么有
蝴蝶定理的歷史由來(lái)已久，早在公元約1247年，中國(guó)數(shù)學(xué)家秦九韶（1202-1261）所完成的《數(shù)書(shū)九章》中，就已經(jīng)對(duì)蝴蝶定理命題的證明方法有所陳述。蝴蝶定理作為一個(gè)征求初等幾何學(xué)證明的問(wèn)題，最早是刊登于1815年英國(guó)倫敦出版的數(shù)學(xué)科普刊物《先生日記》上，同時(shí)刊登了蝴蝶定理的兩個(gè)證明，第一個(gè)是英國(guó)著名的數(shù)學(xué)家W.G.霍納（英文：W.G. Horer 1786-1837）的解法，另一個(gè)解法由英國(guó)數(shù)學(xué)家愛(ài)德華·伯內(nèi)特·泰勒（英文：Richard Taylor）給出。后來(lái)，蝴蝶定理出現(xiàn)了許多的證明方法，如梅涅勞斯證法、斯特溫面積證法、射影幾何證法和解析幾何證法等。
蝴蝶定理在圓外、直線(xiàn)對(duì)上、四邊形和圓錐曲線(xiàn)中也同樣成立，此外，將它推廣到維歐式空間，對(duì)于二次曲面，結(jié)論依然有效。它還可以使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，應(yīng)用于平面幾何和解析幾何等各種問(wèn)題的求解中。
定義
定義：如圖1，是過(guò)圓的任意一條弦的中點(diǎn)，和是過(guò)點(diǎn)的兩條弦，連接分別交于兩點(diǎn)，則
簡(jiǎn)史
蝴蝶定理的歷史由來(lái)已久，是幾何學(xué)史中一個(gè)有名的定理。早在公元約1247年，中國(guó)數(shù)學(xué)家秦九韶所完成的《數(shù)書(shū)九章》中，就已經(jīng)有敘述蝴蝶定理命題的證明方法。蝴蝶定理作為一個(gè)征求初等幾何學(xué)證明的問(wèn)題，最早是刊登于1815年英國(guó)倫敦出版的數(shù)學(xué)科普刊物《先生日記》上，同時(shí)刊登了蝴蝶定理的兩個(gè)證明，第一個(gè)是英國(guó)數(shù)學(xué)家霍納的解法，另一個(gè)解法由英國(guó)數(shù)學(xué)家愛(ài)德華·伯內(nèi)特·泰勒給出。而蝴蝶定理這一名稱(chēng)首次是出現(xiàn)在《美國(guó)數(shù)學(xué)月刊》1944 年2月發(fā)表的問(wèn)題解答中，因?yàn)閱?wèn)題的圖示形狀與蝴蝶的翅膀相似，所以命名為蝴蝶定理，隨后這個(gè)名稱(chēng)被一直保持下來(lái)。
證明
平面幾何
霍納證法
如圖，作于于。連接，則分別為弦的中點(diǎn)。
易知為這兩個(gè)相似三角形對(duì)應(yīng)邊上的中線(xiàn)，所以，則
又四點(diǎn)共圓，四點(diǎn)共圓，有
由此得，所以
泰勒證法
如圖，過(guò)作圓與原圓交于點(diǎn)。連接交大圓于。因?yàn)椋?/p>
因?yàn)椋虼说扔?/p>
于是，所以
由于在的垂直平分線(xiàn)上，得
連接，由
可知，則
所以，由，得證
梅涅勞斯定理證法
如圖，考慮被直線(xiàn)所截，有
考慮被直線(xiàn)所截，有
相乘可得
由梅涅勞斯定理，有，所以
即
于是
則
所以，因此有
斯特溫面積證法
設(shè)，又設(shè)的面積為
，而，則有
即
可得
所以有
即，因?yàn)槎紴檎裕?/p>
射影幾何證法
線(xiàn)束的交比：設(shè)是圓周上四個(gè)定點(diǎn)，為圓周上任意一點(diǎn)，則是常數(shù)，即為直線(xiàn)
的交比。
如圖，
由得，
解析幾何
證明：如圖，取為原點(diǎn)，弦為軸，視圓為單位圓，建立直角坐標(biāo)系，各有關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)記為各自斜率為，則圓方程為，直線(xiàn)的方程為，直線(xiàn)的方程為
將兩直線(xiàn)方程分別代入圓方程可得
設(shè)與圓交點(diǎn)坐標(biāo)為，同理設(shè)與圓交點(diǎn)坐標(biāo)為，其橫坐標(biāo)各應(yīng)滿(mǎn)足與
從及韋達(dá)定理有
，可得
由于共線(xiàn)，得
由共線(xiàn)，同樣可得
由式變形得
比較式可得，即
相關(guān)定理
坎迪定理
過(guò)圓弦上任意一點(diǎn)，作兩條弦。連接如果它們與分別交于，且，則
該定理的證明方法與蝴蝶定理的斯特溫證法類(lèi)似，運(yùn)用了三角形的面積公式和相交弦定理的方法，并可得出蝴蝶定理是坎迪定理的一種特殊情況，即將定理?xiàng)l件改為，可得出
梅涅勞斯定理
梅涅勞斯定理：設(shè)分別是的三邊或其延長(zhǎng)線(xiàn)上的點(diǎn)，若三點(diǎn)共線(xiàn)，則
梅涅勞斯定理在內(nèi)容和證明方法上有著對(duì)稱(chēng)性，統(tǒng)一性的數(shù)學(xué)美，定理的結(jié)論是三個(gè)有向線(xiàn)段分比的連乘積。通過(guò)梅涅勞斯定理可以證明蝴蝶定理。
牛頓定理
圓的外切四邊形的對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)和以切點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)重合。
在射影平面上，牛頓定理與蝴蝶定理的一個(gè)射影變形是等價(jià)的。
相關(guān)推論
平面幾何
圓外蝴蝶定理
如圖，是圓外一直線(xiàn)，且，是垂足，直線(xiàn)上有，過(guò)分別向圓作割線(xiàn)，聯(lián)結(jié)并延長(zhǎng)分別交于，則
直線(xiàn)對(duì)上的蝴蝶定理
如圖，若過(guò)兩直線(xiàn)間的線(xiàn)段的中點(diǎn)，任引兩直線(xiàn)間的兩條線(xiàn)段和，點(diǎn)在同一直線(xiàn)上。
連接分別交于，則
四邊形蝴蝶定理
已知四邊形的對(duì)角線(xiàn)經(jīng)過(guò)另一對(duì)角線(xiàn)的中點(diǎn)。過(guò)作兩直線(xiàn)分別與交于
，與交于。連接分別與交于，那么有
解析幾何
圓錐曲線(xiàn)的蝴蝶定理
如果將圓經(jīng)過(guò)壓縮變換變?yōu)闄E圓，圓中的蝴蝶定理在橢圓中仍然成立。
如下圖3，由蝴蝶定理可知
如下圖4，假設(shè)過(guò)四點(diǎn)的任一條非退化的二次曲線(xiàn)（例如：橢圓、拋物線(xiàn)和雙曲線(xiàn)）與直線(xiàn)分別交于，由蝴蝶定理可知
如果不是圓錐曲線(xiàn)中的橢圓，應(yīng)用仿射變換同樣可以證明橢圓中的蝴蝶定理成立。
如圖5，任一條非退化的二次曲線(xiàn)的弦的中點(diǎn)為，過(guò)任作兩條直線(xiàn)與二次曲線(xiàn)交于 四點(diǎn)。過(guò)四點(diǎn)的任一條二次曲線(xiàn)與直線(xiàn)分別相交于
則有
橢圓中的蝴蝶定理可以推廣至任意圓錐曲線(xiàn)：設(shè)為圓錐曲線(xiàn)的弦的中點(diǎn)，過(guò)任作兩弦，過(guò)的任一圓錐曲線(xiàn)與交于，則
相關(guān)推廣
蝴蝶定理的新的推廣形式與新的證明方法，一直倍受關(guān)注，利用距離幾何方法將蝴蝶定理推廣到維空間，對(duì)于一般二次超曲面，定理仍然成立。
在實(shí)維歐氏空間，設(shè)為任一點(diǎn)的坐標(biāo)向量，其中表轉(zhuǎn)置。
為階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，為常向量，為實(shí)數(shù)。則一般二次超曲面可記為
，其中
且階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的秩大于
又設(shè)為中過(guò)點(diǎn)的超弦。若超直線(xiàn)分別交（或其延長(zhǎng)線(xiàn)）于點(diǎn)與，則稱(chēng)為內(nèi)接于的過(guò)點(diǎn)的蝶片。
再設(shè)為中的個(gè)點(diǎn)，坐標(biāo)向量分別為且仿射無(wú)關(guān)，即線(xiàn)性無(wú)關(guān)，則閉凸包稱(chēng)為中維單形，
稱(chēng)為單形的頂點(diǎn)集；
類(lèi)似地，稱(chēng)為的維子單形。
高維蝴蝶定理：
設(shè)是維歐氏空間中的二次超曲面，為內(nèi)接于的過(guò)點(diǎn)的蝶片且時(shí)，。若，則，且當(dāng)諸蝶片不共維超平面時(shí)，有維子單形與的體積相等。
推論
設(shè)維超平面截二次超曲面所得的超曲面具有對(duì)稱(chēng)中心，是中過(guò)的弦律，且設(shè)與的交點(diǎn)為，
則
相關(guān)應(yīng)用
平面幾何
四邊形蝴蝶定理的應(yīng)用
如圖7，三點(diǎn)在同一條直線(xiàn)上，線(xiàn)段與平行四邊形的邊交于點(diǎn)，如果的面積為平方厘米，求的面積。
解：連接，因?yàn)椋商菪魏ɡ砜傻?/p>
又因?yàn)椋傻?/p>
解析幾何
蝴蝶定理在解圓錐曲線(xiàn)題中的應(yīng)用
如圖6，已知橢圓 ，點(diǎn)分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓的上頂點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓的左焦點(diǎn)。設(shè)過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線(xiàn)交橢圓于兩點(diǎn)，點(diǎn)在軸上方。點(diǎn)分別為直線(xiàn)與軸的交點(diǎn)，求的值。
解：過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)垂直軸交橢圓于兩點(diǎn)，交直線(xiàn)于點(diǎn)，交直線(xiàn)于點(diǎn)
設(shè)直線(xiàn)的方程為
由，即題意所求值轉(zhuǎn)化為
由橢圓上的蝴蝶定理可知：
1.當(dāng)直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，由，
得
2.當(dāng)直線(xiàn)的斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)的解析式為，
則，方程組和，
得，由韋達(dá)定理可知
因?yàn)?在橢圓上，所以，
得
上兩式可解得，所以
綜上所述，
參考資料 >