交比（cross ratio）是射影幾何學(xué)中基本的射影不變量之一。一般是用共線(xiàn)的四個(gè)點(diǎn)來(lái)定義的，亦稱(chēng)之為調(diào)和比。屬于射影幾何學(xué)。早在古希臘，數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家就注意到這一比值的特性。約公元100年，門(mén)內(nèi)勞斯在《球面學(xué)》中用到了球面上的大圓弧相交的一個(gè)性質(zhì)，類(lèi)似于截線(xiàn)的交比不變性，用圓弧所對(duì)角的正弦比值來(lái)表示。點(diǎn)列交比的公理化定義，共線(xiàn)四點(diǎn)A,B,C,D的齊次坐標(biāo)分別為a,b,a+xb,a+yb,(A≠B),記（AB|CD）表示這四點(diǎn)構(gòu)成的交比。對(duì)于一條圓錐曲線(xiàn)C,任取上面一個(gè)點(diǎn)P,那么對(duì)于C上另外四個(gè)點(diǎn)，線(xiàn)束P(A,B,C,D)的交比取值同P的選取無(wú)關(guān)。于是，這個(gè)交比可以定義為圓錐曲線(xiàn)C上四點(diǎn)A,B,C,D的交比，同樣可以極為(AB|CD). 反之，我們也可以采用這里的交比不變性作為圓錐曲線(xiàn)C的定義，也就是給定平面四個(gè)點(diǎn)A,B,C,D,其中任意三點(diǎn)不共線(xiàn)，那么使得線(xiàn)束P(A,B,C,D)的交比取常數(shù)的P點(diǎn)軌跡是一條圓錐曲線(xiàn)。
簡(jiǎn)介
交比（cross ratio）
射影幾何學(xué)中基本的射影不變量之一。一般是用共線(xiàn)的四個(gè)點(diǎn)來(lái)定義的，亦稱(chēng)之為調(diào)和比。早在古希臘，數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家就注意到這一比值的特性。約公元100年，門(mén)內(nèi)勞斯在《球面學(xué)》中用到了球面上的大圓弧相交的一個(gè)性質(zhì)，類(lèi)似于截線(xiàn)的交比不變性，用圓弧所對(duì)角的正弦比值來(lái)表示。公元4世紀(jì)，帕波斯在《數(shù)學(xué)匯編》中明確闡述了一種交比的性質(zhì)：設(shè)有四條線(xiàn)交于一點(diǎn)，則從一條線(xiàn)上的一點(diǎn)出發(fā)的截線(xiàn)所截點(diǎn)之間的交比相等。到19世紀(jì)，施泰納、施陶特等數(shù)學(xué)家已將交比作為他們的射影幾何理論的基本工具，證明了四個(gè)共線(xiàn)點(diǎn)的交比在射影變換下不變的特性。
特性
點(diǎn)列交比的公理化定義，共線(xiàn)四點(diǎn)A,B,C,D的齊次坐標(biāo)分別為記表示這四點(diǎn)構(gòu)成的交比。定義為，.點(diǎn)偶AB叫做基點(diǎn)對(duì)，點(diǎn)偶CD叫做分點(diǎn)對(duì)。
若四點(diǎn)齊次坐標(biāo)分別為可以證明，。其初等幾何意義為,注意右邊的線(xiàn)段長(zhǎng)度是有向的。
交比具有射影不變性。
證明此性質(zhì)，需要引入線(xiàn)束交比。類(lèi)比點(diǎn)列交比的定義，我們可以自然的引入線(xiàn)束交比的定義。共點(diǎn)四線(xiàn)a,b,c,d,的齊次坐標(biāo)為.記表示這四線(xiàn)構(gòu)成的交比。定義為，
.同樣的，我們有：若四線(xiàn)齊次坐標(biāo)分別為 ,可以證明， （1）。引入線(xiàn)束交比的初等幾何意義，我們可以從我們熟知的直角坐標(biāo)系入手。設(shè)為一線(xiàn)束，記其斜率為,傾角為,有（1）式可得，.注：表示到的角，是有向的。
證明：交比是射影不變量。
證明（初等幾何的證明）：令線(xiàn)束O(a,b,c,d)分別交l于ABCD。.又考察各對(duì)應(yīng)有向量方向相同，故原式成立。
由此可知，點(diǎn)列的交比與其對(duì)應(yīng)線(xiàn)束的交比是相同的。保持線(xiàn)束不變，取另一直線(xiàn)l'交線(xiàn)束與A'B'C'D'.可視為對(duì)l作射影變換，,由此說(shuō)明交比是射影不變量。
上述說(shuō)明在歐式平面內(nèi)存在諸多漏洞，例如若p1//l,則沒(méi)有交點(diǎn)。但是，在射影幾何完整的公理化體系中有無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)和無(wú)窮遠(yuǎn)直線(xiàn)，拓廣實(shí)數(shù)集等無(wú)窮元素來(lái)“彌補(bǔ)”。而這些元素更是射影幾何的精華。
如上是對(duì)交比的說(shuō)明，接近其公理化定義。
補(bǔ)充：若交比為-1，則稱(chēng)為調(diào)和比。以點(diǎn)列ABCD為例，稱(chēng)此為調(diào)和點(diǎn)列，也稱(chēng)點(diǎn)偶AB,CD相互調(diào)和共軛（調(diào)和分離），或稱(chēng)D為ABC的第四調(diào)和點(diǎn)。
同樣，我們還可以定義圓錐曲線(xiàn)上四個(gè)點(diǎn)的交比。對(duì)于一條圓錐曲線(xiàn)C,任取上面一個(gè)點(diǎn)P,那么對(duì)于C上另外四個(gè)點(diǎn)，線(xiàn)束的交比取值同P的選取無(wú)關(guān)。于是，這個(gè)交比可以定義為圓錐曲線(xiàn)C上四點(diǎn)A,B,C,D的交比，同樣可以極為. 反之，我們也可以采用這里的交比不變性作為圓錐曲線(xiàn)C的定義，也就是給定平面四個(gè)點(diǎn)A,B,C,D,其中任意三點(diǎn)不共線(xiàn)，那么使得線(xiàn)束的交比取常數(shù)的P點(diǎn)軌跡是一條圓錐曲線(xiàn)。
參考資料 >