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來源：互聯網

在數學里，區間通常是指這樣的一類實數集合：如果x和y是兩個在集合里的數，那么，任何x和y之間的數也屬于該集合。例如，由符合0≤x≤1的實數所構成的集合，便是一個區間，它包含了0、1，還有0和1之間的全體實數。其他例子包括：實數集，負實數組成的集合等。

區間在積分理論中起著重要作用，因為它們作為最"簡單"的實數集合，可以輕易地給它們定義"長度"、或者說"測度"。然后，"測度"的概念可以拓，引申出埃米爾·博雷爾測度，以及勒貝格測度。

區間也是區間算術的核心概念。區間算術是一種數值分析方法，用于計算舍去誤差。

區間的概念還可以推廣到任何全序集T的子集S，使得若x和y均屬于S，且x

記號

通用的區間記號中，圓括號表示“排除”，方括號表示“包括”。例如，區間(10,20)表示所有在10和20之間的實數，但不包括10或20。另一方面，[10,20]表示所有在10和20之間的實數，以及10和20。而當我們任意指一個區間時，一般以大寫字母I記之。

有的國家是用逗號來代表小數點，為免產生混淆，分隔兩數的逗號要用分號來代替。例如[1,2.3]就要寫成[1;2,3]。否則，若只把小數點寫成逗號，之前的例子就會變成[1,2,3]了。這時就不能知道究竟是1.2與3之間，還是1與2.3之間的區間了。

在法國及其他一些歐洲國家，是用]與[代替（與）比如寫成寫成]1,2[，這種寫法原先也包括在國際標準化組織編制的ISO31-11內。ISO31-11是一套有關物理科學及科技中所使用的數學符號的規范。在2009年，已由新制訂的ISO80000-2所取替，不再包括]與[的用法。

定義

用集合的語言，我們定義各種區間為：

注意均是代表空集，單元素集合不能用區間表示，如集合{0}不能表示為或[0,0]。而當a>b時，上述的四種記號一般都視為代表空集。區間不為空集時，a,b稱為區間的端點。一般定義b-a為區間的長度。區間的中點則為

區間[a,b]有時也稱為線段。（不為空集或單元素集的話）

除了表示區間，圓括號和方括號也有其他用法，視乎語境而定。譬如也可表示集合論中的有序對丶解析幾何中點的坐標，線性代數中向量的坐標，有時也用來表示一個復數，有時在數論中，用 表示整數的最大公約數。也偶爾用作表示有序對，尤其在計算機科學的范疇里。同樣在數論里，用 表示整數 的最小公倍數。

有部分作者以來表示區間 在實數集里的補集，即是包含了小于或等于a的實數，以及大于或等于b的實數。

無限區間

我們可以用符號來表示區間在某方向上無界。具體定義如下：

特別地，表示正實數集，亦記作。則表示了非負實數集。

如果區間是單側無界，也稱為射線或半直線。如果它包含有限端點，則稱其為閉射線或閉半直線。如果不包含有限端點，則稱其為開射線或開半直線。

一般使用的便是以上五種記號，而等的寫法則相當少見。有的作者假定區間為實數集的子集，對于他們來說，這些寫法要麼是無意義，要麼就是跟用圓括號的意思沒兩樣。在後者的情況下，我們可以寫作。于是實數集可被視為又開又閉的區間。

如果我們考慮擴展的實數軸，那么這四種寫法是有數的區間。

一般而言，對于整數a,b，具體寫作：。

除了[a..b]，也有{a..b}和a..b的寫法，意思一樣。

[a..b]的記號被用于一些程式語言，例如Pascal和Haskell。

如果一個整數區間是有界的話，那麼它必然包含最小數a和最大數b。因此，如果想定義去掉最小數或最大數的區間，只需用[a..b-1],[a+1..b]或[a+1..b-1]表示。無需像實數區間般引進[a..b)或(a..b)的記號。

分類

實數區間一共可分成11種，如下所列。其中a,b是實數，且a

1.空集：

2.退化區間(degenrateinterval)：

有界區間

3.閉區間：

4.開區間：

5.左閉右開區間：

6.左開右閉區間：

單側無界

有下界但無上界：

7.左閉：

8.左開：

有上界但無下界：

9.右閉：

10.右開：

11.雙側無界：

#1、#4、#8、#10、和#11可稱為“開區間”（標準拓撲下是開集），#1、#2、#3、#7、#9和#11可稱為“閉區間”（標準拓撲下是閉集）。#3和#4有時稱為“半開區間”或“半閉區間”。#1和#11同時為“開”和“閉”，并非“半開”、“半閉”。

表示法

區間表示法是指在實數線上，以視覺化的方式表示出一個區間的范圍。亦指以區間形式給出（含有一個未知數x的）不等式的解集。

性質

上述的各種區間正是實數軸上的全體連通子集。由此可推得，一個區間在連續函數下的像也是一個區間，這是介值定理的另外一個表述。

區間也恰好涵蓋了實數集的所有凸的子集。另，設X是的一個子集，如果Y是包含X的最小閉區間（即如果Z是另一個包含X的閉區間，Y也包含于Z），便是Y的凸包。實際上，

任意一組區間的交集仍然是區間。兩個區間的并集是區間，當且僅當它們的交集非空，又或者一個區間所不包含的端點，恰好是另一個區間包含的端點。例如：

如果把當作度量空間，它的開球便是區間（r為正數），閉球便是區間

定義推廣

多維區間

一個n維區間可定義為的子集，其為n個區間的勒內·笛卡爾積，即

時，一般來說是定義了一個長方形，它的長和闊分別平行于兩條坐標軸。時，一般的是定義了一個長方體，它的各邊同樣是平行于坐標軸。

復數區間

復數的區間可定義成復平面上的一個區域，兩種合理的選擇是長方形或圓盤。

算法

區間算術又稱區間數學、區間分析、區間計算，在1950、60年代引進以作數值分析上計算舍去誤差的工具。

區間算術的基本運算是，對于實數線上的子集及：

被一個包含零的區間除，在基礎區間算術上無定義。

區間算術的加法和乘法符合交換律、結合律和子分配律：集是的子集。

參考資料 >

[科普中國]-區間.科普中國.2024-02-16

[科普中國]-預測區間.科普中國網.2024-02-16

[科普中國]-區間估計.科普中國網.2024-02-16

[科普中國]-區間計算.科普中國網.2024-02-16

[科普中國]-定義區間.科普中國網.2024-02-16