可分擴張(separable extension)一種重要的域擴張。
概念
可分擴張的特征為p的域F的任意擴張K/F，Ω是K的代數(shù)閉包，若K與
F={α∈Ω|α∈F}
在F上是線性分離的，則稱K/F是可分擴張。當(dāng)F是完備域時，F(xiàn)上任何擴張都是可分擴張。當(dāng)K/F是代數(shù)擴張時，若α∈K在F上的最小多項式是可分多項式，則稱α是(F上的)可分代數(shù)元(簡稱F上可分元)。若K中每個元均為F上可分元，則稱K是F上可分擴張。若K/F有一個超越基S，使得K是可分的，則稱S是可分超越基。若K/F有這樣一個可分超越基，則稱此擴張K/F是可分生成的。完備域上的有限生成擴張均為可分生成擴張。可分擴張具有傳遞性。當(dāng)K/F是有限生成，而且是可分擴張時，K/F是可分生成的。反之，可分生成的擴張必然是可分擴張。
域
可交換的除環(huán)叫做域，它是代數(shù)的基本概念之一。
域的概念在19世紀代數(shù)學(xué)的發(fā)展中逐步形成并明確起來。在埃瓦里斯特·伽羅瓦的著作中就包含了域的概念，他的域就是由方程的系數(shù)生成的域，他的擴域是經(jīng)添加方程的一個根作成的。在約瑟夫·拉格朗日關(guān)于群論的論文和高斯關(guān)于數(shù)論的論文中也有了域的思想。域的概念是在克羅內(nèi)克和戴德金關(guān)于代數(shù)數(shù)的論文中，從不同角度引入的。戴德金把他所引入的域的概念最初稱為“有理區(qū)域”，他關(guān)于域的理論發(fā)表在對狄利克雷《數(shù)論講義》一書所作的評注和附錄中。他在那里從本質(zhì)上補充并擴展了數(shù)論、理想論和有限域論。“域”這個術(shù)語首次出現(xiàn)在該書1871年的版本中。在19世紀，已經(jīng)知道的具體的域有：有理數(shù)域、實數(shù)域、復(fù)數(shù)域、代數(shù)數(shù)域和有理函數(shù)域。1908年，德國數(shù)學(xué)家亨澤爾又引進了一類p-進域，并進行了系統(tǒng)研究。
域的抽象理論開始于德國數(shù)學(xué)家馬克斯·韋伯的工作。1893年他曾給伽羅瓦理論以抽象的闡述，其中引進域的概念作為群的派生，并強調(diào)群和域是代數(shù)的兩個主要概念。1903年美國數(shù)學(xué)家迪克森和塞繆爾·亨廷頓建立了一個獨立的域的公理體系。
德國數(shù)學(xué)家施泰尼茨在韋伯的工作的影響下，對抽象域進行了綜合研究。按照他的觀點，每一個域都可以從它的素域(所有子域的公共元素所構(gòu)成的子域)出發(fā)，經(jīng)過適當(dāng)?shù)奶砑佣玫健Ｓ纱艘M了代數(shù)擴張和域的特征的概念。他還研究了伽羅瓦方程理論在域中的有效性問題。他的研究成果都包含在他寫于1910年的論文《域的代數(shù)理論》中。
19世紀末到20世紀初，美國數(shù)學(xué)家得到有限域的一些結(jié)果，如有限抽象域都與某一個伽羅瓦域同構(gòu)(穆爾，1893);任何有限域必須是交換的(韋德伯恩、迪克森，1905)等等。
20世紀以來，對抽象域的研究又有新的進展，中國數(shù)學(xué)家曾炯做出了一定貢獻。
域的擴張
域的擴張是域論的基本概念之一。若域K包含域F作為它的子域，則稱K是F的一個擴張(或擴域)，F(xiàn)稱為基域，常記為K/F。此時，K可以看成F上的向量空間。研究擴域K(相對于基域F)的代數(shù)性質(zhì)，是域論研究的一個基本內(nèi)容。
若域E是F的擴域，K是E的擴域，則稱E是域擴張K/F的中間域。若K/F是域擴張，S是K的子集，且F(S)是K的含F(xiàn)與S的最小子域，稱F(S)為F添加S的擴域。當(dāng)S={α，α，…，α}是有限集合時，F(xiàn)(α，α，…，α)稱為添加α，α，…，α于F的有限生成擴域(或者F上的有限生成擴張)。它由一切形如：
f(α，α，…，α)/g(α，α，…，α)
的元組成，其中α，α，…，α∈S，f，g是F上的n元多項式且：
g(α，α，…，α)≠0.
由于這個原因，當(dāng)F(α，α，…，α)關(guān)于F的超越次數(shù)≥1時，F(xiàn)(α，α，…，α)也稱為F上的代數(shù)函數(shù)域。當(dāng)S={α}時，稱F(α)為F的單擴張域，也稱本原擴域。F的有限代數(shù)擴域K是單擴域的充分必要條件是，擴域K與基域間存在有限個中間域。這是施泰尼茨(Steinitz，E.)證明的。
代數(shù)閉包
代數(shù)閉包是實線性空間中的集合的代數(shù)意義下的閉包。設(shè)A為實向量空間X中的集合。A的代數(shù)閉包是指這樣的點b∈X的全體：存在h∈X，對于任何ε>0，存在λ∈[0，ε]，使得b+λh∈A.A的代數(shù)閉包常記為acl(A)。如果A=acl(A)，那么A稱為代數(shù)閉集。它也是X在以代數(shù)開集為開集的拓撲意義下的閉集，即代數(shù)閉集的補集必定是代數(shù)開集；反之亦然。代數(shù)閉包的概念在敘述凸集分離定理時也起重要作用。
有的文獻定義代數(shù)閉包時，要求對于任何λ∈(0，ε)都有b+λh∈A.這時代數(shù)閉集就不再是代數(shù)開集的余集。但當(dāng)A是多于一點的凸集時，由這兩種定義得到的代數(shù)閉包是相同的。
一個域的最大代數(shù)擴域叫做代數(shù)閉包。若域F的代數(shù)擴域Ω為代數(shù)閉域，則稱Ω為域F的一個代數(shù)閉包。一個域F的代數(shù)閉包總是存在的，并且在F同構(gòu)意義下惟一。這個基本定理來自施泰尼茨(Steinitz，E.)。設(shè)K是域F的擴域，在K中F上代數(shù)元的全體組成的子域A稱為F在K內(nèi)的代數(shù)閉包，它是F在K內(nèi)的最大代數(shù)擴域。特別地，若F=A，則稱F在K內(nèi)是代數(shù)閉的。
參考資料 >