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來源：互聯網

平方差公式（Formula for the difference of squares）是代數運算中的基本公式，其定義為：兩個數的和與這兩個數的差的乘積，等于這兩個數的平方差，表達式為(a+b)(a-b)=a2-b2。該公式不僅適用于實數域內的代數運算，在復數域等更廣泛的數學領域中同樣有效，是多項式乘法、因式分解等運算的重要工具。公式揭示了多項式乘法中“和差積”與“平方差”的恒等關系，是整式運算、因式分解的基礎工具。

平方差公式最早可追溯到公元前18世紀至公元前16世紀的巴比倫時期，當時這一類二次問題的解決在許多出土的泥版文物中得到了確鑿的證據。隨后，古希臘、中國和印度的數學家從不同角度對平方差公式進行了應用、證明和演化。最終，這一公式在公元16世紀由法國數學家韋達以現代符號的形式表達，呈現出今天所熟知的形式。平方差公式還有三角函數形式，其中三角平方差公式是化積公式的一種，由于酷似平方差公式而得名，主要用于解三角形，以及向量形式，將二次方進行推廣，可得到n次方差的公式。平方根公式作為代數基本公式之一，在多項式因式分解和表達式簡化、分母有理化等問題的解決中具有廣泛的應用價值。

定義

根據整式的分配律和單項式的運算法則，把一個多項式里的每一項乘以另一個多項式里的每一項，再把所得的積相加。

字母表達式：

文字表達式：兩個數的平方差等于這兩個數的和與這兩個數的差的積。

字母含義：公式中的a，b可以是具體的數，也可以是單項式或多項式。

簡史

公式的起源

方程問題

平方差公式的發展歷史最早可以溯源到公元前17世紀的巴比倫時期，古巴比倫人在泥版上記載了用“和差術”對二元二次方程進行求解，將二元問題轉化為一元問題。在已發現的泥版里，發現了大量二元方程問題及解法。例如：古巴比倫數學泥版VAT8389涉及到二元一次方程和,古巴比倫人將設為,設為,得到,解得,得到,。這里已知兩數的和或差，將這兩數表示為半和與半差的和或差，實現二元未知數轉換為一元未知數的換元，即為“和差術”。

到公元3世紀亞歷山大大帝時期，古希臘數學家丟番圖（Diophantus II.VIII）在《算術》一書第1卷第27題中，運用巴比倫人的“和差術”，來進一步求解二元二次方程，他的做法是通過已知兩數之和與兩數之積來求解這兩個數，作為平方差公式的經典應用。

公元12世紀，印度數學家婆什迦羅（Bhaskara）在《莉拉沃蒂》中證明了諸多丟番圖問題實例，給出平方算法，運用了平方差公式的另一種形式：。

幾何問題

公元前4世紀，古希臘數學家歐幾里得（希臘語：Ευκλε?δη?）在《幾何原本》第二卷命題5中，“如果把一條線段截成相等和不相等的線段，則由兩個不相等的線段所構成的矩形面積與兩個截點之間的線段上的正方形的面積之和等于原來線段一半上的正方形的面積。”并用幾何語言說明了平方差公式的等價形式。用現代符號語言表示為。

公元前2世紀，古希臘數學家芝諾多魯斯（Zenodorus）在《論等周圖形》中證明了命題：“在邊數相同的等周多邊形中，等邊且等角的多邊形面積最大。”將平方差公式運用在等周問題中。

在中國古代數中，平方差主要應用于求解直角三角形。最早出現在《九章算術》中，對直角三角形的勾、股和弦進行證明。公元3世紀，趙爽在注解《周髀算經》時，運用“面積割補法”對平方差公式進行了數學證明，提出“勾股圓方圖”，引入“勾實之矩”的概念，因為其面積于以勾為邊的正方形面積（即勾實）相等，因此稱為“勾實之矩”。以勾矩之實=勾的平方，得到“弦的平方-勾矩之實=股的平方”解釋并證明了勾股定理。同時，劉徽在《九章算術》中通過截取小正方形后重新拼接剩余部分，同樣得出了結論。

公式的標準表達

中世紀阿拉伯數學家在代數研究中，進一步將幾何問題代數化，對多項式乘法進行系統梳理，為平方差公式的明確表述奠定了基礎。16世紀以后，法國數學家“代數學之父”弗朗索瓦·韋達（法語：Fran?ois Viète）引入了一種既簡單又有效的約定，用元音字母來代表代數中被假設是未知或未定的量，用輔音字母來代表被假設是已知或給定的量或數，創立了符號代數，用現代符號對方程步驟進行推理，并將此類推理稱作“分析術”（analyticart）。他著有《分析方法入門》《論方程的識別與訂正》等多部著作，推進了代數學與方程論的發展，平方差公式也得以用字母表示。

推導證明

代數證明

利用因式分解及運算律來驗證。

幾何證明

兩個平方的差表示為平面內兩個正方形面積的差。

將一個邊長為的正方形，劃分無陰影部分和有陰影部分。

無陰影部分：邊長為的正方形

有陰影部分：長為短為的矩形和長為短為的矩形

圖中最大的正方形面積為,無陰影的正方形面積為,圖中陰影部分代表兩個正方形面積之差，即。

同時，陰影部分的面積可以通過將兩個矩形的面積相加得到:,因式分解為。

所以得到，。

將一個邊長為的正方形，劃分無陰影部分和有陰影部分。

無陰影部分：邊長為的正方形

有陰影部分：邊長為正方形減去邊長為的正方形

圖中最大的正方形面積為,無陰影的正方形面積為,得到有陰影部分的面積為。將有陰影部分分割為兩個矩形，分割后較大的矩形長為短為，較小的矩形短為長為。由于兩個矩形的長和短都是，因此將較小的矩形旋轉后拼接至較大的矩形右側，形成一個新的矩形。這個新矩形的面積為。由于新矩形是對有陰影部分圖形的重新拼接，它的面積和原始有陰影部分圖形相同。

所以，。