平方根，又叫二次方根，表示為〔±√￣〕，其中屬于非負數的平方根稱之為算術平方根（arithmetic square root），是一種方根。一個正數有兩個實平方根，它們互為相反數，負數在實數范圍內沒有平方根，0的平方根是0。一些其他的數學對象也有平方根，如矩陣。
開平方最早可見于幾千年前的，耶魯大學的巴比倫藏品YBC?7289是一塊泥板，制作于公元前18世紀到公元前16世紀之間，包含了√2的近似值計算。萊因德數學紙草書（約公元前16世紀）是古埃及現存的數學文獻之一，書中展示了埃及人采用反比法求平方根的過程。
開平方運算有多種方法，如牛頓迭代法、二分法、幾何法等，同時平方根在許多領域實際問題的解決上具有重要的應用價值，如計算證券價格的波動率、計算統計學上的條件異方差等，在信號處理領域，采用平方根信息濾波估計導航衛星的運動規律參數也有更高的數值精度和穩定性。
基本概念
算術平方根
一般地，如果一個正數x的平方等于a，即，那么這個正數x叫做a的算術平方根（arithmetic square root）。的算術平方根記為，讀作“根號a”。
規定：的算術平方根是
平方根
定義
一般地，如果一個數x的平方等于a，即，那么這個數x叫做a的平方根。a的平方根記為，讀作“正負二次根號a”，a叫做被開方數（radicand）。
規定：的平方根是
正數的平方根有一正一負兩個，正數的算術平方根可以用表示；正數的負的平方根，可以用符號“”表示。 顯然，如果知道了這兩個平方根的一個，那么就可以及時的根據相反數的概念得到它的另一個平方根。被開方數越大，對應的算術平方根也越大（對所有正數都成立）。
例如，,
運算法則
乘除法
一般地，二次根式的乘法法則是
二次根式的除法法則是
例如：
加減法
一般地，二次根式加減時，可以先將二次根式化成最簡二次根式（simple stquadratic radical），再將被開方數相同的二次根式進行合并。
例如：
簡史
平方根的由來
耶魯大學的巴比倫藏品YBC?7289是一塊泥板，制作于公元前18世紀到公元前16世紀之間，包含了的平方根的計算（精確到3個六十進制位），用現代符號的話，可以寫作，式中，分號用來分開整數部分和小數部分，逗號被用來作為六十進制位的分隔號。巴比倫人為求出的值是，與正確的值相比，這個值的誤差大約是。萊因德數學紙草書是古埃及現存的數學文獻之一，成書時間可追溯到約公元前16世紀，書中展示了埃及人采用反比法求平方根的過程。中國的《九章算術》成書于西漢，書中介紹了微數理論，把分數表示推向小數表示，能表達的數更加豐富與精確，提高了平方根的近似精度。
開平方符號的起源
最早在古埃及人在草紙上，開平方用符號“”來表示。12世紀的歐洲人用拉丁文“方根”（radix）的第一個字母大寫R(?)或正方形的邊（latus）的第一個字母小寫表示開平方運算。直到1637年，法國數學家勒內·笛卡爾（法語：René Descartes）在他的著作《幾何學》中開始用符號表示平方根，這已經和現代數學形式一致，之后在數學中使用開平方運算均用類似的符號。
一些研究對象的平方根
復數的平方根
復數的定義：形如，(其中)的數稱為復數，為虛數單位，規定
實數分別稱為復數的實部和虛部，記為
全體復數構成的集合稱為復數集，記作，即
假定一個復數，使其平方等于，有
上式等價于方程組
可解得一般解
因此，任意復數的平方根均存在，并有兩個相反的值，當且僅當時這兩個值相等。
若，則平方根值是實數；若，則為純虛數。除零之外，只有正數才有實的平方根，只有負數才有純虛數的平方根。
復數的算術平方根可由三角函數式來表達。
如圖1，復數，由一對有序實數唯一確定。建立平面直角坐標系后，復數可由平面上的點來表示。
在復平面上，復數也可以用連接原點與點的向量來表示。向量的長度叫作復數的模，記作，即。
若，則，則復數可以表示為
，且復數的模還可以表示為
利用歐拉公式，則有
上述公式組合可得
矩陣的平方根
矩陣的概念：由個數排成行列的矩形數表
稱為矩陣，記作，其中稱為矩陣第行，第列的元素，簡稱為矩陣的元。
特別地，當時，矩陣或稱為階方陣，記作
若矩陣的所有元素都為零，則稱該矩陣為零矩陣。記作或
若一個階數量矩陣主對角線上的元素均為，則稱該矩陣為單位矩陣，記作或
若階方陣，滿足，則稱為階對稱矩陣，簡稱對稱陣。
正定矩陣：設階對稱方陣有，若對任給的維向量，有，則稱為非負定陣，記為。若且的充要條件是，則稱為正定陣，記為
任給，必存在正交陣，使
其中為的特征根，此時方陣的秩數
若，則存在唯一的，使得，則稱為的平方根。
記為：
因此，若為的平方根對稱矩陣，就有， ，
開平方運算
求一個數的平方根的運算，叫做開平方（extraction of square root），叫做被開方數（radicand）。正數的平方根有兩個，它們互為相反數。在數學運算中，平方和開平方互為逆運算。
珠算開方
籌算開方首見于《九章算術》一書。明代珠算開平方，早期用商除開平方法，即源于籌算的開平方法，計算方法與籌算基本一致。明代數學家嚴恭、王素文，程大位的著作已采用珠算開平方。程大位的《算法統宗》中的商除開平方，在算盤上布數為左、中、右三段，仍沿用傳統的商、實、方、廉、隅等名稱。
《算法統宗》商除開平方第二問是：
假如今有圍棋盤子共三百六十一個，問每面子若干？
答曰：每面一十九個。
原書的問題是：假如今有圍棋盤子共三百六十一個，問每面子若干，即是對361進行開平方運算。
解題過程如下：
第一行，置361于盤中為實，分作二節(每二位作一節)，第一節約得初商10，置于盤左，另置10于盤右為下法；
第二行，初商10同下法10左右相乘，呼“一一除1”，在實數內減去，余實261；
第三行，下法10加倍為20，以20約余實首次二位，酌定次商為9；分別加9于商位和下位；
第四行，以次商9乘下法29，在余實內減除恰盡。得平方根19.
二次插值法
已知函數在三個互異點的值為
解：設
其中都是二次多項式。
當滿足條件時，必能滿足插值條件
設，為待定常數。
因為，從而。因此，
同理可求得
將三式代入可得
例如：利用和的平方根求
解：設，將代入上式可得
牛頓迭代法
對于給定的整數，應用牛頓法解二次方程
即
上述公式是求平方根的近似值的一個實用的計算格式。
例如：求，取初值，按牛頓法迭代3次可得到精度為的結果，如下表：
連分數法
平方根可以簡便地用連分數的形式表示，如下表為之間非完全平方數的連分數：
巴比倫方法（二分法）
巴比倫求平方根的算法簡單有效：假設，就是要求得的平方根。
以作為它的第一個近似值，再根據，求出，作為它的第二個近似值。
若小于，則就大于，反之亦然。因此，算術平均值是下一個應該更接近的近似值。如果始終大于，那么下一個近似值就會小于
這樣就可以求出算術平均值來獲取更精確的結果，這個過程可以不斷地繼續下去。
幾何法
問題：給定線段和，求一條長為的線段。
解：在數軸取坐標為點，以為中心畫線段，使得線段。再以點為圓心，為半徑畫半圓，過作的垂線，垂直線和圓弧交于，即為所求的長度。
證明：將數軸完全移動到平面坐標系上。設，由圓的標準方程可得半徑為的圓的方程表示為：
且點的橫坐標為，代入上面的方程式，即
解方程之后可得，即為的長度。
相關概念
平方根與無理數
有理數和無理數統稱實數（real number），其中無限不循環小數又叫做無理數（irrational number）。
是第一個公認的無理數，它代表邊長為的正方形的對角線長。
歐幾里得《原本幾何》中證明是無理數的方法：
假設是有理數，那么存在兩個互質的正整數，使得，于是，
兩邊平方得
由是偶數，可得是偶數。而只有偶數的平方才是偶數，所以也是偶數。因此可設代入上式，得，即
所以也是偶數。這樣，和都是偶數，不互質，這與假設互質矛盾。
從上述證明過程中，可得出平方根與無理數之間有一定的關系：
推廣
立方根
一般地，如果一個數的立方等于，那么這個數叫做的立方根（cuberoot） 或三次方根。這就是說，如，那么叫做的立方根。例如，所以是的立方根。
n次方根
一般地，如果，那么叫做 的次方根，其中，且
當是奇數時，正數的次方根是一個正數，負數的次方根是一個負數。這時，的次方根用符號
表示。
當是偶數時，正數的次方根有兩個，這兩個數互為相反數。
這時，正數的正的次方根用符號表示，負的次方根用符號表示，正的次方根與負的次方根可以合并寫成
例如：
相關應用
金融學
在金融定義里，波動率定義為資產價格的變化，通常用于度量市場的風險程度。在實際應用中，波動率可由過去價格收益率變化的標準差、期權合約中的隱含波動率等指標進行量化判斷。
波動率的標準定義是方差的平方根。方差的定義為：
式中，為對數收益率（度量波動率時通常都使用對數收益率）；
為樣本的平均收益率；
為樣本規模。
為了將方差以年化的形式表示，要在原方差基礎上乘以年化因子，即一年的交易周期。
統計學
自回歸條件異方差模型（auto regressive conditional heteroskedastic）是經濟學家恩格爾（Engle R.）在1982年提出的，其基本思想為：在以前的信息集的條件下，某一時刻的殘差服從正態分布，而且該正態分布的均值為零。又方差是一個隨時間變化的量——條件異方差，并且這個隨時間變化的方差是過去有限項殘差項平方的線性組合。
階自回歸條件異方程模型的結構為
式中為序列的自回歸模型；是殘差序列；是獨立同標準正態分布的序列；
記表示時刻所有可得信息的集合，則
所以，為殘差序列在時刻的條件方差。它反映了序列條件方差隨時間變化的性質，即條件異方差性。
信號處理
在實際問題中，導航衛星的初始狀態是未知的或者精度較差，而且描述衛星運動規律的一些模型參數也是不精確的，使得衛星運動微分方程存在一定誤差。對于實時數據處理，通常采用濾波的方法進行參數估計。平方根信息濾波（Square Root Information Filter,SRIF）是卡爾曼濾波的一個演化版本，具有數值精度高、穩定度強等特點。具體來說，由于平方根信息濾波采用平方根矩陣，其計算元素的字長只需其他非平方根算法的一半，同時還能保證協方差矩陣的對稱性和穩定性，因而具有更高的數值精度和更穩定的濾波解。
參考資料 >
平方根.術語在線.2023-11-30