分母有理化（Rationalize the denominator），又稱“有理化分母”，是指在二次根式中分母原為無(wú)理數(shù)，而將該分母化為有理數(shù)的過(guò)程，也就是將分母中的根號(hào)化去。分母有理化一般是用一個(gè)適當(dāng)?shù)拇鷶?shù)式同乘以分子與分母，使分母不含根式。有理化后通常方便運(yùn)算，有理化的過(guò)程可能會(huì)影響分子，但分子及分母的比例不變。
分母有理化對(duì)于一個(gè)含有根號(hào)的分式代數(shù)式，可以通過(guò)乘以它的有理化因子并同時(shí)除以同一個(gè)因子，從而把原分式化成分母不含根號(hào)的代數(shù)式。這種變形過(guò)程稱為分母有理化。在進(jìn)行根式的運(yùn)算、極限運(yùn)算中，經(jīng)常用到分母有理化。
正確進(jìn)行分母有理化的關(guān)鍵是確定分母的有理化因式——兩個(gè)含有二次根式的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含有二次根式，那么這兩個(gè)代數(shù)式互為有理化因式。從解題思維規(guī)律上看分母有理化可分為以下八種類型：同乘型；通分型；約分型；配方型；裂項(xiàng)法；換元法；乘方開(kāi)方型；倒數(shù)轉(zhuǎn)換型。
定義
分母有物理化學(xué)，簡(jiǎn)稱有理化，指的是將該原為無(wú)理數(shù)的分母化為有理數(shù)的過(guò)程，也就是將分母中的根號(hào)化去。有理化后通常方便運(yùn)算，有理化的過(guò)程可能會(huì)影響分子，但分子及分母的比例不變。
單項(xiàng)式
應(yīng)用一般根號(hào)運(yùn)算：
。
二項(xiàng)式
應(yīng)用平方差公式：
。
應(yīng)用立方和、立方差公式：
。
多項(xiàng)式
逐項(xiàng)有理化
。
輾轉(zhuǎn)相除法
設(shè) 有理化
待定系數(shù)法
，求
設(shè)
計(jì)算方法
常規(guī)方法
下面介紹兩種分母有理化的常規(guī)方法，基本思路是把分子和分母都乘以同一個(gè)適當(dāng)?shù)?a href="/hebeideji/7822307514691700917.html">代數(shù)式，使分母不含根號(hào)。
分母單項(xiàng)式
例如二次根式，下面將之分母有理化：
分子分母同時(shí)乘以,分母變?yōu)?，分子變?yōu)椋s分后，分?jǐn)?shù)值為。在這里我們想辦法把化為有理數(shù)，只要變?yōu)樗钠椒郊纯伞?/p>
分母多項(xiàng)式
再舉一個(gè)分母是多項(xiàng)式的例子，如，下面將之分母有理化：
思路仍然是將分子分母同乘相同數(shù)。這里使用平方差公式，同時(shí)乘上√2+1，分子變?yōu)椋謹(jǐn)?shù)值為，再約分即可。也就是說(shuō)，為了有物理化學(xué)多項(xiàng)式的分母，原來(lái)分母是減號(hào)，我們乘上一個(gè)數(shù)字相同但用加號(hào)連接的式子，再用平方差公式。
此方法可應(yīng)用到根式大小比較中去。
特殊方法
分解約簡(jiǎn)法
將 分母有理化：
這里我們將分母分解因式后提取出來(lái)，這樣避免采用平方差公式分解。這種方法較適用于分子分母含有公因式時(shí)。
配方約簡(jiǎn)法
將 分母有理化：
這里我們將分子化成平方式，然后利用完全平方公式配方，再和分母約分，這樣避免采用平方差公式分解。
注意事項(xiàng)
下面舉一個(gè)含參數(shù)的二次根式：
將 分母有理化：
在這里我們將分子用平方差公式分解因式，然后分解！注意在這里我們不能將分母乘以，因?yàn)?有可能等于0，若分情況討論又比較麻煩，此時(shí)我們就應(yīng)該注意分子和分母的結(jié)構(gòu)關(guān)系。
有理化因式
例如：
將分子、分母同時(shí)乘以分母的有理化因式。
如√a的有理化因式是正負(fù)√a。的有理化因式是：或。
參考資料 >