整式為單項式和多項式的統稱，是有理式的一部分，在有理式中可以包含加、減、乘、除、乘方五種運算，但在整式中除數不能含有字母。
公元前6世紀，古希臘哲學家畢達哥拉斯(Pythagoras)提出了關于數的概念，成為代數學發展的重要奠基。17世紀，法國的數學家弗朗索瓦·維埃特(FrancoisViète)用字母代替已知和未知量，使日漸衰微的代數復生。
整式有許多運算法則，比如：在加減運算中，有去括號法則和合并同類項法則；在乘除運算中，有同底數冪相乘，底數不變，指數相加；同底數冪相除，底數不變，指數相減等運算法則。與整式相對的概念是分式，整式與分式都是有理式，如果一個有理式的分母中含有字母，則為分式；若無，則為整式。整式及其運算法則在數學、物理、經濟的領域中都具有廣泛的應用價值。
定義
用運算符號（包括加、減、乘、乘方）將數和表示數的字母連接起來的代數式稱為整式。
整式是單項式和多項式重武器。只包含字母的乘法運算，不包含加減運算，稱為單項式。幾個單項式經過加減運算得到的，稱為多項式。
單項式
單項式是由數字或字母的積所組成的式子，單獨一個數或字母也是單項式。例如：、。
單項式的系數
單項式中的數字因數叫做這個單項式的系數。例如：單項式的系數是。
單項式的次數
一個單項式中，所有字母的指數的和叫做這個單項式的次數。例如：單項式的系數為，次數為。
多項式
多項式是幾個單項式的和，例如：就是一個多項式。
多項式的項
在多項式中，每個單項式叫做多項式的項，其中不含字母的項叫做常數項。一個多項式有幾項，就叫幾項式。例如：為四項式，這四項分別是：，前三項中字母的指數之和依次為，分別稱這些項為原多項式的三次項、二次項、一次項，最后一項不含字母，叫常數項。
多項式的次數
多項式里，次數最高項的次數叫作這個多項式的次數。例如：的次數為，稱為二次二項式。
有時多項式的次數是對特定的字母說的。例如，是字母的二次式，稱為的二次三項式，其中，字母與分別叫做二次項與一次項的文字系數。
多項式排序
把一個多項式的各項按次數大小排序，各項次數從大到小排列的叫降冪排列，從小到大排列的叫升冪排列。例如：為降冪排列，為升冪排列。
簡史
公元前6世紀，古希臘哲學家畢達哥拉斯(Pythagoras)提出了關于數的概念，成為代數學發展的重要奠基。8至13世紀，阿拉伯數學家如歐瑪爾·海亞姆(Ghiydth aNisdbflri)在代數方面取得了許多創新性的成就，如解二次方程、完全數的處理和把分式表達式轉化成小分數等。
17世紀，法國的數學家弗朗索瓦·維埃特(FrancoisViète)用字母代替已知和未知量，使日漸衰微的代數復生。
整式的運算
加減
整式的加減，主要步驟為去括號、合并同類項，將多項式化簡，結果可按某個字母的降冪排列。
去括號法則
例題：求兩個多項式與的和
解：
合并同類項法則
同類項定義：所含字母相同，并且相同字母的指數也相同的項叫做同類項。
所有常數項都是同類項；同類項與它們所含字母順序無關；同類項與系數無關。
合并同類項法則是：將多項式中的同類項合并成一項，所得項的系數是合并前各同類項系數的和，且字母連同它的指數不變。
例題：求兩個多項式與的差
解：
乘法
同底數冪的乘法
定義：同底數冪是指底數相同的冪。底數可以是具體的數，也可以是單項式或多項式。
同底數冪的乘法法則：同底數冪相乘，底數不變，指數相加。即(都是正整數)。
冪的乘方
定義：冪的乘方是指幾個相同的冪相乘，如：是個相乘，讀作的次冪的次方。
冪的乘方法則：冪的乘方，底數不變，指數相乘。即：(都是正整數)。
積的乘方
定義：積的乘方是指底數是乘積形式的乘方，如，等。
積的乘方法則：積的乘方，等于把積的每一個因式分別乘方，再把所得的冪相乘，即(為正整數)。
單項式乘以單項式法則
單項式與單項式相乘，把它們的系數、同底數冪分別相乘，對于只在一個單項式里含有的字母，則連同它的指數作為積的一個因式。這個法則基于乘法交換律、結合律以及同底數冪的乘法性質。
單項式乘以單項式，結果仍是單項式，對于字母因式的冪的底數是多項式形式的，應將其視為一個整體來運算，三個或三個以上的單項式相乘，法則仍適用。
例題：
單項式乘以多項式法則
單項式與多項式相乘的法則是：用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加。這個法則是乘法分配律的直接應用。單項式與多項式的積仍是一個多項式，項數與原多項式的項數相同。
例題：
多項式乘以多項式法則
多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加。這同樣是乘法分配律的推廣。
例題：
因式分解
定義：把一個多項式化為幾個最簡整式的乘積的形式，這種變形叫作把這個多項式因式分解（也叫作分解因式）。
提公因式法
一般地，如果多項式的各項有公因式，可以把這個公因式提取出來，將多項式寫成公因式與另一個因式的乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法。
例題：
分組分解法
利用分組來分解因式的方法叫做分組分解法。
例題：
十字相乘法
十字相乘法是將一元二次多項式分解因式的一種方法。具體方法是：第一步，畫出十字相乘示意圖，設二次多項式為，先將二次項系數分解為兩個數的乘積，即，再將常數項分解為兩個數的乘積，即，當時，就表明分解符合要求。
第二步，寫結果。根據示意圖可知，
例題：
根據十字相乘法，
可知，原式
公式法
如果把乘法公式的等號兩邊互換位置，就可以得到用于分解因式的公式，用來把某些具有特殊形式的多項式分解因式，這種分解因式的方法叫做公式法。
(1)平方差公式：
(2)完全平方公式：
完全平方公式的推廣：
(3)立方和公式：
(4)立方差公式：
(5)完全立方公式：
(6)其他公式：
（為正整數）
（其中為偶數）
（其中為奇數）
除法
同底數冪的除法法則
同底數冪相除，底數不變，指數相減。即(，是正整數，并且)。
單項式除以單項式
單項式相除，把系數與同底數冪分別相除作為商的因式，對于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數作為商的一個因式。注：單項式除以單項式主要是通過轉化為同底數冪的除法解決的。
例如：
多項式除以多項式
多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項分別除以這個單項式，再把所得的商相加。
例如：
相關概念
分式的概念
一般地，如果表示兩個整式，并且中含有字母，那么式子叫作分式。稱為分式的式子，稱為分式的分母。例如：，。
整式與分式都是有理式，如果一個有理式的分母中含有字母，則為分式；若無，則為整式。
分式與整式的關系
整式與分式關系密切，如：整式、分式可以表達同一數量關系。例如：長方形的面積、長、寬三者之間的關系可以表示為或或；一個物體的質量、體積、密度三者之間的關系可以表示為或或。表達式的形式因要表示的量而異，有的是整式，有的是分式，但它們實際上表達的是同一數量關系，可以相互轉化。
在證明整式不等式時，可將其轉化為分式不等式來證明。
例如：已知，求證
證明：原不等式可化為 (1)
由二元均值不等式得，即，
同理，，，
以上三個不等式相加即得(1)式，從而原不等式得證。
相關推廣
多項式環
多項式環是對初等數學中多項式的推倒。定義：設是有單位元的交換環，形如的表達式稱為環上的一個關于的多項式，其中是整數，稱為的次項，叫做多項式的系數，， 稱為常數項。
把上關于的所有多項式放在一起所成的集合用表示。
多項式環的整除性
定義：令和是數域上多項式環中的兩個多項式，如果存在中的一個多項式，使，則稱整除，記作。
性質：(1)零多項式只能整除零多項式。
(2)任一多項式都能整除零多項數。
(3)零次多項式能整除任一多項式。
(4)若，則，其中，且。
(5)若，，則，其中為非零常數。
(6)若，，則。
(7)若，則，其中是任意多項式。
(8)若，，且，則，一般地，若，兩兩互素，則。
(9)多項式的根與一次因式的關系：。
應用
數學領域
在數學領域，整式可以表示一些數學概念和聯系。
例題1：某人購進一批蘋果，到集貿市場零售，已知賣出的蘋果數量與售價的關系如下表，
用表示的公式是：。
例題2：如圖，在矩形中，橫向陰影部分是矩形，另一陰影部分是平行四邊形，依照圖中標注的數據，計算圖中空白部分的面積。
解：
物理領域
在物理領域，整式可以描述物體的運動、電路的特性。比如勻速運動的路程、速度、時間的關系可以用整式表示為，還可以轉化為分式： 或；同一電路中的電壓、電流、電阻的關系可以用整式表示為，還可以轉化為分式： 或。
例題：一輛汽車以50千米/小時的速度行駛，則行駛的路程（千米）與行駛的時間（小時）之間的關系式是：
經濟領域
在經濟領域中，整式可以描述經濟關系和分析經濟問題，如利潤計算、成本分析、市場份額計算等。
%
例題：某商場銷售一種名牌襯衫，每天可售出20件，每件盈利40元，為了擴大銷售，增加盈利，盡量減少庫存，商場決定采取適當的降價措施，經調查發現，如果每件襯衫每降價1元，商場每天可多售出2件，若商場平均每天要盈利1200元每件村衫要降價多少元？
解：設每件村衫應降價元，則每件盈利為元，每天可銷出件，根據題意，列方程，得：
整理，得
解方程，得
當時，每天可售出
當時，每天可售出
參考資料 >