向量（vector）又稱矢量，在數(shù)學(xué)中也稱為歐幾里得向量、幾何向量，是數(shù)學(xué)中最基本的概念之一，表示既有大小(用一個非負(fù)數(shù)表示)、又有方向的量。與向量對應(yīng)的量叫做數(shù)量，只有大小，沒有方向。
向量有多種表示方式，以便于在不同場景下使用：幾何表示法、代數(shù)表示法、坐標(biāo)表示法。向量常用一個拉丁字母上面加一個箭號或用黑體（粗體）字母表示向量，例如，或 ， 等。或用有向線段表示，由A到B的箭頭方向表示向量的方向，有向線段AB的長度（記作）表示向量的大小。
向量空間也就是線性空間，用來研究現(xiàn)實(shí)世界中各種線性問題，其理論和方法已經(jīng)滲透到自然科學(xué)、工程技術(shù)、經(jīng)濟(jì)管理的各個領(lǐng)域。向量空間定義中有兩個集合，一個集合，一個數(shù)域，兩種運(yùn)算：一個是內(nèi)部定義的加法；一個是與之間定義的數(shù)乘；如果這種加法，數(shù)乘滿足定義中的八條運(yùn)算規(guī)律，則稱是上的向量空間。
早期的向量應(yīng)用于物理學(xué)，是被用來表示如力、速度、位移等物理量的工具，在約公元前 350 年，古希臘數(shù)學(xué)家亞里士多德（Aristotle）發(fā)現(xiàn)了向量加法的平行四邊形法則。而后英國科學(xué)家艾薩克·牛頓（Isaac Newton）最先使用有向線段表示向量。直到19世紀(jì)，向量才進(jìn)入數(shù)學(xué)領(lǐng)域并得到進(jìn)一步發(fā)展。向量在各個領(lǐng)域都有廣泛應(yīng)用，如機(jī)械、電子、計算機(jī)圖形學(xué)和物理學(xué)等。
歷史
向量最早可追溯到古希臘時期，在約公元前350年前，古希臘學(xué)者亞里士多德(Aristotle)在研究力學(xué)問題時發(fā)現(xiàn)兩個力的合成可以用平行四邊形法則得到。英國科學(xué)家艾薩克·牛頓（Isaac Newton）最先使用有向線段來表示向量，于1687年發(fā)表的著作《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》中使用有向線段描述了力及其普遍運(yùn)算規(guī)律。
1797年，丹麥數(shù)學(xué)家、測量學(xué)家卡斯帕爾·韋塞爾（Caspar Wessel）在向丹麥科學(xué)院遞交的論文中首次建立了復(fù)平面概念，利用坐標(biāo)平面上的點(diǎn)來表示復(fù)數(shù)a+bi，并利用具有幾何意義的復(fù)數(shù)運(yùn)算來定義向量的運(yùn)算，給出了復(fù)數(shù)的幾何表示。
1844年，德國數(shù)學(xué)家赫爾曼·格拉斯曼(Hermann Günther Gra?mann)出版了他的《線性擴(kuò)張論》，把向量由二維、三維擴(kuò)展到n維，融合坐標(biāo)、向量于n維空間，第一次明白地解釋了n維向量空間的概念，發(fā)展了通用的向量運(yùn)算，開拓了新的數(shù)學(xué)領(lǐng)域。
19世紀(jì)中期，英國數(shù)學(xué)家威廉·羅恩·哈密頓（William Rowan Hamilton）發(fā)現(xiàn)了四元數(shù)(包括數(shù)量部分和向量部分)，證明了四元數(shù)有很多與復(fù)數(shù)類似的性質(zhì)，認(rèn)為四元數(shù)將在物理學(xué)中獲得應(yīng)用，引起了很多學(xué)者的關(guān)注。
英國數(shù)學(xué)物理學(xué)家詹姆斯·麥克斯韋（James Clerk Maxwell）在1873年出版的著作《電磁通論》中把四元數(shù)的數(shù)量部分和向量部分分開來作為各自的實(shí)體處理，把向量部分從四元數(shù)中獨(dú)立出來的實(shí)體發(fā)展成為更符合物理學(xué)需要的更簡便的數(shù)學(xué)工具，也就是三維向量，加速了向量分析研究的進(jìn)程。
19世紀(jì)80年代初，由美國數(shù)學(xué)物理學(xué)家約西亞·吉布斯(Josiah Willard Gibbs)和英國數(shù)學(xué)物理學(xué)家奧利弗·赫維賽德(Oliver Heaviside)創(chuàng)立的三維向量代數(shù)和向量分析，他們提出，一個向量不過是四元數(shù)的向量部分，但不獨(dú)立于任何四元數(shù)，他們引進(jìn)了兩種類型的乘法，即數(shù)量積和向量積，將向量分析和電磁場理論緊密聯(lián)系在一起。
向量的引入揭開了新的數(shù)學(xué)前景，到20世紀(jì)30年代，向量理論的公理化使得向量理論逐漸成為數(shù)學(xué)的重要理論，其應(yīng)用范圍得到了極大的拓廣。
表示方法
代數(shù)表示
向量可用符號、、等來表示，手寫用為等
幾何表示
向量可用有向線段來表示，如、等，有向線段的長度表示向量的大小，箭頭所指的方向表示向量的方向。長度為0的向量叫做零向量，記作0；長度等于1個單位的向量，叫做單位向量。
坐標(biāo)表示
在平面直角坐標(biāo)系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量，作為一組基底。對于平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的一個向量，由平面向量基本定理可知，平面內(nèi)的點(diǎn)可以由平面內(nèi)的一個點(diǎn)和兩個不共線的向量來表示，此時有且只有一對實(shí)數(shù)x，y，使得，因此平面內(nèi)的任一向量都可以由x，y唯一確定，有序數(shù)對(x,y)就是向量的終點(diǎn)坐標(biāo)A，向量的坐標(biāo)表示則記作=(x,y)，其中x為在x軸上的坐標(biāo)，y是在y軸上的坐標(biāo)。
從空間的某個定點(diǎn)O出發(fā)引三個成右手系的、兩兩互相垂直的單位向量，分別為x 軸、y 軸、z軸上的單位向量。確定空間直角坐標(biāo)系O-xyz，可記作 [] 。設(shè)P是空間中任意一點(diǎn)，過P分別作垂直于標(biāo)軸的平面，與坐標(biāo)軸分別交于A、B、C三點(diǎn)。則上面的三個平面分別平行于相應(yīng)的坐標(biāo)平面，而且這些平面圍成一個長 方體。如果點(diǎn)A，B，C在各坐標(biāo)軸上的坐標(biāo)是a，b，c，即，abc為點(diǎn)P的x坐標(biāo)，y坐標(biāo)，z坐標(biāo)，記作P（a，b，c）。因此任意給定三個有序實(shí)數(shù)（a，b，c），在空間就能唯一確定一個點(diǎn)以這組數(shù)為它的坐標(biāo)，空間中的點(diǎn)和三個有序?qū)崝?shù)是一一對應(yīng)的。若是空間直角坐標(biāo)系O-xyz中的任意一個向量，則存在唯一的向徑使得=，P點(diǎn)的坐標(biāo)則稱為向量的坐標(biāo)，若P的坐標(biāo)為(x，y，z)，則對應(yīng)向量的坐標(biāo)也可記作（x，y，z）。
運(yùn)算
向量的加法
定義
對于向量 ，，作有向線段表示 ，作有向線段表示定義，把表示的向量稱為與的和，記作，也就是，求兩向量的和的作圖方法稱為向量的加法，也稱為向量加法的三角形法則和平行四邊形法則。
運(yùn)算規(guī)律
(1) 結(jié)合律: ，其中 ，，是任意向量。
(2) 交換律: ，其中 ， 是任意向量。
(3) 對任意向量，有+=，其中為零向量。
(4) 對任意向量，有+() =0，向量為的反向量。
向量的減法
定義
兩個向量相減所得的結(jié)果仍是一個向量，也就是這兩個向量的差。求兩個向量差的運(yùn)算就叫做向量的減法。設(shè)，是兩已知的向量，任取一點(diǎn)A，作向量＝，再作向量＝，以C為起點(diǎn)，以B為終點(diǎn)的向量＝稱為從向量減去的差，記為-=。即-＝，上述求向量差的作圖方程稱為向量的減法。
運(yùn)算規(guī)律
(1) 交換律：-=-(-)
(2) 結(jié)合律：(-)+=-(-)
向量與數(shù)的乘積
定義
設(shè)為一個數(shù)，向量與的乘積 規(guī)定為：
(1)當(dāng)>0時, 表示一個與 同向的向量，其模等于的模的倍,即=；
(2)當(dāng)<0時,表示一個與 反向的向量，其模等于的模的倍,即=；
(3)當(dāng)=0時, 表示零向量，即 =0。
運(yùn)算規(guī)律
（）=（）=（）。
分配律：
（1）
（2）
向量的數(shù)量積
定義
數(shù)量積又稱為點(diǎn)積或內(nèi)積，是兩個向量的乘積的數(shù)量。已知兩個非零向量，向量和向量的夾角為，則稱為向量與的數(shù)量積。其中，和分別為向量和向量的模，且。向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示為：a·b=x·x'+y·y'。
運(yùn)算規(guī)律
(1)交換律：
(2)分配律：
(3)結(jié)合律：,
向量的向量積
定義
向量積又稱為叉積或外積，是兩個向量的乘積的向量。已知兩個非零向量，設(shè)向量和向量的夾角為，則向量和向量的向量積為，的大小為，其中，和分別為向量和向量的模，為向量和向量的夾角。的方向?yàn)榇怪庇谂c所決定的平面，即且，的指向按右手規(guī)則從轉(zhuǎn)向來確定。
運(yùn)算規(guī)律
(1)反交換律：；
(2)分配律：，；
(3)結(jié)合律：
向量的混合積
定義
設(shè)為任意的三個向量，則稱為三向量的混合積，簡記為，即。
運(yùn)算規(guī)律
。
向量的性質(zhì)
有向線段
向量既有大小也有方向，可用有向線段表示，有向線段是具有方向的線段，它由起點(diǎn)和終點(diǎn)確定。起點(diǎn)為A，終點(diǎn)為B的有向線段用符號 表示。
向量的模
向量的模即為向量的大小，也就是向量的長度，記作。
向量的夾角
向量的夾角就是兩個向量所形成的角，指從同一點(diǎn)引出的與向量方向相同的兩條射線所形成的角，這個角在0°到180°之間。
線性相關(guān)性
設(shè)是上的向量空間，是的任意子集，如果對的某個有限子集，存在中不全為0的實(shí)數(shù)使得，則稱線性相關(guān)。如果對的每個有限子集，中滿足條件的數(shù)，只有=0，則稱線性無關(guān)。
向量的線性組合
向量乘上實(shí)數(shù)的乘積的和，叫做向量帶有系數(shù)的線性組合。
相關(guān)定理
共線向量定理
對空間任意兩個向量，若，則的充分必要條件是存在唯一實(shí)數(shù)，使。
共面向量定理
對兩個不共線的向量，則向量與向量共面的充分必要條件是：存在唯一的一對實(shí)數(shù)x，y，使。
垂直定理
向量的和向量垂直的充要條件是，即 。
分解定理
平面向量分解定理：如果、是同一平面內(nèi)的兩個不平行向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對實(shí)數(shù)，使。
空間向量分解定理：如果三個向量不共面，則對空間任一向量，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組x、y、z，使。
定比分點(diǎn)及中點(diǎn)公式
設(shè)、是平面上的兩點(diǎn)，是線段上不同于、的任意一點(diǎn)。則存在一個任意大于0的實(shí)數(shù) ，使，叫做點(diǎn)分線段所成的比值，點(diǎn)即線段的定比分點(diǎn)。
若， ， ，則， （＞0），這個公式就稱為定比分點(diǎn)公式。
當(dāng)=1時，是的中點(diǎn)，中點(diǎn)公式為，。
三點(diǎn)共線定理
已知是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，存在實(shí)數(shù) ，使得，其中，則平面上的A、B、C三點(diǎn)共線。
重心判斷式
在中，為所在平面上的一點(diǎn)，則則為的重心。
垂心判斷式
在中，為所在平面上的一點(diǎn)，則為的垂心。
內(nèi)心判斷式
在中，為所在平面上的一點(diǎn)，則 為的內(nèi)心。
外心判斷式
在中，若，則為的外心。
此時滿足。
相關(guān)計算公式
常用的向量計算公式見下表：
相關(guān)概念
自由向量
一個向量只要不改變它的大小和方向，它的起點(diǎn)和終點(diǎn)可以任意平行移動的向量，叫做自由向量。自由向量可以平移至空間任意點(diǎn)，這樣一來，若已知向量的大小和方向，則向量就算給出。例如物體運(yùn)動時的速度和加速度就是自由向量，在數(shù)學(xué)中把自由向量，簡稱為向量。
固定向量
固定向量是指具有相同大小和方向的向量，但起點(diǎn)是固定的。固定向量可以看作是指向一點(diǎn)的射線，始終從起點(diǎn)出發(fā)，不改變方向和大小。
位置向量
位置向量是指由一個固定點(diǎn)到其他點(diǎn)的向量，是指在某一時刻，以坐標(biāo)原點(diǎn)為起點(diǎn)，以運(yùn)動質(zhì)點(diǎn)所在位置為終點(diǎn)的有向線段。
方向向量
空間直線的方向用一個與該直線平行的非零向量來表示，該向量稱為這條直線的一個方向向量。直線在空間中的位置， 由它經(jīng)過的空間一點(diǎn)及它的一個方向向量完全確定。
單位向量
單位向量是指模等于1的向量，也就是其長度等于1。若 為任意一個非零向量，則為單位向量。
零向量
長度（向量的模）為0的向量叫做零向量，用或表示。零向量的方向是任意的。
負(fù)向量
如果向量 與向量的模相等且方向相反，那么我們把向量 叫做向量的負(fù)向量。
共線向量
平行向量指相互平行的向量，或經(jīng)過平行移動后能在同一直線上的向量，也稱共線向量。
共面向量
共面向量是一組有特殊位置關(guān)系的向量，指在同一平面的向量，或經(jīng)平行移動后能在同一平面內(nèi)的向量。
相等向量
長度相等且方向相同的向量叫做相等向量，向量 與相等，記作 =。
相反向量
與長度相等、方向相反的向量叫做的相反向量，記作。有-（）=零向量的相反向量仍是零向量。
法向量
如果表示向量的有向線段所在直線垂直于平面a，那么向量 叫做平面a的法向量。平面的法向量可確定平面的方
向。
向量空間
定義
向量空間也稱線性空間，是線性代數(shù)的中心內(nèi)容和基本概念之一。設(shè)是一個非空集合，是一個數(shù)域，如果滿足了以下兩個條件，則 稱為上的線性空間，也稱為向量空間，中的元素稱為向量，中的數(shù)稱為標(biāo)量，若是上的線性空間，可將 記為( )。
1.若在 中定義一種加法，使得可以將 中任意兩個元素 ，相加，得到唯一一個+，這種加法即為向量的加法。
2.若在 中定義了一個數(shù)與元素的一種乘法，使得可以由任意 和任意相乘得到唯一一個 。 與的元素之間的這種乘法也稱為向量的數(shù)乘。
運(yùn)算法則
1.加法交換律：+=+ 對任意，成立。
2.加法結(jié)合律:(+)+ = +(+)對任意，，成立。
3.零向量：存在，使得+=+= 對任意成立，稱為零向量，記作 。
4.負(fù)向量:對任意 ，存在 使+=+=0，稱為的負(fù)向量，記作 -。
5.數(shù)乘對向量加法的分配律：對任意 ， 和，都有(+)= +。
6. 數(shù)乘對標(biāo)量加法的分配律：對任意 和，，都有(+) = + 。
7. 對任意 和， ，都有()=（）。
8. 對任意 和1，都有 1=。
性質(zhì)
若 是數(shù)域上的向量空間，則有以下基本性質(zhì)：
1.向量空間的零向量是唯一的。
2.任一向量的負(fù)向量是唯一的。
3.設(shè)，，則 ==0或=。
4.對任意 有(-1) =-。
應(yīng)用
數(shù)學(xué)應(yīng)用
向量在數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用，可用于解決平面幾何，立體幾何，解析幾何、函數(shù)、代數(shù)等各種數(shù)學(xué)問題，還可利用向量來研究空間中的曲面和直線等問題。
物理學(xué)應(yīng)用
一些與向量有關(guān)的定義亦與物理概念有密切的聯(lián)系，例如向量勢對應(yīng)于物理中的勢能。向量在物理學(xué)中有廣泛應(yīng)用。物理學(xué)中的最重要的物理量矢量就是向量的原型，很多物理量如力、速度、位移以及電場強(qiáng)度、磁感應(yīng)強(qiáng)度等都是向量。向量及其運(yùn)算是物理中矢量及其運(yùn)算的抽象，向量的運(yùn)算法則在物理上可以用來更好地解決物理上的問題，向量知識也是解決物理問題的有利工具，物理問題和現(xiàn)象可以轉(zhuǎn)化為與之相關(guān)的向量問題。
機(jī)械設(shè)計
向量在機(jī)械設(shè)計中有著廣泛的應(yīng)用，比如：針對柔性自由漂浮基座空間機(jī)械臂系統(tǒng)建模的過程中存在的形式復(fù)雜計算量大等問題，通過采用向量對方法，以自由漂浮基座雙連桿柔性機(jī)械臂為研究對象，以單個體的動力學(xué)方程為基礎(chǔ)，分別用相鄰兩個體之間的約束方程，利用拉格朗日乘數(shù)法組裝構(gòu)成系統(tǒng)的動力學(xué)方程，基于向量對方法于柔性空間機(jī)械臂控制系統(tǒng)的設(shè)計。
計算機(jī)圖形
向量是計算機(jī)圖形學(xué)和計算機(jī)視覺中的重要工具，可以用來表示點(diǎn)、線和面的位置和方向，可用于計算光線追蹤、物理模擬、計算機(jī)動畫和計算機(jī)視覺、圖形渲染等領(lǐng)域。在三維計算機(jī)圖形中，物體的位置和方向都可被表示成向量。通過向量的運(yùn)算，可以實(shí)現(xiàn)三維模型的旋轉(zhuǎn)、縮放和平移等操作。
參考資料 >