拉格朗日乘數法（Lagrange 乘法器 Method）是求解函數在一個或多個約束條件下條件極值的方法，其總體求解步驟為：構造拉格朗日函數、求該函數的駐點、判斷該駐點是否為極值點。拉格朗日乘數法的幾何意義是：在二維情況下，目標函數的等值線曲線與約束條件的曲線能相切的切點為函數的極值點。
1753年，法國數學家、天文學家約瑟夫·拉格朗日（Joseph Louis ）閱讀有關艾薩克·牛頓微積分的介紹之后，學習研究的方向便轉移到數學分析上；次年，18歲的拉格朗日獨自推導出求兩個函數乘積的高階求導公式；之后，他通過純分析方法對積分的極值問題進行求解，得到萊昂哈德·歐拉（Leonhard Euler）的肯定和支持。1755年，拉格朗日在解決復雜幾何問題最值問題時正式提出拉格朗日乘數法。
拉格朗日乘數法在很多領域都具有廣泛的應用價值，例如：數學領域中點到平面的距離的證明；經濟學中通過控制人力和資本的數量獲得常量的最優解；工程學中計算巖土工程設計驗算點和可靠指標等。
簡史
拉格朗日乘數法起源于17世紀的變分法，萊昂哈德·歐拉和約瑟夫·拉格朗日的工作奠定了變分法的理論基礎。1753年，約瑟夫·拉格朗日閱讀有關艾薩克·牛頓微積分的介紹之后，學習研究的方向便轉移到數學分析上；次年，18歲的約瑟夫·拉格朗日取得了第一項研究成果，獨自推導出了求兩個函數乘積的高階求導公式；之后他通過純分析方法，對積分的極值問題進行了求解，該方法得到了瑞士數學家萊昂哈德·歐拉的肯定和支持。1755年，約瑟夫·拉格朗日在解決復雜幾何問題最值問題時正式提出拉格朗日乘數法。
方法內容
拉格朗日乘數法（Lagrange 乘法器 Method）是求解函數在一個或多個約束條件下最優化的方法。
當求解任意有限多個自變量的多元函數，在任意有限多個約束條件下的極值問題時：
求函數滿足聯立方程組：的條件極值步驟是：
第一步：作拉格朗日函數；
第二步：求的駐點，即求方程組（共包含個方程）：
的解，設解是
第三步：函數①只可能在這些求出的駐點處取得條件極值，由問題的實際意義，如果函數必存在條件極值，方程組又只有唯一一個駐點⑤，則該點必為所求的極值點。
相關概念
極值和極值點
設函數在區域內有定義，是的內點。若存在的一個鄰域，使得對該鄰域內中任一點，都有，則稱為的一個極大（小）值，稱為極大（小）值點，極大值與極小值統稱為極值，極大值點與極小值點統稱為極值點。
對自變量除了限制在定義域內以外，沒有其他條件限制，稱這類極值為無條件極值；如果除函數定義域外，對自變量還有附加條件，稱這類極值為最優化，拉格朗日乘數法求解的就是函數的條件極值。
極值點的必要條件
設是函數的極值點，則：若在點的偏導數存在，必有；或在點的偏導數至少有一個不存在；該條件印證了方法的第二步，即駐點可能為極值點。
極值點的充分條件
是函數的駐點，在附近具有二階連續偏導數，記，。
當正定時，是極小值點，是極小值；當負定時，是極大值點，是極大值；
當時，不是極值點，不是極值；當時，無法判斷是否為極值點；通過該條件，可確定極值點，這是方法的第三步。
幾何意義
二維解析
設函數沿約束曲線運動，在下圖中，約束條件以藍色的水平曲線顯示，以洋紅色的水平曲線顯示，目標函數的等值線曲線與約束條件的曲線能相切的切點為函數極值點。從圖1中可以看出，約束條件的最大值是，它出現在點，這里的目標函數曲線與約束曲線相切，當點與約束曲線不相切時，會趨向更大的值，直到點；同理，從圖2中可以看出，約束條件的最小值是。
函數受制于約束，在約束局部最優值下，梯度和平行；在點處，， 稱為與約束相對應的拉格朗日乘數。
三維解析
假設在約束曲面上的處具有局部最大值，設是位于約束曲面上的任意參數化曲線，，設，該設置保證在時有最大值。
因為是局部最大值，所以。
因此，通過垂直于約束曲面上的任何曲線，所以垂直于表面，也垂直于表面，最終會落到平行。
推導證明
當求解一個約束條件下的極值問題時：設二元函數和在點的某個鄰域內具有一階連續偏導數，，作拉格朗日函數：。參數稱為拉格朗日乘數，則在約束條件下，二元函數的極值點滿足方程組：
證明：由確定一個連續可導的函數，將其代入得到一元函數，當二元函數在點處取極值時，一元函數在處也取得極值，于是：
對確定的函數，用隱函數求導公式得到：
代入上式后，整理得到等比關系：
令這個比值為，則有：
由于函數在點取得極值時，必有成立。所以函數在點處取得極值的必要條件為：
該方程組中的前兩式的等式左邊分別為函數，在點處對和的偏導數。
舉例
求函數在條件下的極值。
第一：構造拉格朗日函數：
第二：求拉格朗日函數的駐點，解方程：
由(1)-(3)得，，將其代入(4)得；
當時，記；當時，記；
第三：判斷構造函數；
則：
當時，；
當時，；
所以是極小值點，極小值為；
是極大值點，極大值為。
應用
數學應用
解析幾何中有關求解距離的問題，通常可以利用多元函數求解極值的方法來解決，推導點到平面的距離公式時，可以使用拉格朗日乘數法來解決初中階段的距離問題；此外，拉格朗日乘數法還可以應用到偏微分方程中。
幾何應用
證明空間中任意一點到平面的距離為。
證明：設為空間中任意一點，為平面上的任意一點；該問題可以轉化為求兩點間的最小距離。
已知兩點之間距離的平方為，其約束條件為，由拉格朗日乘數法可知，令
解方程組：
由（1）（2）（3）式得:
⑤
⑥
⑦
將結果代入④式整理得：
解得：
將此式分別帶入⑤⑥⑦式中，得到為唯一駐點：
所以，
即，證畢。
偏微分方程應用
定義：設為光滑的有界區域，則定義能量泛函為，記。
定理：設，如果滿足條件，則存在，使得對都成立。
證明：由導數定義，對，有
經濟應用
在經濟學當中比較普遍運用的拉格朗日乘數法來優化馬克思的社會擴大再生產；通過運用拉格朗日函數法，可以判定擴大再生產的目標函數最優值只能夠在定義域邊界點上取得，從而將獲得擴大再生產的最優解析解問題，轉化成目標函數在定義域邊界點上的一些取值比較和判定問題，進而較容易地確定擴大再生產的最優解所處的邊界點，獲得最優解。在經濟學領域拉格朗日乘子還可以代表利益變化率，設是函數在約束條件下的極值，則拉格朗日乘子是相對于的變化率，即。
示例：已知某廠商的生產函數，其中表示勞動力的數量，表示資本數量，表示生產量，每個勞動力與單位資本的成本分別為150元和250元，該生產商預算是50000元，怎樣分配這筆錢用于雇傭勞動力及投入資本，使得產量最大。
解：依題意求函數在約束條件下的最大值。
做拉格朗日函數：
令
因此，該生產商雇傭250個勞動力并投入50個單位資本時，可獲得最大產量。
工程應用
運用拉格朗日乘數法計算巖土工程設計驗算點和可靠指標的方法，適用于任何概率分布的相關變量，不必計算當量正態均值和方差、相關變量獨立變換，也適用于功能函數為高度線性時采用當量正態化法（JC法）計算可靠指標迭代不能收斂的情況。通過建立構造函數，然后求其對各個變量的一階偏導并與結構的功能函數聯立求解出驗算點坐標，之后求出可靠性指標。
示例：設可靠指標為：，具有個正態變量的極限狀態方程為：，將各正態變量標準化：；為變量的均值和標準差，可靠指標標準正態空間計算的數學模型為：
③
令，③可變為在條件下函數的極值求解問題，因此根據拉格朗日乘數法可構造函數：
或
按2~4計算，為某一常數，求式④，對的一階偏導數，并使之為零，然后與方程聯立：
⑤
由方程組⑤可解出和，則就是結構可靠指標為最小值時的坐標即驗算點坐標，再由求解出結構的可靠指標。
參考資料 >
拉格朗日乘數法.術語在線.2023-11-29
Optimization with Constraints The Lagrange Multiplier Method.Simon Fraser University.2023-11-30
Joseph-Louis Lagrange, comte de l’Empire.Encyclopedia Britannica.2023-11-30
3.9: Lagrange Multipliers.LibreTexts libraries.2023-11-30
Physics successfully implements Lagrange multiplier optimization.Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America.2023-11-30
2. Lagrange Multiplier Method.Texas A&M University MYMathApps.2023-11-30
Lagrange Multiplier.Springer.2023-11-30
Proof of Lagrange Multipliers.Massachusetts Institute of Technology.2023-11-30