發散級數（英語：Divergent Series）是指（按奧古斯丁-路易·柯西意義下）不收斂的級數。如級數1+2+3+4+...和1-1+1-1+...，也就是說該級數的部分和序列沒有一個有窮極限。如果一個級數是收斂的，這個級數的項一定會趨于零。因此，任何一個項不趨于零的級數都是發散的。不過，收斂是比這更強的要求：不是每個項趨于零的級數都收斂。其中一個反例是調和級數1+1/2+1/3+1/4+...。調和級數的發散性被中世紀數學家奧里斯姆所證明。在實際的數學研究以及物理、天文等其它學科的應用中，經常會自然地涉及各種發散級數，所以數學家們便試圖給這類發散級數客觀地指派一個實或復的值，定義為相應級數的和，并在這種意義之下研究所涉及的發散級數。
相關介紹
每一種定義都被稱為一個可和法（英語：Summability method），也被理解為一類級數到實數或復數的一個映射，通常也是一個線性泛函，例如尼爾斯·亨利克·阿貝爾可和法、恩納斯托·切薩羅可和法與波萊爾可和法等。
可和法通常保持收斂級數的收斂值，而對某些發散級數，這種可和法和能額外定義出相應級數的和。例如切薩羅可和法將格蘭迪級數1-1+1-1+...可和到1/2。大部分可和法與相應冪級數的解析延拓相關，每個適當的可和法試圖描述的是序列趨于無窮時的平均表現，這種意義下也可以理解為無窮序列的均值。
19世紀前，萊昂哈德·歐拉以及其他數學家廣泛地應用發散級數，但經常引出令人困惑與矛盾的結果。其中，主要的問題是長城歐拉的思想，即每個發散級數都應有一個自然的和，而無需事先定義發散級數的和的含義。奧古斯丁-路易·柯西最終給出了（收斂）級數的和的嚴格定義，從這過后的一段時間，發散級數基本被排除在數學之外了。直到1886年，它們才在亨利·龐加萊關于漸進級數的工作中再次出現。在1890年，恩納斯托·切薩羅意識到可以對一類發散級數的和給出嚴格定義，從而定義了切薩羅和。（這并不是第一次應用到切薩羅和，弗羅貝尼烏斯在1880年曾經使用過；切薩羅關鍵的貢獻并不是發現了這個可和法，而是由于他認為“應當給出發散級數和的精確定義”的思想。）在切薩羅的論文發表的后一年，其他的一些數學家陸續給出了發散級數和的其他定義，不過這些定義并不總是相容的：不同的定義可能對相同的發散級數給出不同的和。所以，當提及發散級數的和時，需要具體指明所使用的是哪個可和法，盡管大部分常用的可和法某種意義上是彼此相容的。
收斂級數映射到它的和的函數是線性的，從而根據哈恩-巴拿赫定理可以推出，這個函數能擴張成可和任意部分和有界的級數的可和法，這個事實一般并不怎么有用，因為這樣的擴張許多都是互不相容的，并且也由于這種算子的存在性證明訴諸于選擇公理或它的等價形式，例如佐恩引理，所以它們還都是非構造的。
發散級數這一分支，作為數學分析的領域，本質上關心的是明確而且自然的技巧，例如尼爾斯·亨利克·阿貝爾可和法、恩納斯托·切薩羅可和法、波萊爾可和法以及相關對象。維納陶伯型定理的出現標志著這一分支步入了新的階段，它引出了傅里葉分析中巴拿赫代數與可和法間出乎意料的聯系。
發散級數的求和作為數值技巧也與插值法和序列變換相關，這類技巧的例子有：帕德近似、Levin類序列變換以及與量子力學中高階微擾論的重整化技巧相關的依序映射。
可和法通常關心的是級數的部分和序列。有時這個序列并不收斂，但經常能發現，從序列首項起，逐個取越來越多的項的平均，得到的均值列可以是收斂的，可以用這個均值列的極限取代原本的概念，用以表示相應級數的和。所以通常為了得到級數 a0 + a1 + a2 + ...的和，會從序列s出發考慮，其中s0 = a0，sn+1 = sn + an+1，其中在收斂的情形下，序列s趨于某個極限a。每個可和法也能被理解為一類級數的部分和序列到實數或復數的一個映射，在這種理解下，可以通過考慮將相應級數映射到相同的值的映射，將其化為級數可和法 AΣ，反之亦然。這些可和法通常需要遵循或者擁有一類自然的性質，使得它們在應用上如同極限的概念一樣，更容易推出一般性的結論。
正則性. 稱可和法A為正則的，是指對每個收斂到x的序列s，有A(s) = x。等價地說，相應的級數可和法總會給出AΣ(a) = x。
線性. 稱可和法A為線性的，是指它作為(部分和)序列上的函數是一個線性泛函，因此對序列r、s與實或復的標量k有A(k r + s) = k A(r) + A(s)。 由于級數a的項an+1 = sn+1 ? sn是一族關于序列s的線性泛函，反之亦然，所以這也等價于說 AΣ是作用在級數的項序列上的線性泛函。
穩定性 (也被稱為可移性).若s是從s0開始的序列，并且s′是通過刪去s的首項并在余下每一項減去s0得到的序列，也就是s′n = sn+1 ? s0，則A(s)有定義當且僅當A(s′)有定義，并且A(s) = s0 + A(s′)。 等價地說，只要對每個n有a′n = an+1，那么AΣ(a) = a0 + AΣ(a′)。對此的另一種表述是，在這個可和法下可和的級數都滿足移位法則。
有許多可和法都滿足比正則性更強的全正則性，例如恩納斯托·切薩羅和。
全正則性.倘若可和法不僅正則，還將每個發散到正無窮的序列可和到正無窮，發散到負無窮的序列可和到負無窮，則稱這個可和法是全正則的。
這種性質是將正則性與廣義實數結合考慮后所自然產生的，換句話說，并不將通常意義下的發散到正無窮的級數視作沒有極限的，而是視作以正無窮為“極限”。例如一個可和法將1+2+3+4+...可和到-1/12，那么它一定不是全正則的。類似的，也可以在納入廣義實數考慮的情形下，借助廣義實數間的運算法則定義出類似意義下的線性。
第三個性質不那么重要，對一些重要的可和法而言，例如波萊爾可和法，可能會沒有這種性質。應該注意到的是，這里并沒有希望所考慮的可和法定義在每個實序列或者有界實序列上，這是因為大部分有力的可和法也無法滿足這種性質。倘若希望討論額外滿足這種性質的可和法，例如巴拿赫極限，需要證明這種可和法的存在性，這將會涉及哈恩-巴拿赫定理。
還可以給出比穩定性稍弱一點的條件。
有限可重排性.若 a和a′是兩個級數，之間存在一個雙射 f:? → ? ，使得ai = a′f(i)對每個 i成立，還存在N∈?使得對每個i > N都有ai = a′i，則 AΣ(a) = AΣ(a′)。(換句話說，a′和a只要重排有限項后便是同一個級數)注意到這是比穩定性要弱的條件，因為每個遵循穩定性的可和法也會遵循有限可重排性，但反過來并不正確。
對于兩個不同的可和法A和B，會希望它們能享有相容性：稱A和B為相容的，是指對兩個可和法下都可和的序列s而言，有A(s) = B(s)。如果兩個可和法是相容的，并且其中一個能可和的級數多于另一個，便把能可和得更多的那個稱為更強的。
有一些有力的數值可和法既不正則也不線性，例如一些非線性的序列變換，像是Levin類序列變換和帕德近似，以及基于重整化技巧中微公司擾級數的依序映射。
倘若將正則性、線性和穩定性視作公理，那么通過基本的代數操作便能對許多發散級數求和。這部分地解釋了不同的可和法對一類級數總給出同一個值的原因。
例如，對于公比r≠1的幾何級數，假定在某個符合以上三條的可和法下都是可和的，便可得到
G(r,c)=∑k=0∞crk
=c+∑k=0∞crk+1
=c+r∑k=0∞crk
=c+rG(r,c),
G(r,c)=c1?r.
值得一提的是，這里G(r,c)所滿足的方程x=c+rx，在r>1時也可理解為以∞為另一個解，所以在這種意義下便不能斷言c1?r是唯一的解。更嚴格地說，每個遵循這些性質，并且將相應幾何級數可和到有限值的可和法，一定將其可和到這個值。進一步的，當r是大于1的實數時，部分和遞增且無界，從而在之前所說的平均法下，以正無窮為和。
常規收斂和絕對收斂是級數在傳統意義下的兩個可和法，這里只是出于完整性的考慮才加以討論；嚴格來說，它們并不算是發散級數的可和法，這是因為只有當這些可和法失效時，才說一個級數發散。大部分發散級數的可和法都是這兩個可和法在更大一類序列上的延拓。
奧古斯丁-路易·柯西對級數a0 + a1 + ...的和的經典定義為部分和序列a0 + ... + an的極限。通過兩個實數之間加法運算的定義，再依據數學歸納法，不難自然地定義出有限個實數間的加法。但是有限個實數間的加法有定義并不意味著能直接地導出級數的和的定義，因為此時并沒有定義無限項相加的概念，只有借助極限進行額外定義才能明確級數的和的概念。
給定收斂到s的收斂級數a，倘若任意置換級數a的項得到級數a′后，a′收斂也總是收斂到s，則稱級數a是絕對收斂的。在這個定義之下可以證明，一個級數收斂當且僅當取它每一項絕對值后得到的新級數在經典意義下收斂。有些地方會將后者作為絕對收斂的定義，但由于不涉及絕對值的概念，所以前者的定義更有一般性。
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