可分多項式是一類重要的多項式，指既約因式在任意擴域內無重根的多項式。設f(x)是域F上次數大于零的多項式，若f(x)的每個既約因式在F的代數閉包內沒有重根，則稱f(x)為可分多項式；否則，稱為不可分多項式。既約多項式f(x)是不可分多項式的充分必要條件為f′(x)=0。特征為零的域上任何既約多項式均為可分多項式。特征為p>0的域上既約多項式f(x)是不可分多項式的充分必要條件為存在某個h(x)使得f(x)=h(x^p)。
定義
可分多項式在不同的作者的書下有兩個略微不同的定義。最常見的一個定義是：當在一個給定域K上的多項式P(X)在K的代數閉包中有不同的根時，稱多項式為可分的。換言之它的互異根的數量需要等于多項式的次數。在多項式因式分解的觀點下，這樣的多項式是無平方多項式。第二個定義，當P(X)在K[X]中的每個不可約因子在K的代數閉包中的根互不相同，此時稱P(X)是可分的。這意味著每個不可約因子是無平方項的。在這個定義中，可分性依賴于K，比如任何一個不可分的不可約多項式P在它的分裂域上都變成可分的了。并且在這個定義下，每個完美域上的多項式是可分的，這包含了0特征域和所有有限域。兩個定義對于K上不可約多項式是等價的，這個被用來定義域K的可分擴張。在條目的余下部分只用第一個定義。一個多項式可分當且僅當它與它的形式導數P'(X)互質。
域的可分擴張
可分多項式被用于定義可分擴張：一個域擴張K?L是一個可分擴張當且僅當對任意的代數元α∈L，α在K上的極小多項式是可分多項式。不可分擴張只可能在特征為p的域上出現。由定義可以立馬得到如果P是不可約的并且不可分，那么P'(X)=0。因此必須有P(X) = Q(X^p)對某個K上多項式Q成立，當中p是K的特征。例如，P(X) = X^p ? T，其中K是在有限域F_p上的不定元T的有理函數組成的域，可以直接證明P(X)是不可約的，并且不可分。這是為什么不可分性需要被強調的一個例子；用幾何的語言來說，P代表了有限域上的一個射影直線，將坐標取p次冪。這樣的映射對有限域上的代數幾何是基礎的。若L是域擴張K(T^(1/p))，即P的分裂域，則L/K是一個純不可分域擴張的例子。它的次數是p，但是除了恒等映射沒有保K不變的態射，因為T^(1/p)是P的唯一一個根。這直接證明了伽羅華理論在這里不適用。一個沒有此類擴張的域稱為完美域。可以證明L和它自己在K上的張量積有非零的冪零元。這又一次證明了不可分性：這是說域上的張量積操作不需要形成一個域的積環（因此沒有交換的半單環）。
應用
若P(X)是可分的，且它的根形成了一個群（域K的子群），則P(X)稱為一個加性多項式。可分多項式常在埃瓦里斯特·伽羅瓦理論中出現。例如，令P是一個整系數不可約多項式而p是一個不整除P首項系數的素數。Q是有限域F_p上的上由P模p約化而來的多項式。則若Q可分則Q不可約因子的次數是P的伽羅華群的某個置換的長度。另一個例子是，P同上，一個群G的預解式R是一個系數為p為系數的多項式的多項式，R提供了關于P的伽羅華群的信息。更準確的說，若R是可分的并且有有理根則P的伽羅華群包含于G。例如若D是P的判別式，則X^2-D是隔行掃描群的預解式。當P是可約的這個預解式總是可分的，但是大多的預解式是不可分的。
參考資料 >