位勢(shì)的概念來(lái)源于物理學(xué)中的萬(wàn)有引力理論。它同黎曼曲面論、偏微分方程、調(diào)和分析、概率論等數(shù)學(xué)分支也有著緊密的聯(lián)系。
正文
位勢(shì)的概念來(lái)源于物理學(xué)中的萬(wàn)有引力理論。因?yàn)槲粍?shì)在不分布質(zhì)量的地方是調(diào)和的，所以關(guān)于狄利克雷問(wèn)題的研究一直是位勢(shì)論中的一個(gè)重要內(nèi)容。由于（G.F.）B.伯恩哈德·黎曼把位勢(shì)論和函數(shù)論統(tǒng)一處理，以及現(xiàn)代分析的基礎(chǔ)理論（如泛函分析、測(cè)度論、廣義函數(shù)、拓?fù)鋵W(xué)等）在位勢(shì)論中的深入應(yīng)用，位勢(shì)論成了數(shù)學(xué)領(lǐng)域內(nèi)比較徹底地完成了現(xiàn)代化變革的一個(gè)分支。它同黎曼曲面論、偏微分方程、調(diào)和分析、概率論等數(shù)學(xué)分支也有著緊密的聯(lián)系。
基本概念和主要原理 設(shè)Ω是n維(n≥2)歐幾里得空間Rn中的一個(gè)區(qū)域,μ是拉東測(cè)度(以下簡(jiǎn)稱測(cè)度，若μ是非負(fù)的，也用μ≥0表示),它的支柱S(μ)Ω，K(x,y)是定義在Ω×Ω上的廣義實(shí)值函數(shù)，那么
稱為測(cè)度μ 的K位勢(shì)。K(x,y)則稱為位勢(shì)U(x)的核函數(shù)。
用|·|表示Rn中的范數(shù)，當(dāng)
時(shí)，U(x)稱為平面上的對(duì)數(shù)位勢(shì)。當(dāng)Ω=Rn(n≥3),0<α
對(duì)Rn里的兩個(gè)測(cè)度μ和v,把
稱為μ，v的α相互能量。特別稱Iα(μ)=Iα(μ,μ)為μ的α能量。
把支柱包含在緊集K中且總質(zhì)量等于1的非負(fù)測(cè)度全體記作，令則稱為緊集K的α容量。對(duì)任意集合E，把稱為E的α內(nèi)容量，把
稱為E的α外容量。若Cα(E)=α(E)，則說(shuō)E是α可定容的。G.紹凱證明了所有解析集，從而所有的波萊爾集是α可定容的。
當(dāng)Cα(E)=0（或婔α(E)=0）時(shí)，稱E為α內(nèi)（或外）零容集。一個(gè)性質(zhì)若除了一個(gè)α內(nèi)零容集外處處成立，則說(shuō)該性質(zhì)近乎處處成立；若除了一個(gè)α 外零容集外處處成立，則說(shuō)該性質(zhì)似乎處處成立。對(duì)任意零容的緊集K都有v(K)=0的測(cè)度v稱為C絕對(duì)連續(xù)測(cè)度。
集合E稱為α極集，若存在測(cè)度μ≥0,其α位勢(shì)在且僅在E上等于+∞。E是α極集的充要條件是:E為α零容的GΛ集。
對(duì)緊集K，關(guān)于渾收斂拓?fù)涫蔷o的，從而存在使
稱為K的α平衡測(cè)度，它滿足:(v(1)是v的總質(zhì)量)。它的位勢(shì)Uǎ(x)稱為K的α平衡位勢(shì)α它滿足：在S(v)處處成立而在K上近乎處處成立。特別當(dāng)0<α≤2時(shí)，由第一極大值原理知在Rn處處成立。
對(duì)任意集E,當(dāng)Cα(E)<∞（或婔α(E)<∞）時(shí)有相應(yīng)的內(nèi)(外)平衡測(cè)度。當(dāng)0<α≤2,α
由于測(cè)度的α能量非負(fù)，所以能量有限的測(cè)度全體在通常的線性組合的意義下，以Iα(μ，v)為內(nèi)積構(gòu)成一個(gè)實(shí)的準(zhǔn)希爾伯特空間εα,其中非負(fù)測(cè)度全體ε是εα的一個(gè)完備凸錐。若K緊，那么支柱含于K中的具有限α能量的非負(fù)測(cè)度全體ε(K)是ε的完備凸子錐，因此ε的任何元素μ在ε(K)上有惟一的正交投影βKμ，即滿足當(dāng)0<α≤2時(shí)，βKμ是掃除問(wèn)題的解，即βKμ滿足：在Rn處處成立且等號(hào)在K上似乎處處成立。
若不假定μ≥0的能量有限，則存在惟一的支柱含于K的測(cè)度βKμ使得方程
對(duì)任意λ∈ε成立且βKμ是掃除問(wèn)題的解。
當(dāng)0<α≤2,α
設(shè)εx是在點(diǎn)x的保羅·狄拉克測(cè)度，則βEεC稱為E的α格林測(cè)度。對(duì)任意測(cè)度μ,。當(dāng)x0∈唕且時(shí)，稱x0為E的α正則點(diǎn)，當(dāng)x0∈唕而時(shí)，稱x0為E的α非正則點(diǎn)。
開集Ω的邊界記作дΩ,余集記作CΩ,稱 為Ω的α格林函數(shù)。以喬治·格林函數(shù)為核的位勢(shì)叫做格林位勢(shì)。當(dāng) α=2時(shí)，對(duì)任意的波萊爾集E吇дΩ，由定義的дΩ上的測(cè)度ωy稱為關(guān)于y的調(diào)和測(cè)度，其中XE表示E的特征函數(shù)。
當(dāng)2<α 用ε宎表示單位質(zhì)量在以y為球心，r為半徑的球面的均勻分布。若函數(shù)?在Ω里下半連續(xù)且滿足 ① ② 對(duì)任何x∈Ω,存在正數(shù)ρ使對(duì)任意正數(shù)r<ρ有 則稱?在Ω里超調(diào)和。不恒等于+∞的超調(diào)和函數(shù)稱為上調(diào)和函數(shù)。若-?上調(diào)和，就說(shuō)?下調(diào)和，既上調(diào)和又下調(diào)和的函數(shù)叫調(diào)和函數(shù)。 當(dāng)2≤α , 這里μ|Ω1表示μ在Ω1的限制，在Ω1里調(diào)和。 當(dāng)0<α<2時(shí)，α位勢(shì)不是上調(diào)和函數(shù)。但當(dāng)U(x)是μ幾乎處處有限時(shí)，它是α上調(diào)和函數(shù)。一個(gè)函數(shù)稱為α上調(diào)和函數(shù)，指的是滿足下面條件的非負(fù)的不恒為+∞的下半連續(xù)函數(shù)： ① ②式中 如果在x0的一個(gè)鄰域內(nèi)連續(xù)的函數(shù)滿足條件①且對(duì)充分小的r恒有 則稱?(x)在x0是α調(diào)和的。若?(x)在集Ω上點(diǎn)點(diǎn)α調(diào)和，則稱?在Ω里α調(diào)和。對(duì)于α上調(diào)和函數(shù)，同樣也有類似的里斯分解定理。 對(duì)上調(diào)和函數(shù)的連續(xù)性的研究導(dǎo)致細(xì)拓?fù)涓拍畹囊搿閿⑹龇奖悖卜Q上調(diào)和函數(shù)為2－上調(diào)和函數(shù)。用E┡表示集E的極限點(diǎn)全體，若x0E┡或x0∈E┡且存在α上調(diào)和函數(shù)u(x)使 成立，則稱E在x0是α瘦的。E在x0是α瘦的充要條件是x0媂唕或x0是E的α非正則點(diǎn)。 若E的余集在x0為α瘦則說(shuō)E在x0是α肥的。若E在E的每一點(diǎn)都是α肥的，則說(shuō)E是一個(gè)α肥集。α肥集全體構(gòu)成Rn里一個(gè)拓?fù)洌Q為α細(xì)拓?fù)洹?-瘦和2-細(xì)拓?fù)渫ǔ７謩e稱為瘦和細(xì)拓?fù)洹ｉ_集必為α肥集，α細(xì)拓?fù)浔韧ǔＭ負(fù)浼?xì)。此外，當(dāng)α<α┡時(shí),α細(xì)拓?fù)鋰?yán)格細(xì)于α┡細(xì)拓?fù)洌沪良?xì)拓?fù)涫鞘顾笑辽险{(diào)和函數(shù)（包括α位勢(shì)）都連續(xù)的最粗拓?fù)洹Ｔ讦良?xì)拓?fù)湎碌臉O限叫α細(xì)極限。對(duì)α細(xì)拓?fù)?α細(xì)極限與不相切極限的關(guān)系，J.L.杜布等人曾有深入的研究。 第一極大值原理? 當(dāng)0<α≤2,μ≥0時(shí)，若U(x)≤M，μ幾乎處處成立，則該不等式處處成立。 當(dāng)2<α 廣義極大值原理? 當(dāng)0<α 第二極大值原理? 又稱控制原理。設(shè)μ≥0是能量有限的測(cè)度，λ≥0是任意測(cè)度，若μ幾乎處處成立，則該不等式處處成立。 當(dāng)0<α<2時(shí)，若U(x)關(guān)于μ≥0幾乎處處有限,?(x)是α上調(diào)和函數(shù)，且U(x)≤?(x)，μ幾乎處處成立，則該不等式處處成立。 惟一性原理? 設(shè)0<α 下包絡(luò)原理? 設(shè)0<α≤2，則對(duì)任意兩個(gè)非負(fù)測(cè)度μ，v存在測(cè)度λ，使 連續(xù)性原理? 若把U(x)看作支柱S(μ)上的函數(shù)時(shí)是取有限值的連續(xù)函數(shù)，那么U(x)在整個(gè)空間上也連續(xù)。 能量原理? 對(duì)任意測(cè)度μ，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)μ =0。 掃除原理? 當(dāng)0<α≤2時(shí)，對(duì)任意α容量有限的波萊爾集E和具有限位勢(shì)的測(cè)度μ≥0,掃除問(wèn)題有解，即存在支柱在唕的測(cè)度βEμ使在E上似乎處處有 且在Rn處處有。 狄利克雷問(wèn)題 廣義形式可敘述為：若Rn的區(qū)域Ω的邊界дΩ是緊的，對(duì)дΩ上的函數(shù)?,是否存在惟一的函數(shù)u在Ω里調(diào)和且對(duì)每一個(gè)正則邊界點(diǎn)y滿足： 且當(dāng)Ω是無(wú)界區(qū)域時(shí)， 下面采用的佩隆方法是解這個(gè)問(wèn)題的最有效工具，它是歷史上有名的施瓦茲交錯(cuò)法及亨利·龐加萊掃除法的發(fā)展與精密化。 令（當(dāng)Ω無(wú)界時(shí)還要求），記 那么H?≤啛?。當(dāng)此式等號(hào)成立且僅取有限值時(shí)稱?是可解的。?可解的充要條件是對(duì)于每個(gè)x∈Ω,?關(guān)于дΩ的調(diào)和測(cè)度ωx可積分。這時(shí)就是所要求的惟一解。特別，若?連續(xù)則必可解，而且，y∈дΩ為正則邊界點(diǎn)的充要條件是對(duì) дΩ上的每個(gè)連續(xù)函數(shù)?有。 在一定條件下，也可以考慮關(guān)于α調(diào)和函數(shù)的狄利克雷問(wèn)題。 當(dāng)0<α≤2，α 狄利克雷原理 設(shè)D0是Rn的有界區(qū)域Ω上的連續(xù)可微且梯度平方可積的函數(shù)全體。在 D0定義內(nèi)積<>記,則依等價(jià)關(guān)系“～”得到的商空間 D 是準(zhǔn)希爾伯特空間。若?∈D0且有界并可連續(xù)地開拓到捙，則狄利克雷問(wèn)題的解H?滿足:,這里H表示D0中的調(diào)和函數(shù)全體所組成的D的子希爾伯特空間，即H?是?在H上的正交投影。 德尼用廣義函數(shù)證明，D的完備化是由下述BLD函數(shù)?組成的：?似乎處處有限且D0中有子列似乎處處收斂于?。若?是有界區(qū)域Ω1(捙)上的BLD函數(shù)，則在Ω上,H?存在且除了一個(gè)附加常數(shù)外是惟一的使 ‖u-?‖達(dá)到極小的BLD函數(shù)，也是惟一的在Ω里調(diào)和并且可由?開拓成Ω1上的BLD函數(shù)的函數(shù)。 上述結(jié)果都可以推廣到ε空間的相對(duì)緊的子區(qū)域上去。 格林空間與格林函數(shù) 連通的豪斯多夫空間Ω若滿足下面條件則稱之為ε空間:Ω的每一點(diǎn)x有一個(gè)開鄰域Vx連同一個(gè)把Vx變Rn上的一個(gè)開子集的同胚yMx(y),并且任何兩個(gè)這樣的鄰域VC與Vy的交VC∩Vy在相應(yīng)的兩個(gè)同胚變換下是保距的（當(dāng)r≥3）或共形的(當(dāng)n＝2)。于是作為局部性概念的調(diào)和、超調(diào)和、上調(diào)和函數(shù)等可在ε空間Ω上相應(yīng)地定義。更一般地，也可以用n代替上述Rn來(lái)定義ε空間。這種廣義ε空間將有若干無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)。 若ε空間Ω上存在正的非常數(shù)的上調(diào)和函數(shù)，則稱Ω為喬治·格林空間。例如Rn(n≥3)及Rn的任何有界子區(qū)域都是格林空間,R2是ε空間而不是格林空間。格林空間Ω上必存在滿足下列條件的函數(shù)Gx(y)，稱之為以x∈Ω為極的格林函數(shù)：①Gx(y)>0；②在Ω\{x}上,Gx(y)調(diào)和；③存在x的鄰域V(嶅Vx)使得對(duì)每個(gè)y∈V，若記y┡=Mx(y),則式中K為α=2時(shí)的核函數(shù)，u調(diào)和。 由于Gx(y)=Gy(x),故記作G(x,y)=G(y,x)。 稱G(x，y)dμ(x)(μ≥0)為格林位勢(shì)。它或恒為+∞，或是個(gè)以0為最大調(diào)和下屬的上調(diào)和函數(shù)。 最一般的抽象邊界與CC緊致化 在非空集合Ω上賦予拓?fù)洇樱O(shè)I是任一非空號(hào)標(biāo)集，若i∈I,Ω的開子集族Bi為Ω的濾基，則I可成為Ω的鑲上去的抽象邊界，因?yàn)樵讦浮菼上存在滿足下述條件的拓?fù)洇?：①Ω∈τ1；②τ1在Ω的誘導(dǎo)（相對(duì)）拓?fù)湔檬铅樱虎勖總€(gè)i∈I的鄰域系與Ω 的交構(gòu)成由Bi生成的濾子。這樣的拓?fù)渲凶罴?xì)者在I上誘導(dǎo)出離散拓?fù)洌欢畲终弋?dāng)I是Ω上抽象調(diào)和函數(shù)凸錐的極端母線全體時(shí)就稱為極小細(xì)拓?fù)洹?/p> 在實(shí)用中，常據(jù)在Ω上所考慮的函數(shù)族的性質(zhì)來(lái)引入邊界且保證Ω鑲邊后是緊的。康斯坦丁斯庫(kù)－科尼緊致化定理即若Ω是非緊的局部緊的豪斯多夫空間,φ是一族從Ω到【-∞，+∞】的連續(xù)函數(shù)，則存在惟一（至多相差一個(gè)同胚）的緊空間滿足：①Ω在惂中是開的且在惂中稠密；②φ中每個(gè)函數(shù)?能開拓成惂上的連續(xù)函數(shù)弮;③弮?nèi)w能辨別理想邊界Δ=惂\Ω。 惂也可看成關(guān)于Ω上的這樣的一致結(jié)構(gòu)的完備化空間：它是使得φ中每個(gè)函數(shù)都一致連續(xù)且相應(yīng)的一致拓?fù)渑cΩ原有拓?fù)湎嗳莸淖畲值囊恢陆Y(jié)構(gòu)。 作為應(yīng)用，適當(dāng)選取φ 可以得到如下位勢(shì)論中常用的緊致化。 亞歷山德羅夫單點(diǎn)緊致化? 這時(shí)φ為空集。 斯通－切赫緊致化? 這時(shí)φ 是Ω上的所有廣義實(shí)值連續(xù)函數(shù)。 凱雷克亞托－斯托伊洛夫緊致化? 這時(shí)φ 由這樣的實(shí)值連續(xù)函數(shù)?組成：在Ω中有緊子集K?使得Ω\K?是一些區(qū)域之并集且在每個(gè)區(qū)域上?取常數(shù)值。 羅伊登緊致化? 這時(shí)Ω是ε空間，φ 是所有實(shí)連續(xù)的BLD函數(shù)。 倉(cāng)特善緊致化? 這時(shí)Ω是ε空間，φ 是滿足下述條件的實(shí)連續(xù)BLD函數(shù)?全體：Ω有閉子集F?使得?在Ω\F?里調(diào)和且在那些于F?上取值等于?的BLD函數(shù)中,?的狄利克雷積分（即‖?‖D）達(dá)到最小。 馬丁緊致化? 是位勢(shì)論中重要的一種緊致化。 馬丁空間與馬丁邊界 為紀(jì)念R.S.馬丁，將喬治·格林空間Ω相對(duì)于函數(shù)族 （y0∈Ω任意取定）的CC緊致化空間惂 稱為馬丁空間；Δ＝惂\Ω稱為馬丁邊界。所有函數(shù)xм→K(x,y)(y∈Ω),在惂都有連續(xù)的開拓且能辨別Δ。惂可度量化。Rn的一般區(qū)域的歐氏邊界與Δ全然不同；但當(dāng)Ω是球或其他較為正則的區(qū)域時(shí)，惂等同于Ω的歐氏閉包；對(duì)R2的單連通格林區(qū)域，Δ等同于卡拉西奧多里分歧邊界。 調(diào)和函數(shù)u>0稱為極小調(diào)和函數(shù)，指的是任何不大于u的正調(diào)和函數(shù)必與u成比例。若u極小調(diào)和，必存在x∈Δ使得u(y)=u(y0)·K(x,y)。稱這樣的X 為Δ的極小點(diǎn)。極小點(diǎn)全體Δ1是 GΛ集。對(duì)任一非負(fù)調(diào)和函數(shù)u必存在唯一的分布在Δ1上的拉東測(cè)度μ使得凬y∈Ω， 稱此式為馬丁積分表現(xiàn)，其右端是雙層位勢(shì)的推廣。它促使了著名的關(guān)于凸錐的極端點(diǎn)的紹凱定理的產(chǎn)生并且后者反過(guò)來(lái)簡(jiǎn)化了前者的證明。 對(duì)馬丁邊界同樣可考慮狄利克雷問(wèn)題，可討論一個(gè)集在X ∈Δ1的瘦與肥并進(jìn)而把Ω上的細(xì)拓?fù)溟_拓到Ω∪Δ1。對(duì)任意上調(diào)和函數(shù)u>0及調(diào)和函數(shù)h>0，u/h在Δ1上至多除去一個(gè)h零測(cè)集外處處有細(xì)極限，這是杜布對(duì)著名的法圖定理即球內(nèi)的正調(diào)和函數(shù)在邊界上幾乎處處有不相切極限的重大推廣。 馬丁緊致化有許多推廣的形式。例如，當(dāng)考慮的函數(shù)族是由某一橢圓型方程（特別是Δu＝pu）在Ω上的格林函數(shù)G┡(x,y)的商 （e(x)為確定的有界正解）組成時(shí)，可得到橢圓馬丁邊界Δ┡，并進(jìn)而可研究Ω的橢圓維數(shù)，所考慮的方程的解空間的結(jié)構(gòu)以及Δ┡與其他邊界的關(guān)系等。 馬丁邊界可翻譯成概率的語(yǔ)言并在隨機(jī)過(guò)程論中得到應(yīng)用與推廣。 局部緊阿貝爾群上位勢(shì)論 由于拓?fù)鋵W(xué)和代數(shù)學(xué)，特別是群上傅里葉分析的發(fā)展，使這種群上的位勢(shì)論取得了豐富的成果。 設(shè)G是局部緊尼爾斯·阿貝爾群，若對(duì)G上一個(gè)測(cè)度網(wǎng)(μα)α∈A，存在一測(cè)度μ，使對(duì)任意?∈Cc。（支柱緊的連續(xù)函數(shù)全體），均有，則稱(μα)α∈A渾收斂于μ。 若G上一正測(cè)度集合 ( μt)t>0, 滿足以下條件：① μt(G)≤1，t>0;②,s>0；③渾收斂于保羅·狄拉克測(cè)度ε0；④渾積分存在，則稱(μt)t>0是G上一個(gè)遷移測(cè)度卷積半群。K=稱為它所對(duì)應(yīng)的位勢(shì)核。若測(cè)度 ， 則測(cè)度K*σ就稱為K位勢(shì)。 一個(gè)正測(cè)度ξ稱為關(guān)于(μt)t>0是過(guò)度的，若對(duì)所有t>0,ξ是μt上調(diào)和，即μt*ξ ≤ξ;一個(gè)正測(cè)度ξ 稱為關(guān)于(μt)t>0是不變的，若對(duì)所有t>0，ξ是μt調(diào)和的，也就是μt*ξ=ξ。每一個(gè)K位勢(shì)必為過(guò)度測(cè)度；反之，每一個(gè)過(guò)度測(cè)度必是單調(diào)增加K位勢(shì)網(wǎng)的渾極限。對(duì)過(guò)度測(cè)度ξ，里斯分解定理成立，也就是ξ=K*σ+η，σ∈D+(K)；η是不變測(cè)度。 若,其中正測(cè)度μ 滿足μ(G)≤1,μn是n重卷積,μ0＝ε0 則稱v為基本核。若K為位勢(shì)核，則λK+ε0，λ>0,必為基本核。基本核對(duì)所有開集滿足掃除原理，所以位勢(shì)核K對(duì)所有開集也滿足掃除原理。 若ω是開集，ξ是過(guò)度測(cè)度，測(cè)度是過(guò)度測(cè)度，在稱為ξ在ω上的簡(jiǎn)化測(cè)度。對(duì)簡(jiǎn)化測(cè)度，里斯分解定理仍成立。利用簡(jiǎn)化測(cè)度可證明平衡分布原理和正質(zhì)量原理；也就是若σ1，σ2∈D +（K），且,則有σ1(G)≤σ2(G)。在1978年，還證明了電容器原理，即若ωG是G上哈爾測(cè)度,Ω0，Ω1是一對(duì)開集 捙0∩捙1=═, 且捙0是緊的，那么存在正測(cè)度 μ0,μ1∈D+(K)，使得滿足：①0≤ξ ≤ωG；②ξ =ωG在Ω0；③ξ =0在Ω1；④支柱 。 關(guān)于位勢(shì)核K在理想邊界的性質(zhì)，能量有限復(fù)測(cè)度空間的完備化以及廣義函數(shù)的引入等，都有了一系列很好的結(jié)果。 如果把上述遷移測(cè)度卷積半群 (μt)t>0所滿足的條件①、③放寬為渾收斂于μs,t,s>0和μ0=ε0,測(cè)度就稱為亨特核。亨特核滿足掃除原理和推廣的電容器原理。 設(shè)x為局部緊豪斯多夫空間，ξ 為x上一個(gè)處處稠密正拉東測(cè)度（對(duì)任意非空開集ω,ξ(ω)>0）,由x上一族局部ξ可積的復(fù)函數(shù)u(x)組成的希爾伯特空間D＝D(x，ξ)，若滿足下列三條公理：①對(duì)任一緊集K,存在一數(shù)A(K)>0，使得;②Cc∩D在D中和Cc中稠密；③對(duì)復(fù)平面上每一個(gè)正常收縮映射T和任一u∈D,有Tu∈D,且‖Tu‖≤‖u‖,則稱D(x,ξ)為ξ狄利克雷空間。若對(duì)u∈D，存在一拉東測(cè)度μ,使得,φ∈Cc∩D,則稱u為μ的位勢(shì)。在ξ 狄利克雷空間中，也有相應(yīng)的電容器原理、平衡分布原理和掃除原理等。 公理化位勢(shì)論 由于位勢(shì)論的大部分結(jié)果都可由其狄利克雷問(wèn)題、極值原理和收斂性質(zhì)三個(gè)基本原理導(dǎo)出，且為了適應(yīng)偏微分方程和隨機(jī)過(guò)程的需要，公理化位勢(shì)論，即調(diào)和空間理論迅速地發(fā)展起來(lái)，它提供了統(tǒng)一處理問(wèn)題的方法。從50年代起，G.L.陶茨、杜布和M.布雷洛特等在這方面做了開創(chuàng)性的工作，C.康斯坦丁斯庫(kù)和A.科尼在70年代初期建立了一般調(diào)和空間理論。 一般公理系統(tǒng)? 又稱康斯坦丁斯庫(kù)－科尼公理系統(tǒng)。在一個(gè)局部緊、第二可數(shù)的豪斯多夫空間X 的每一開集U上，給出一個(gè)由一族不取值－∞的下半連續(xù)函數(shù)組成的凸錐U(U)，所有這些函數(shù)的全體構(gòu)成x上的一個(gè)函數(shù)簇U。拓?fù)淇臻gx上的函數(shù)簇是指定義在x的開集上滿足下列條件的一個(gè)映射U：①對(duì)于x的任意開集U，U(U)是U上的函數(shù)集；②對(duì)于X 的任意開集U，V，U吇V,若?∈U(V)，則?|U∈U(U)；③對(duì)于x的任意開集族(Uα)α∈A，一個(gè)上的函數(shù)?，若對(duì)一切α ∈A，，則。U稱為x上的超調(diào)和簇，凸錐U(U)中的函數(shù)叫做U上的超調(diào)和函數(shù)。超調(diào)和是局部性質(zhì)。 在一個(gè)開集上，一個(gè)函數(shù)u稱為亞調(diào)和函數(shù)，如果-u是超調(diào)和的，若一個(gè)函數(shù)h既是超調(diào)和亦是亞調(diào)和，則說(shuō)h是調(diào)和函數(shù)。 一個(gè)開集U稱為可解集，如果在U上超調(diào)和函數(shù)的極小值原理成立，并且每一?∈Cc(дU)在U內(nèi)的廣義狄利克雷問(wèn)題是可解的。?的解H在U上可表示為調(diào)和測(cè)度μ的積分，μ分布在дU上且大于等于零。 一般公理系統(tǒng)包括如下四個(gè)公理： 正(P)公理x上的每一點(diǎn)都存在有該點(diǎn)的一個(gè)開鄰域上的一個(gè)調(diào)和函數(shù)，使它在該點(diǎn)取正值。 可解(R)公理 可解集全體構(gòu)成拓?fù)淇臻gx的一個(gè)拓?fù)浠?/p> 完備(C)公理 在一個(gè)開集U上，任一不取-∞的下半連續(xù)函數(shù)u若滿足在U的每一相對(duì)緊的可解子集V(嶅U)上，，則u∈U(U)。 鮑厄收斂(BC)性質(zhì) 單調(diào)增加、局部一致有界的調(diào)和函數(shù)列的極限仍是調(diào)和函數(shù)。 滿足上述公理的有序偶(x,U)叫做調(diào)和空間（或叫CC調(diào)和空間）。 布雷洛特公理系統(tǒng)? 在一局部緊、第二可數(shù)的豪斯多夫空間x上一個(gè)調(diào)和函數(shù)簇H滿足如下公理。 ① 每一開集U 上的調(diào)和函數(shù)全體H(U)是C(U)的一個(gè)線性子空間。 ② 正則區(qū)域構(gòu)成x的一個(gè)拓?fù)浠?/p> 所謂正則區(qū)域即一個(gè)相對(duì)緊的區(qū)域V,其邊界дV上的每一連續(xù)函數(shù)都可惟一地開拓成為V上的調(diào)和函數(shù)H，并且當(dāng)?≥0時(shí)H抦≥0。 ③ 區(qū)域上的單調(diào)增加的調(diào)和函數(shù)列的極限是調(diào)和函數(shù)或恒等于+∞。 有序偶(x,H)叫做布雷洛特調(diào)和空間，它是第一個(gè)完善的公理系統(tǒng)。布雷洛特調(diào)和空間上的位勢(shì)論與經(jīng)典位勢(shì)論最為接近。 此外，比較典型的還有鮑厄-博博克-康斯坦丁斯庫(kù)-科尼公理系統(tǒng)（簡(jiǎn)稱BBCC公理系統(tǒng)）。二階橢圓型偏微分方程滿足布雷洛特公理系統(tǒng)，但熱傳導(dǎo)方程卻不滿足布雷洛特公理系統(tǒng)，而滿足BBCC公理系統(tǒng)。一個(gè)布雷洛特調(diào)和空間是一個(gè)BBCC調(diào)和空間，而BBCC調(diào)和空間是一般的CC調(diào)和空間。布雷洛特公理系統(tǒng)嚴(yán)格強(qiáng)于BBCC公理系統(tǒng)，而BBCC公理系統(tǒng)又嚴(yán)格強(qiáng)于一般公理系統(tǒng)。設(shè)U是調(diào)和空間(x,U)的開子集,u是U上超調(diào)和函數(shù)，若在U的每一相對(duì)緊的可解子集V(堸嶅U)上,是調(diào)和函數(shù)，則u叫做上調(diào)和函數(shù)。-u叫做下調(diào)和函數(shù)。上、下調(diào)和函數(shù)在一個(gè)稠密集上取有限數(shù)值。以 0為最大調(diào)和下屬的非負(fù)上調(diào)和函數(shù)叫做位勢(shì)。在調(diào)和空間中，相應(yīng)的里斯分解定理仍然成立。 對(duì)于布雷洛特調(diào)和空間，R.M.埃爾韋證明了，在滿足一定條件下，若區(qū)域上存在正位勢(shì)，則格林函數(shù)也存在。一個(gè)布雷洛特調(diào)和空間若存在一個(gè)相容的對(duì)稱格林函數(shù)系，稱為自共軛調(diào)和空間，其原型來(lái)自偏微分方程Δu=сu。F.Y.馬埃達(dá)通過(guò)引入梯度測(cè)度的概念，在自共軛調(diào)和空間上建立了廣義格林公式。 位勢(shì)論與概率論的聯(lián)系 角谷靜夫、卡茨、杜布等人首先發(fā)現(xiàn)了布朗運(yùn)動(dòng)與古典位勢(shì)論有密切的聯(lián)系；亨特則發(fā)現(xiàn)通過(guò)一大類非常返馬爾可夫過(guò)程可以深入研究位勢(shì)論；后來(lái)，F(xiàn).L.斯皮策用隨機(jī)游動(dòng)，J.G.凱梅尼和J.L.斯內(nèi)爾用馬爾可夫鏈?zhǔn)紫妊芯苛顺７档奈粍?shì)理論。 位勢(shì)論與概率論的密切聯(lián)系，最明顯的是，決定一個(gè)馬爾可夫過(guò)程的轉(zhuǎn)移函數(shù)可以用來(lái)定義位勢(shì)論中的格林函數(shù)。位勢(shì)論中的許多概念和原理都有明確的概率意義，特別體現(xiàn)在上鞅理論中，比如上調(diào)和函數(shù)相應(yīng)于上鞅。位勢(shì)論中的法圖型邊界極限理論相應(yīng)于上鞅收斂理論；單調(diào)上調(diào)和函數(shù)列的極限性質(zhì)與單調(diào)上鞅的極限過(guò)程性質(zhì)頗為相似；某些上調(diào)和函數(shù)、上鞅稱為位勢(shì)，它們?cè)诟髯缘睦碚撝卸加信c之關(guān)聯(lián)的測(cè)度，都遵從只涉及這些測(cè)度支柱的控制原理，以及在概率論與位勢(shì)論中，都存在一個(gè)性質(zhì)相同的簡(jiǎn)化測(cè)度，它導(dǎo)出與位勢(shì)相關(guān)聯(lián)的測(cè)度的掃除等等。 以布朗運(yùn)動(dòng)為例，設(shè)x(t),t≥0為Rn上的標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng),{px},x∈Rn為相應(yīng)的概率測(cè)度族,px以為密度，而p(t,x,y)構(gòu)成強(qiáng)馬爾可夫轉(zhuǎn)移半群。令（Bn為波萊爾代數(shù)）,稱τB為x(t)首中B的時(shí)間，稱TB=τ為首退出B的時(shí)間。若對(duì)任意x∈Rn都有px(τB<∞)=0，則說(shuō)B是極集；若px(τB=0)=1，則說(shuō)x是B的正則點(diǎn)。對(duì)n≥3，令 ， 則gμ（μ是拉東測(cè)度）就是牛頓位勢(shì)（當(dāng)n=2時(shí)為對(duì)數(shù)位勢(shì)），極集是牛頓零容集。 設(shè)區(qū)域，A∈Bn稱為布朗運(yùn)動(dòng)的退出分布，則HD(x,·)就是D在x點(diǎn)的調(diào)和測(cè)度。又設(shè)φ(x)在дD基本有界，則就是廣義狄利克雷問(wèn)題的解。令；則 GD(x，y)就是D上的格林函數(shù)。如果u是上調(diào)和函數(shù)，在滿足一些適當(dāng)?shù)臈l件后，u(x(t))是上鞅。 在馬丁空間也可以構(gòu)造布朗運(yùn)動(dòng)。此外，利用隨機(jī)積分方程的方法可以構(gòu)造一般C∞級(jí)流形上的擴(kuò)散過(guò)程，因此可以用概率方法研究馬丁空間和C∞黎曼流形上的位勢(shì)論。由于位勢(shì)論與概率論存在密切的聯(lián)系，使得位勢(shì)論有了明顯的概率意義而位勢(shì)論也為概率論的研究提供了一種新的有力的分析工具。 參考書目 N. S. Landkof,Foundations of Modern Potential Theory, Springer-Verlag, Berlin, 1972. M.Brelot,On Topologies and Boundaries in Potential Theory, Springer-Verlag, Berlin, 1971. C.Constantinescu and A.Cornea,Potential Theory on harmonic Space,Springer-Verlag, Berlin,1972. C.Berg and G.Forst,Potential Theory on Locally Compact Abelian Groups,Springer-Verlag, Berlin, 1975. J.L.Doob,Classical Potential Theory and Its Probabilitic Counterpart, Springer-Verlag, New York, 1984. M.Tsuji,Potential Theory in Modern Function Theory, Maruzen, Tokyo, 1959. 參考資料 >