橢圓算子是數學偏微分方程理論中的一類微分算子，它是拉普拉斯算子的泛化。橢圓映射定義為所有最高階導數的系數為正的微分算子，這意味著算子沒有實的特征方向。設P是向量叢E到F的k階微分算子，若其象征σ(P)是一個同構，就稱P為橢圓算子。
簡介
橢圓算子是典型的位勢論，并且它們頻繁地出現在靜電學和連續介質力學中。橢圓算子的正則性意味著它的解通常是光滑函數（如果算子的系數是光滑的）。雙曲方程和拋物方程的穩定解通常要求解橢圓方程。若P為橢圓算子，則P*也是橢圓算子。設P∈PDiff(E,F)，若σ(P)(x,ξ)對于所有的x∈X都是從E到F的一個同構，ξ∈(T*X)\{0}，則稱P為橢圓算子。k階橢圓算子全體記為Ell(E,F)。
微分算子
在數學中，導數映射是定義為微分運算之函數的算子。首先在記號上，將微分考慮為一個抽象運算是有幫助的，它接受一個函數得到另一個函數（以計算機科學中高階函數的方式）。當然也有理由不單限制于線性算子；例如施瓦茨導數是一個熟知的非線性算子。不過這里只考慮線性情形。
同構
(isomorphism)
在抽象代數中，同構指的是一個保持結構的雙射。在更一般的范疇論語言中，同構指的是一個態射，且存在另一個態射，使得兩者的復合是一個恒等態射。常見的同構有：自同構，群同構，環同構，域同構，向量空間同構。
定義
在{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}域{\displaystyle \Omega }上的線性微分算子{\displaystyle L}定義為
{\displaystyle Lu=\sum _{|\alpha |\leq m}a_{\alpha }{\partial }^{\alpha }u}
被稱為橢圓算子，如果對任意{\displaystyle x\in \Omega }，任意非零{\displaystyle \xi \in \mathbb {R} ^{n}}滿足
{\displaystyle \sum _{|\alpha |=m}a_{\alpha }{\xi }^{\alpha }\neq 0}。
橢圓性只依賴于最高階項。當{\displaystyle m=2k}時，一致橢圓條件為
{\displaystyle (-1)^{k}\sum _{|\alpha |=2k}a_{\alpha }(x)\xi ^{\alpha }>C|\xi |^{2k},}
其中C是正常數。非線性映射
{\displaystyle L(u)=F(x,u,(\partial ^{\alpha }u))_{|\alpha |\leq 2k}}
是橢圓算子如果它關于{\displaystyle u}的一階泰勒展開式在任意一點處都是線性橢圓算子。
示例
二階偏微分算子的形式為
{\displaystyle P\phi =\sum _{k,j}a_{kj}D_{k}D_{j}\phi +\sum _{\ell }b_{\ell }D_{\ell }\phi +c\phi }
其中{\displaystyle D_{k}={\frac {1}{\sqrt {-1}}}\partial _{x_{k}}}.如果高階項系數矩陣
{\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{11}(x)&a_{12}(x)&\cdots &a_{1n}(x)\\a_{21}(x)&a_{22}(x)&\cdots &a_{2n}(x)\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}(x)&a_{n2}(x)&\cdots &a_{nn}(x)\end{bmatrix}}}
參考資料 >