海倫公式（英文名：Heron's formula），是利用三角形的三條邊的邊長(zhǎng)直接求三角形面積的公式。
相傳這個(gè)公式最早是由古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德（Archimedes）得出的，而因?yàn)檫@個(gè)公式最早出現(xiàn)在古希臘的數(shù)學(xué)家海倫（Heron）的著作《測(cè)地術(shù)》中，所以被稱為海倫公式。中國(guó)南宋時(shí)期的數(shù)學(xué)家秦九韶也得出了類似的公式，稱為秦九韶公式或三斜求積術(shù)。海倫公式的標(biāo)準(zhǔn)表達(dá)式為：，其中分別為三角形的三條邊長(zhǎng)，為三角形半周長(zhǎng)。
海倫公式可以用余弦定理、勾股定理等常見的定理來證明。將三角形推廣至四邊形，可得到類似的婆羅摩笈多公式，推廣至四面體，可以得到歐拉公式，已知六條棱長(zhǎng)可求四面體的體積。海倫公式的提出為三角形和多邊形的面積計(jì)算提供了新的方法和思路，在知道三角形三邊的長(zhǎng)而不知道高的情況下使用海倫公式可以更快更簡(jiǎn)便地求出面積。
定義
表達(dá)式
如圖，當(dāng)已知三角形的三邊為，它的面積為
其中，這個(gè)公式稱為海倫公式。
海倫三角形
海倫三角形（Heron triangle），一種特殊三角形，指邊長(zhǎng)為連續(xù)的三個(gè)正整數(shù)，而且其面積也是正整數(shù)的三角形。這種三角形是海倫研究海倫公式時(shí)得到的一種特殊情況，它的一般解可用海倫公式求得。例如三條邊長(zhǎng)分別為連續(xù)三個(gè)正整數(shù)；；；等的三角形均為海倫三角形。
簡(jiǎn)史
海倫（Heron of Alexandria，生卒年不詳）是古希臘的數(shù)學(xué)家、力學(xué)家、機(jī)械學(xué)家。約公元62年活躍于亞歷山大城，在那里教過數(shù)學(xué)、物理學(xué)等課程。海倫公式出現(xiàn)在他的《測(cè)地術(shù)》中，他先后在《經(jīng)緯儀》和《量度》中給出證明。但是數(shù)學(xué)史學(xué)家認(rèn)為，海倫公式最早是由阿基米德給出的，海倫只是給與重視并廣泛地用于實(shí)踐。海倫公式最早有兩個(gè)證法，第一個(gè)證明是由勾股定理推出的；第二個(gè)證明則利用了內(nèi)切圓性質(zhì)與比例關(guān)系。
除了海倫公式以外，歷史上先后得出的由三邊求三角形的面積公式還有很多。比如，公元前二世紀(jì)希帕克（喜帕恰斯）曾指出：，其中R是三角形的外接圓半徑，在海倫的《機(jī)械學(xué)》一書中還有，其中r是三角形內(nèi)切圓半徑。后來長(zhǎng)城歐拉就是利用這個(gè)公式導(dǎo)出海倫公式的；1807年，馬丟（Mafhien）又由導(dǎo)出了，其中分別是三角形三個(gè)外切圓的半徑；公元10世紀(jì)，中亞地區(qū)著名數(shù)學(xué)家阿布爾·威發(fā)（Abdl-wefa）得出：，這是海倫用勾股定理導(dǎo)出海倫公式的一個(gè)中間結(jié)果，實(shí)際上它與海倫公式是等價(jià)的。
1247年，中國(guó)南宋數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)書九章》中提出了“三斜求積術(shù)”，“三斜”即三角形的三條邊之長(zhǎng)，它與海倫公式也是等價(jià)的。
相關(guān)公式
秦九韶著《數(shù)書九章》卷五中，有“三斜晶系求積題”為問沙田區(qū)一段，有三斜。小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里。里法三百步。欲知為田幾何”。該題的“術(shù)曰”：“以少?gòu)V求之。以小斜冪并大斜冪，減中斜冪，余半之，自乘于上以小斜冪乘大斜冪，減上。余四約之，為實(shí)。一為從隅。開平方，得積。”如果用S表示三角形面積，以分別表示大斜、中斜、小斜，則上面的術(shù)文用今天的公式可表示為：
這就是秦九韶的著名的“三斜求積術(shù)”。
三斜晶系求積術(shù)化簡(jiǎn)可得海倫公式：
，由此可見，這兩個(gè)公式是等價(jià)的。
相關(guān)定理
勾股定理
勾股定理，又名畢達(dá)哥拉斯定理，是一個(gè)基本的幾何定理。勾股定理是指：在直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方。如果用表示斜邊，分別表示兩條直角邊，那么上面的關(guān)系可寫成。勾股定理揭示了直角三角形三邊之間的基本關(guān)系，只要確定直角三角形兩邊的長(zhǎng)，就可以定量地確定直角三角形第三邊的長(zhǎng)，海倫公式也可以通過勾股定理推出。
余弦定理
歐幾里得幾何學(xué)中的余弦定理為下述論斷；在任何三角形中，其任意一邊長(zhǎng)度的平方等于其它兩邊長(zhǎng)度平方的和減去這兩邊的長(zhǎng)度與這兩邊夾角值的余弦乘積的兩倍。余弦定理表示為等式：，其中為三角形的邊長(zhǎng)，為邊和之間的夾角值。余弦定理十分廣泛地用于三角形、幾何學(xué)的證明過程中，如它可以證明海倫公式。
推導(dǎo)證明
勾股定理證明
證明：如圖1，在中，設(shè)三邊分別為，，是邊上的高。
因?yàn)?
所以,
由勾股定理得:
=
=
=
=
=
=
=
所以
所以==
內(nèi)切圓證明
在中作內(nèi)切圓，是中心，聯(lián)結(jié)，，，，和，則有
把它們加起來，得
這里，，，
將延長(zhǎng)至，使,則因?yàn)?和,于是有
因此，
但是，積是兩個(gè)線段組成的，所以可以有
因而
引使與成直角，而與交于點(diǎn)，過點(diǎn)引與成直角，與交于點(diǎn)，聯(lián)結(jié)，
因?yàn)椋际侵苯堑?，所以四點(diǎn)，，，共圓
于是有
但是，因?yàn)檫@是以為中心由，，組成的圓周角的一半，并且，而這四個(gè)角之和等于
因此
由以上的論證知道直角三角形和是相似的；據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例的道理有
又與相似
于是
再由比例原理得
以乘上式第一、二兩項(xiàng)，乘第三項(xiàng)，乘第四項(xiàng)有
后一等號(hào)的推出是因?yàn)槭侵苯?/p>
由，有
但是前面已求得，故最后得
余弦定理證明
如圖3，三邊長(zhǎng)分別為，則
（）
推廣拓展
婆羅摩笈多公式
婆羅摩笈多(Brahmagupta)在公元7世紀(jì)初的一部論及天文的著作中，給出了用四邊長(zhǎng)表達(dá)圓內(nèi)接四邊形面積的婆羅摩多公式：
其中：
公式無論從形式上還是內(nèi)容上都是海倫公式的延拓與推廣，但它僅適用于圓內(nèi)接四邊形。
歐拉四面體公式
由“海倫公式”得到啟發(fā)，歐拉推廣到四面體，直接用四面體的6個(gè)棱長(zhǎng)計(jì)算其體積：
公式意義
海倫公式的提出為三角形和多邊形的面積計(jì)算提供了新的方法和思路，在知道三角形三邊的長(zhǎng)而不知道高的情況下使用海倫公式可以更快更簡(jiǎn)便地求出面積。例如，在丈量三角形土地面積的時(shí)候，不用測(cè)三角形的高，只需測(cè)相鄰兩點(diǎn)間的距離，就可以快速地計(jì)算出土地面積。在勘測(cè)土地面積時(shí)，可以通過對(duì)不規(guī)則的平面添對(duì)角線，將平面分割成若干個(gè)三角形，再利用海倫公式，用已知三角形的三條邊分別求出這些三角形的面積，然后相加得到整個(gè)平面面積。此外，該公式還廣泛應(yīng)用于建筑設(shè)計(jì)、三角測(cè)量?jī)x器和計(jì)算機(jī)圖形學(xué)等領(lǐng)域，對(duì)于研究員、工程師、航海員和設(shè)計(jì)師等人員而言，理解和應(yīng)用海倫公式將有助于解決實(shí)際問題，推動(dòng)科學(xué)技術(shù)的發(fā)展。
局限性
海倫公式雖然能夠適用于多個(gè)領(lǐng)域內(nèi)各種類型三角形的面積計(jì)算，但也存在缺點(diǎn)。首先，海倫公式要求提供三角形的三邊信息，在某些情況下若邊長(zhǎng)不易獲取，則三角形面積將難以計(jì)算；其次，當(dāng)三角形三邊邊長(zhǎng)的差距過大時(shí)，海倫公式的計(jì)算可能導(dǎo)致數(shù)值不穩(wěn)定，影響計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性；此外，對(duì)于邊長(zhǎng)非常大的三角形，海倫公式的計(jì)算量也將隨之增大，這可能導(dǎo)致計(jì)算時(shí)間較長(zhǎng)。
參考資料 >