圓內(nèi)接四邊形（Cyclic quadrilateral）是一個(gè)幾何概念，指的是四個(gè)頂點(diǎn)均位于同一圓上的四邊形。這類四邊形在幾何學(xué)中具有獨(dú)特的性質(zhì)和重要的應(yīng)用。矩形、正方形都是特殊的圓內(nèi)接四邊形，而鳶形和梯形在特定條件下也可以成為圓內(nèi)接四邊形。
性質(zhì)定理
以右圖所示圓內(nèi)接四邊形ABCD為例，圓心為O，延長(zhǎng)AB至E，AC、BD交于P，則：
1.圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)：
2.圓內(nèi)接四邊形的任意一個(gè)外角等于它的內(nèi)對(duì)角：
3.圓心角的度數(shù)等于所對(duì)弧的圓周角的度數(shù)的兩倍：
4.同弧所對(duì)的圓周角相等：
5.圓內(nèi)接四邊形對(duì)應(yīng)三角形相似：（三個(gè)內(nèi)角對(duì)應(yīng)相等）
6.相交弦定理：
7.托勒密定理：
判定定理
一個(gè)四邊形是圓內(nèi)接四邊形的充分必要條件是其相對(duì)的兩內(nèi)角互補(bǔ)。以下是圓內(nèi)接四邊形的判定定理：
1. 對(duì)角互補(bǔ)定理：如果一個(gè)四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，那么這個(gè)四邊形內(nèi)接于一個(gè)圓。
2. 外角等于內(nèi)對(duì)角定理：如果一個(gè)四邊形的外角等于它的內(nèi)對(duì)角，那么這個(gè)四邊形內(nèi)接于一個(gè)圓。
3. 等距離定理：如果一個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)與某定點(diǎn)等距離，那么這個(gè)四邊形內(nèi)接于以該點(diǎn)為圓心的一個(gè)圓。
4. 頂角相等定理：若有兩個(gè)同底的三角形，另一頂點(diǎn)都在底的同旁，且頂角相等，那么這兩個(gè)三角形有公共的外接圓。
5. 張角相等定理：如果一個(gè)四邊形的張角相等，那么這個(gè)四邊形內(nèi)接于一個(gè)圓。
6. 相交弦定理的逆定理。
7. 托勒密定理的逆定理。
面積計(jì)算
S圓內(nèi)接四邊形，，此公式稱之為婆羅摩笈多公式。與海倫公式對(duì)比可以看出，這和海倫公式三角形面積具有驚人的相似性，其實(shí)海倫公式就是婆羅摩笈多公式d=0的特殊形式。
例題
例題1：
在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，，則BC的長(zhǎng)為_______？
答案
使用余弦定理：，解得，
因?yàn)椋簣A內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)，
所以：
使用正弦定理：
即
所以：
例題2：
如圖，在梯形ABCD中，，K、M分別在AD、BC上，
求證：（第二屆袓沖之杯初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽考題）
答案
證明：聯(lián)結(jié)KM與BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)E。
因?yàn)椋?/p>
所以：AKMB四點(diǎn)共圓
因?yàn)椋?/p>
所以：
所以：
所以：CDKM四點(diǎn)共圓
所以：
所以：
參考資料 >