實數根也經常被叫為實根. 有些方程有增根，需要檢驗之后再舍去。1)根指的是方程的解2)實數包括正數，負數和0 3）有理數：整數和分數統稱為有理數。
基本內容
實數根也經常被叫為實根.
1)根指的是方程的解
實根就是指方程式的解為實數
2)實數包括正數，負數和0
實數包括：有理數和無理數
有理數包括：整數和分數
無理數包括：正無理數、負無理數
整數包括：正整數、0、負整數
分數包括：正分數、負分數
3）有理數：整數和分數統稱為有理數。
無理數是無限不循環小數，例如√2、√3。
有關定理
定理1 [1 ] n 次多項式f ( x ) 至多有n 個不同的根.
定理2 (笛卡爾符號律) [2 ] 多項式函數 f(x) 的正實根個數等于 f(x) 的非零系數符號變化個數，或比該變化個數小一個偶數；負實根個數等于 f(-x) 的非零系數符號變化個數，或比該變化個數小一個偶數。
定理3 [1 ] 數 c 是 f(x) 的根的充分必要條件是 f(x) 能被 x - c 整除。
定理4 [1 ] 每個次數大于 0 的實系數多項式可分解為實系數的一次和二次不可約因式的乘積.
定理5 [1 ] 設(1 ) 式中Pi = 0,1,*,n,ai ∈,即f ( x ) 是整系數多項式，若an ≠0,且有理數u/ v
是f ( x ) 的一個根,u ∈,v ∈ *,( u,v) = 1,那么:
(i ) v | a0,u | an ;
(ii) f ( x ) / ( x - u/ v) 是一個整系數多項式.
定理6 (根的上下界定理) [2 ] 設(1 ) 式中a0 > 0,
1 ) 若存在正實數M,當用x - M 去對f ( x ) 作綜合除法時第三行數字僅出現正數或0,那么M 就
是f ( x ) 的根的一個上界;
2 ) 若存在不大于0 的實數m,當用x - m 去對f ( x ) 作綜合除法時第三行數字交替地出現正數(或
0 ) 和負數(或0 ) 時，那么m 就是f ( x ) 的根的一個下界.
定理7 (判斷根上下界的牛頓法) [3 ] 設有實數k,使f ( k),f ′(k),*,f (m) ( k),*f (n) ( k) 均為非負
數，或均為非正數，則方程f ( x ) = 0 的實根都小于k. 這里f (m) ( x ) 表示f ( x ) 的m 階導數
定理8 (判斷根上下界的約瑟夫·拉格朗日法) [3 ] 設(1 ) 式中a0 > 0,且ak 為第一個負系數，即ak < 0,且Pi < k,ai ≥0,設b 是負系數中的最大絕對值，則f ( x ) = 0 的正根上限為1 +kb/ a0 .
定理9 [1 ] 多項式f ( x ) 無重根的充分且必要條件是f ( x ) 與它的偏導數f ′( x ) 互素.
定理10 (Sturm 定理) [3 ] 設多項式f ( x ) 無重根,b1 < b2,f (b1 ) f (b2 ) ≠0,f ( x ) = 0 在開區間
(b1,b2 ) 中有p 個根,U (b1 ) 與U (b2 ) 分別為f ( x ) 的斯圖姆(St urm) 序列
f 0 (b1 ),f 1 (b1 ),*,f s (b1 ),*,f m (b1 )
與f 0 (b2 ),f 1 (b2 ),*,f s (b2 ),*,f m (b2 )
的變號的個數，則p = U (b1 ) - U (b2 ) .
定理11 [3 ] 設f ( x ) 為實系數多項式,D ( f ) 為f ( x ) 的根的判別式，則當D ( f ) = 0 時，方程f ( x )
= 0 有重根；當D ( f ) < 0 時，方程f ( x ) = 0 無重根，且有奇數對虛根；當D ( f ) > 0 時方程f ( x ) = 0 無
重根，且有偶數對虛根.
對(1 ) 式中的f ( x ),D ( f ) 定義為:
D( f ) = (- 1 ) n(n - 1 )/ 2 a- 1
0 R ( f,f ′),
其中f′為f ( x ) 的導函數,R ( f,f ′) 稱為f 和f ′的結式，是由f ( x ) 的各項系數確定的一個2 n - 1 階方
陣R 的行列式 如果當k > n 或k < 0 時記ak = 0,則R 的第i 行第j 列的元素為
rij =
aj - i,當1 ≤i ≤n - 1 ;
(i - j + 1 )aj+n- i- 1,當n ≤i ≤2 n - 1 時
參考資料 >