可數選擇公理（countable axiom of choices）是集合論的一條公理，常記為ACω。該公理斷言：每一個非空集合組成的可數集族都有一選擇函數，它是選擇公理的一種弱形式。
集合論的發展在20世紀初遇到了阻礙，一些悖論相繼誕生，引發了第三次數學危機，推動了公理化集合論的進程。選擇公理與有窮理論有關，1888年，戴德金（Richard Dedekind）給出了有窮性的一個定義，稱作D-有窮。1904年，德國數學家恩斯特·策梅洛（Ernst Zermelo）在證明良序定理時第一次明確提出了選擇公理，從此，學術界開始了對選擇公理的探討和爭論。由于選擇公理過強，許多公理的弱形式被提出，梅切爾斯基（Mycielski）等人證明了可數選擇公理成立，并證實了存在亨利·勒貝格不可測的集合。羅素（Russell）、塔斯基（Tarski）等人在著作和文章中對有窮集合理論進行了研究，肯定了可數選擇公理的意義。1942年，貝爾奈斯（Bernays, P.）提出相關選擇公理，并證明了可數選擇公理比它弱。
除可數選擇公理外，選擇公理的弱形式還包括良序選擇公理和相關選擇公理，它們存在這樣的關系：良序選擇公理相關選擇公理可數選擇公理。與選擇公理不同，可數選擇公理與決定性公理是相容的。可數選擇公理還可以證明某些結論，如，每個無限集都有一個可數子集。
定義
可數選擇公理是選擇公理的一種較弱的形式，常記為。該公理斷言：每一個非空集合組成的可數集族有一選擇函數，即：
，
對任何，有。由此公理可推出可數個可數集的并集可數，實數集不是可數個可數集的并集，每個無窮集有可數子集等，但不能推出實數集的可良序化的結論。
簡史
早期研究
集合論的發展在20世紀初遇到了阻礙，一些悖論相繼誕生，引發了第三次數學危機，推動了公理化集合論的進程。選擇公理與有窮理論有關，1888年，戴德金（Richard Dedekind）給出了有窮性的一個定義，稱作D-有窮。1904年，恩斯特·策梅洛（Ernst Zermelo）在證明良序定理時第一次明確提出了選擇公理，但是有許多遺留問題沒有被解決，從此，學術界就開始了對選擇公理的探討和爭論。
后續發展
由于選擇公理過強，許多公理的弱形式被提出。梅切爾斯基（Mycielski）等人證明了可數選擇公理成立，即實數非空集合的每一可數子集都有一選擇函數，并證實了存在亨利·勒貝格不可測的集合。伯特蘭·阿瑟·威廉·羅素（Russell）和阿爾弗雷德·懷特黑德（A.N.Whitehead）在《數學原理》一書中說明了用可數選擇公理就可以證明有窮集合都是D-有窮的。但是，到了1924年，在謝賓斯基（Sierpinski）的影響下，塔斯基（Tarski）在文章中指出，許多關于有窮集合的命題如果換為D-有窮，則需要可數選擇公理，并給出了有窮集合的多種定義方法，等價性的證明不一定需要可數選擇公理。1942年，貝爾奈斯（Bernays, P.）提出相關選擇公理，并證明了可數選擇公理比它弱。1967年，詹森（Jensen）指出，良序選擇公理可推出相關選擇公理。
相關公理
選擇公理
選擇公理AC
定義：選擇公理表示對于每個集合系統都有一個選擇函數，通常用表示，其等價形式包括：
（1）每個劃分都有一個代表元的集合。
（2）如果是一個非空集合的標號系統，那么存在一個函數使得對所有的。此條等價形式也可以等價陳述為：如果對所有的，那么。
聯系：強于可數選擇公理。
良序選擇公理ACωo
定義：對于每個可良序化的集合（冪集），恒有一個選擇函數，簡記作。
聯系：強于可數選擇公理。
相關選擇公理DC
定義：設為非空集合，為其上的二元關系。如果對任意都存在使得，則存在的元素的可數序列使得，相關選擇公理通常用表示，該公理又稱依賴選擇公理。
從相關選擇公理可以推出可數選擇公理，因此相關選擇公理是比可數選擇公理強的命題。
聯系：強于可數選擇公理。
決定性公理
對的每一個子集，定義下面的游戲：甲、乙二人對局，甲選取自然數，乙選取自然數，接著甲取數，乙取數，，從而形成二無窮序列：
甲
乙
若所得結果序列在中，則甲勝，否則乙勝。甲的策略為一函數，使得對任何，。乙的策略也為一函數，使得對任何， 。對甲（乙）來說是必勝策略，若甲（乙）運用它作游戲時不管乙（甲）如何去做，他必勝。游戲稱為決定的，若甲、乙二人中有一人必有必勝策略。
定義：對每一個，游戲是決定的，決定性公理通常用表示。
聯系：決定性公理與選擇公理不相容，但與可數選擇公理是相容的。
推廣
定義
設是一個阿列夫，則
：對于每個，或者。
顯然，是可數選擇公理，每個基數與可比較即或者，故。這里由也可知，每個無限集恒包含可數集。該推廣形式同樣可定義相關選擇公理，記為。
性質
定理1：設是阿列夫，則
（1）如果，則（若阿列夫，則可良序化，或，則）。
（2）。
（3）如果是奇異基數，則。
（4）如果是極限基數且，則，。
定理2：。
應用實例
例1
例：每個無限集都有一個可數子集。
證明：設為一無限集。考慮的所有有限集排成的有限列：，其中。由可數選擇公理知上有選擇使，顯然是可數集。
例2
例：在實數空間，一些基本的拓撲性質有兩種定義。其一是用語言定義；其二是應用極限列定義。
1.閉集：點，如果
（1）的每個鄰域都交于；或
（2）對于內某個點列，有。
2.連續函數：函數在點處連續，如果
（1）；使得；或
（2）只要，則有。
3.緊致集：集是緊致的，如果
（1）是有界閉集；或
（2）內每個點列都有收斂子列，并且。
由可數選擇公理知中兩種方式定義的概念是分別等價的。
證明：1.顯然，這里只證：如果，則對的每個都與相交，所以有選擇函數，使。
2.顯然，這里只證：如不然，則有對每個有，由可數選擇公理知，于是，矛盾，證畢。
參考資料 >