《綴術(shù)》是中國南北朝時期的一部算經(jīng)，由祖沖之和祖暅父子共同完成，成書約于5世紀(jì)中葉至6世紀(jì)初。是中國自漢魏至隋唐水平最高的數(shù)學(xué)著作。在唐代，《綴術(shù)》被收入官方數(shù)學(xué)教科書《算經(jīng)十書》，成為國子監(jiān)算學(xué)科目的核心教材，因其內(nèi)容艱深，學(xué)生需耗時四年方能掌握，是《算經(jīng)十書》中學(xué)習(xí)周期最長的著作。《綴術(shù)》在北宋時期亡佚（失傳于北宋元豐七年（1084年）），但其部分內(nèi)容通過口傳或間接引用得以留存，并曾傳至朝鮮、日本。
該書內(nèi)容分為三部分，其一是確定圓周率在3.1415926與3.1415927之間，準(zhǔn)確到小數(shù)點后六位，并給出密率：335/113，約率22/7；其二是由面積差求邊長或圓的直徑（開差冪），由體積差求邊長或球的直徑（開差立）等內(nèi)容；其三是天文歷法中的有限差分法。據(jù)數(shù)學(xué)史家錢寶琮考證，該書還含有關(guān)于計算分數(shù)的近似值等內(nèi)容。
《綴術(shù)》的發(fā)現(xiàn)，對圓周率π的計算前進了一步；《綴術(shù)》解決了多凸凹圓面系數(shù)等的算出；由各種系數(shù)所構(gòu)成的各種應(yīng)用方陣式都繼承于《綴術(shù)》。
作者簡介
《綴術(shù)》是祖沖之所作，還是祖暅之所作，中國數(shù)學(xué)史界至今沒有定論，在可以預(yù)見的將來，也不可能有定論。不過，有兩點是可以肯定的：一，它是祖沖之父子的著作。二，它是中國自漢魏至隋唐水平最高的數(shù)學(xué)著作。李淳風(fēng)高度評價了祖沖之的數(shù)學(xué)貢獻，認為“指要精密，算氏之最者也”。他所著的《綴術(shù)》，因“學(xué)官莫能究其深奧，是故廢而不理”?！?】遂失傳。稍前于李淳風(fēng)的王孝通卻對《綴術(shù)》橫加指責(zé)，他說：“其祖暅之《綴術(shù)》，時人稱之精妙，曾不覺方邑進行之術(shù)全錯不通，亭【2】、方亭之間，于理未盡?！薄?】那么，到底是《綴術(shù)》“全錯不通”，還是王孝通“莫能究其深奧”？這一問題雖未引起廣泛的討論，學(xué)術(shù)界卻一直有不同的看法。筆者認為：“王孝通對綴術(shù)的指責(zé)表明王氏不能理解祖家父子的數(shù)學(xué)創(chuàng)造，而不是相反?！薄?】然而，當(dāng)時對這種看法的理由說得不充分，現(xiàn)闡述如下。
創(chuàng)作背景
首先，考察中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的發(fā)展脈絡(luò)。隋唐雖然是盛世，數(shù)學(xué)上也有設(shè)立算學(xué)館，整理算經(jīng)十書等舉措，但除在天文歷法的計算中先后使用了等間距和不等間距內(nèi)插法外，幾無創(chuàng)造。它在數(shù)學(xué)成就與數(shù)學(xué)理論上，不僅遠低于后來的宋元，而且遠低于前此的魏晉南北朝。人們往往只注意明朝數(shù)學(xué)的落后——它適逢西方文藝復(fù)興前后，西方數(shù)學(xué)崛起，隨后是變量數(shù)學(xué)的產(chǎn)生，中國從此失去了數(shù)學(xué)大國的地位，以至于700年后的今天，還沒有完全翻過身來，容易引起重視，而同時，卻忽視了盛唐數(shù)學(xué)的落后。因為一方面宋元數(shù)學(xué)的高潮掩蓋了在它前面曾經(jīng)出現(xiàn)過的低潮，另一方面設(shè)立算學(xué)館、明算科，整理算經(jīng)十書等舉措給人以繁榮的假象；同時，人們也不容易將盛世與數(shù)學(xué)這一重要學(xué)科落后聯(lián)系起來；甚至乾嘉時期人們還認為數(shù)學(xué)“顯于唐，晦于宋”?！?】實際上，隋唐時期沒有出現(xiàn)過一位可以與其前劉徽、祖沖之，其后賈憲、秦九韶、李冶、朱世杰等比肩的數(shù)學(xué)家，也沒有創(chuàng)作過一部可以與其前《九章算術(shù)》、《九章算術(shù)注》、《綴術(shù)》，其后《黃帝九章算經(jīng)細草》、《數(shù)書九章》、《測圓海鏡》、《詳解九章算法》、《算學(xué)啟蒙》、《四元玉鑒》等等量齊觀的數(shù)學(xué)著作。王孝通的《緝古算經(jīng)》在解決土木工程中的數(shù)學(xué)問題上有所推進，其主要貢獻是三次方程。而據(jù)錢寶琮考證，祖沖之已能解負系數(shù)三次方程，【6】比王孝通還高明。李淳風(fēng)等整理十部算經(jīng)，很有貢獻，然而，除《周算經(jīng)注釋》比趙爽注有所推進外，他們對其他算經(jīng)的注釋，意義都不大。尤其是對《九章算術(shù)》的注釋，從整體上講，無論是數(shù)學(xué)成就還是數(shù)學(xué)理論，都是遠遠低于劉徽注的作品?！?】應(yīng)該說，王孝通、李淳風(fēng)是唐朝最有名的兩位數(shù)學(xué)家．他們尚且如此，遑論其他。事實上，李淳風(fēng)已經(jīng)發(fā)現(xiàn)隋和唐初的數(shù)學(xué)不如前代，直言當(dāng)時的算學(xué)館學(xué)官（相當(dāng)于今天的重點大學(xué)數(shù)學(xué)系教授）對《綴術(shù)》“莫能究其深奧，是故廢而不理”。這一狀況的直接后果是造成《綴術(shù)》失傳的悲劇?！毒Y術(shù)》列入算學(xué)館教材。但是，是不是實施了教學(xué)活動，我很懷疑。教師都不懂，怎樣教學(xué)生？只好“廢而不理”。此語出自一位當(dāng)時的大數(shù)學(xué)家，應(yīng)該是可信的?！?a href="/hebeideji/6369389013515957844.html">唐六典》等史書反映的只是官方文件，而官方文件總不會百分之百的被實行的，任何社會都是這樣，唐初也不會例外。順便說一下《綴術(shù)》的失傳問題。筆者認為，《綴術(shù)》的失傳不是在宋初，而是在唐初之后，很可能在安史之亂時。當(dāng)時沒有印刷術(shù)，《綴術(shù)》只有幾個抄本，被廢而不理，是很難流傳下來的，特別，經(jīng)不起大的全國性的戰(zhàn)亂。在安史之亂之后，又有唐末的大戰(zhàn)亂和五代十國的紛爭。無論如何，是流傳不到宋初的。史書說楚衍“于《九章》、《緝古》、《綴術(shù)》、《海島》諸算經(jīng)尤得其妙”，【8】只不過是史家信筆書來，并不是完全靠得住的。楚衍是宋初天算家的領(lǐng)袖，賈憲的老師，天圣初（1023）與宋行古等制《崇天歷》，皇佑（1049~1053）中造《司晨星漏歷》，后來與周琮同管司天監(jiān)。可見，最遲在11世紀(jì)50年代，楚衍還積極地從事科學(xué)活動。宋朝從建國到整個11世紀(jì)，沒有發(fā)生過大的社會動亂或打擊文化人的活動，如果楚衍還看到過《綴術(shù)》，那么，不到30年后的元豐七年（1084）秘書省刻十部算經(jīng)時，不會找不到《綴術(shù)》而付之闕如?？傊撬逄茢?shù)學(xué)的落后，導(dǎo)致了《綴術(shù)》的失傳。
其次，與第一點相聯(lián)系的，我們考察一下李淳風(fēng)、王孝通對劉徽、祖沖之父子的指責(zé)。先看李淳風(fēng)等對劉徽的指責(zé)，主要有三處。第一處是《九章算術(shù)》方田章方田術(shù)注釋中，李淳風(fēng)等針對劉徽注關(guān)于“凡廣從相乘謂之冪”的定義，一方面說“觀斯注意，積冪義同”；一方面又由冪字的本義，說“循名責(zé)實，二者全殊”，指責(zé)劉徽關(guān)于冪的定義“全乖積步之本義”，表示要“存善去非，略為料簡，遺諸后學(xué)”。【9】這種指責(zé)是沒有道理的。《九章算術(shù)》沒有冪的概念，它所使用的積，既可以是面積，又可以是體積。劉徽則在積中劃出廣從相乘這一種，稱為冪，也就是現(xiàn)在所說的面積。顯然，冪是積的一種。換言之，冪是積，而積不一定是冪。在邏輯上，冪是種，積是屬，廣從相乘是種差。劉徽關(guān)于冪的定義符合邏輯學(xué)中定義等于屬加種差的要求，是十分嚴謹?shù)摹?a href="/hebeideji/7158714430011080712.html">李淳風(fēng)既看不出積、冪的相同之處，又看不出它們的區(qū)別，指責(zé)正確的劉徽，恰恰暴露了自己邏輯修養(yǎng)和數(shù)學(xué)水平的低下，起碼遠遠低于劉徽?！?0】
第二處是方田章圓田術(shù)注釋，李淳風(fēng)等說，對周三徑一，“劉徽將以為疏，遂乃改張其率。但周、徑相乘，數(shù)難契合?；针m出斯二法，終不能究其纖毫也。祖沖之以其不精，就中更推其數(shù)。今者修撰，摭諸家，考其是非，沖之為密。故顯之于徽術(shù)之下，冀學(xué)者之所裁焉。”【11】李淳風(fēng)等表彰祖沖之求圓周率的成績是完全正確的，然而貶斥劉徽則是十分錯誤的。祖沖之與劉徽，沒有是與非的問題，只有圓周率精確度的問題。在中國數(shù)學(xué)史上，是劉徽首先創(chuàng)造了在正確的數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)之上的求圓周率的程序?？茖W(xué)的理論、正確的方法的建立，其意義遠比它們的應(yīng)用重要。祖沖之求圓周率的程序沒有流傳下來，比較可靠的看法是，他使用了劉徽的方法，而在計算上更加精確。錢寶琮指出：“李淳風(fēng)缺少歷史發(fā)展的認識，有意輕視劉徽割圓術(shù)的偉大意義，陶亢德暴露他們自己的無知?！薄?2】錢寶琮的看法非常中肯。李淳風(fēng)不懂劉徽證明圓面積公式時所使用的無窮小分割方法和極限思想。
第三處在少廣章開立圓術(shù)注釋中，李淳風(fēng)等在引用祖暅的開立圓術(shù)之前說：“祖暅之謂劉徽、張衡二人皆以圓qun為方率，丸為圓率。”在引用了祖氏開立圓術(shù)之后說：“張衡放舊，貽于后。劉徽循故，未暇校新。夫其難哉，抑未之思也?！薄?3】這里的所謂“祖暅之謂”恐是李淳風(fēng)等未準(zhǔn)確反映祖氏的意思。劉徽否定了《九章算術(shù)》的開立圓術(shù)，設(shè)計了牟合方蓋，提出球與方蓋的體積之比為 π∶4 這一正確的論斷，指出了解決球體積的正確途徑。劉徽未能求出牟合方蓋的體積，實事求是地記下了自己的困惑，并寄希望于后學(xué)，表示“以俟能言者”，【14】表現(xiàn)了一位真正的科學(xué)家的寬廣胸懷。劉徽多次闡發(fā)并應(yīng)用了截面積原理，為祖暅原理的最后完成作了充分準(zhǔn)備?！?5】劉徽還批評了張衡開立圓術(shù)“欲協(xié)其陰陽奇偶之說而不顧疏密”【16】的錯誤。祖氏父子繼承劉徽的工作，提出祖暅之原理，求出了牟合方蓋的體積，最終解決了球體積問題。以祖沖之父子之實事求是和嚴謹?shù)膶W(xué)風(fēng)，是不可能在開立圓術(shù)問題上將劉徽與張衡等量齊觀，并且指責(zé)劉徽與張衡一樣“以圓qun為方率，丸為圓率”的。顯然是李淳風(fēng)等以自己的思想篡改了祖氏的意思。在這里，李淳風(fēng)等同樣不理解劉徽推翻《九章算術(shù)》開立圓術(shù)，設(shè)計牟合方蓋的重大理論意義和實踐意義。
總之，李淳風(fēng)等對劉徽的三處指責(zé)，正確的都是劉徽，錯誤的都是李淳風(fēng)等，反映出李淳風(fēng)等無法理解劉徽的無窮小分割方法和極限思想，反映出李淳風(fēng)等的理論水平和邏輯修養(yǎng)遠遠在劉徽之下。
我們再分析王孝通對劉徽和祖沖之父子的評價。比較起來，王孝通對劉徽比對祖沖之父子客氣一些。他說：“東魏劉徽篤好斯言，博綜纖隱，更為之注?；账紭O毫芒，觸類增長，乃造重差之法，列于終篇。雖即未為司南，然亦一時獨步。”【17】王孝通沒有挑出劉徽什么毛病，卻只把劉徽看成一個“思極毫芒”的聰明人，稱劉徽為魏晉數(shù)學(xué)的“獨步”，但其思想和方法又不能成為數(shù)學(xué)家的指南。要求王孝通像我們一樣認識劉徽的業(yè)績，是強人所難。因為，即使劉徽本人對自己的思想和成就在中國數(shù)學(xué)史上的地位，也不會有我們這么清楚。不過，王孝通沒有理解劉徽的數(shù)學(xué)思想和成就的精髓，尤其是沒有理解他的無窮小分割方法和極限思想，則是無疑的。他貶斥了以往幾乎所有的數(shù)學(xué)家，而沒有被貶斥的劉徽又不能成為“司南”，言外之意，只有他自己才有資格做“司南”。這種居高臨下，以為自己比劉徽高明的態(tài)度，當(dāng)然是我們不能接受的。
王孝通對祖沖之父子的指責(zé)在前面已引出。在王孝通看來，《綴術(shù)》是有嚴重錯誤的。由于《綴術(shù)》失傳，人們難以拿出確鑿的證據(jù)證明王說之不確。但是，我們可以從側(cè)面，從對祖沖之父子的其他著作的分析中推翻王孝通的看法。流傳到今天的完整的祖沖之的著作，只有關(guān)于《大明歷》的《上大明歷表》、《大明歷法》和《大明歷議》（今常稱為《駁議》），而祖暅的著作則只有開立圓術(shù)等片段。這些著作的共同特點是實事求是，言之有據(jù)，推理嚴謹，邏輯清楚，沒有空穴來風(fēng)，或者數(shù)字神秘主義的東西。按照我們今天的認識水平，可以批評他們的論述這里不足，那里有局限性，但是，按照南北朝時代人們的認識水平，卻難以發(fā)現(xiàn)什么錯誤。中國古代的數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家的著作中，大都存在或多或少的錯誤，或者數(shù)字神秘主義的內(nèi)容。劉徽和祖沖之父子大約是錯誤最少的。劉徽的《九章算術(shù)注》除圖之外，被完整地保存了下來。遍查整個劉徽注，除反駁《九章算術(shù)》宛田術(shù)時，有一個推理失誤【18】外，沒有發(fā)現(xiàn)任何錯誤。錢寶琮詞曰：“誰是劉徽私淑？都說祖家父子，成就最輝煌?！薄?9】祖沖之父子除了繼承劉徽求圓周率和求體積的工作外，他們實事求是的科學(xué)態(tài)度，“知之為知之，不知為不知”的嚴謹學(xué)風(fēng)，縝密的邏輯推理，以及不迷信古人，敢于創(chuàng)新的進取精神，都是與劉徽相通的。因此，《綴術(shù)》盡管已失傳，無法了解它的具體內(nèi)容，但是，可以肯定地說，除了其成就比劉徽更大，理論更深刻外，其嚴謹、縝密方面，應(yīng)該與劉徽的《九章算術(shù)注》大體相當(dāng)。就是說，《綴術(shù)》可能有“于理未盡”的地方，但是，不會有“全錯不通”的內(nèi)容。我們認為，是王孝通“莫能究其深奧”，又過于自負，才說它“全錯不通”。上面已經(jīng)指出，雖然劉徽《九章算術(shù)注》未失傳，但王孝通、李淳風(fēng)等只能理解其中通俗的內(nèi)容，無法理解其高深的內(nèi)容和嚴密的邏輯，更無法理解其無窮小分割方法和極限思想。事實上，唐初以降，一千多年間，人們一直未理解劉徽的這些貢獻，而其中幾個無窮小分割和極限過程，是20世紀(jì)才搞清楚的，有的延宕至70年代末80年代初才弄明白。只是它與《九章算術(shù)》一體行世才未失傳。我們可以設(shè)想，如果《綴術(shù)》在劉徽的無窮小分割思想和極限思想的基礎(chǔ)上再向前邁一步，哪怕是一小步，那么，王孝通、李淳風(fēng)和當(dāng)時的學(xué)官們是無論如何也理解不了的。筆者認為，這也許是“學(xué)官莫能究其深奧，是故廢而不理”，導(dǎo)致《綴術(shù)》失傳的根本原因；也是王孝通指責(zé)他“全錯不通”的根本原因。
第三，在學(xué)術(shù)品格上，王孝通是與劉徽和祖沖之父子根本相反的。前已指出，劉徽、祖沖之父子既不迷信古人，敢于創(chuàng)新，又謙虛謹慎，虛懷若谷，寄希望于后學(xué)。而王孝通呢，他對劉徽、祖沖之父子的輕視、貶低，一如前述。對他人呢，在評論劉徽和祖暅之間，他說：“賀循、徐岳之徒，王彪、甄鸞之輩，會通之?dāng)?shù)徐無聞焉耳。但舊經(jīng)殘駁，尚有闕漏。自劉（徽）以下，更不足言?！薄?0】可以說是全盤否定，一片漆黑。就是說，對他以前的數(shù)學(xué)家，除表彰《九章算術(shù)》的成就，客觀敘述張蒼刪補的事實，有保留地肯定劉徽之外，一無是處。這種虛無主義的態(tài)度，在古算經(jīng)的序言中，是絕無僅有的。
王孝通對自己是怎樣評價呢？他自述說：“鉆尋秘奧，曲盡無遺。代乏知音，終成寡和。”對自己的《緝古算經(jīng)》，他要求皇上“請訪能算之人，考論得失。如有派其一字者，臣欲謝以千金。”【21】就是說，他的工作已經(jīng)盡善盡美，天衣無縫了，同代人無法與之唱和。其故步自封，狂妄之態(tài)可掬。焦循評論說：“劉氏之（《九章算術(shù)》）注，極精至巧，令而通之，已足括孕此書（《緝古算經(jīng)》）。且以其義核王氏之術(shù)，可排者正不止一字?！薄?2】有的學(xué)者認為提出“千金排其一字”，反映了王孝通嚴謹?shù)膶W(xué)風(fēng)，對此，筆者不敢茍同。
王孝通怎樣看待后學(xué)呢？他在描述自己寫《緝古算經(jīng)》的心情時說：“臣晝思夜想，臨書浩嘆，恐一旦瞑目，將來莫睹?！?【23】《緝古算經(jīng)》第1問的數(shù)學(xué)計算并不復(fù)雜，王孝通說：“臣每日夜思量，常以此理屈滯，恐后代無人知者?！?【24】將自己的知識貢獻給社會，是學(xué)者的責(zé)任。但是，以為只有自己才能達到最高峰，后來人不可能達到、更不可能超過自己的水平，與劉徽“以俟能言者”的精神境界形成了鮮明的對照，徒然暴露了自己目空一切的心態(tài)。
王孝通在天文歷法上是保守的，在數(shù)學(xué)方面，對三次方程的解法有貢獻。但是，據(jù)錢寶琮考證，祖沖之已能解負系數(shù)三次方程?！?5】總之，王孝通貶低前輩，蔑視同輩，輕視后輩，以為自己是前無古人，后無來者。一個科學(xué)家不必做謙謙君子，但也不能狂妄到如此地步。在這種心態(tài)支配下，不是不能做一些創(chuàng)造性的工作，然而，一般說來，不可能做出像劉徽、祖沖之那樣水平的工作來。正是在這種目空一切的心態(tài)支配下，王孝通對自己不懂的東西，不是去虛心學(xué)習(xí)，認真研究，而是斥之以“全錯不通”。實際上，王孝通的數(shù)學(xué)成就和理論水平不僅比劉徽、祖沖之差得遠，《緝古算經(jīng)》的編思想甚至不如《九章算術(shù)》的主體部分。【26】
看不懂前人的東西，而指斥前人有錯，在中國數(shù)學(xué)史上不乏其例。明朝數(shù)學(xué)家顧應(yīng)祥看不懂元朝李冶《測圓海鏡》中的天元術(shù)，謂李冶“止以天元一互算而漫無下手之處”，【27】著《測圓海鏡分類釋術(shù)》，買櫝還珠，將天元術(shù)盡行刪除，貽千古不知而作之譏。筆者認為，王孝通對《綴術(shù)》的指責(zé)，類似于顧應(yīng)祥與《測圓海鏡》的關(guān)系。如果有一天《綴術(shù)》重新面世，那么，王孝通在中國數(shù)學(xué)史上的地位不會比顧應(yīng)祥高。
對比
此書為數(shù)學(xué)方面，而《天工開物》為明代宋應(yīng)星所著的關(guān)于明代農(nóng)業(yè)和手工業(yè)方面的書。因此此書與《天工開物》不屬于同一領(lǐng)域。
參考資料 >
綴術(shù) 作者: 祖沖之.中華典藏.2024-02-20