《四元玉鑒》（英文名：Jade Mirror of the Four Unknowns）中國元代數學著作之一，朱世杰撰，分卷首、上卷、中卷、下卷。
《四元玉鑒》卷首包括今古開方會要之圖（含梯法七乘方圖和古法七乘方圖）、四元自乘演段之圖、五和自乘演段之圖、五較自乘演段之圖、四象細草假令之圖五圖。今古開方會要、四象細草假令（共4問）二圖為全書之綱領。梯法即增乘開方法，是全書解方程的方法。正文3卷，24門288問。上卷包括假令四草、直段求源、混積問元、端匹互隱、粟回求、商功修筑和分索隱7門75問。中卷包括如意混合、方圓交錯、三率究圓、明積演段、勾股測望或問歌、茭草形段、箭積交參、撥換截田、如象招數10門103問。下卷包括果垛疊藏、鎖套吞容、方程正負、雜范類會、兩儀合轍、左右逢元、三才變通、四象朝元8門110問。《四元玉鑒》書中的所有問題均與求解方程或方程組相關。其中涉四元者7問：四象朝元門6問，假令四草中有1問。涉三元者13問：三才變通門11問，或問歌彖門1問，假令四草1問。二元者36問：兩儀合轍門12問，左右逢元21問，或問歌彖2問，假令四草1問。一元者：232問。除多元方程組解法之外，《四元玉鑒》還有高階等差級數求和、招差法等等多項重要成就值得稱道。在歐洲，招差法、方程組的消元法分別出現(xiàn)于17世紀后期和18世紀后期。較之朱世杰的工作均晚300年以上。
內容簡介
它是一部成就輝煌的數學名著，受到近代數學史研究者的高度評價，認為是中國數學著作中最重要的一部，同時也是中世紀最杰出的數學著作之一。但其美中不足的是，在四元玉鑒中，對於一些重要的問題如求解高次聯(lián)立方程組的消去法等解說過於簡略，并且對於書中每一個問題的解法也沒有列出詳細的演算過程，故比較深奧，人們很難讀懂。以致於自朱世杰之後，中國這種在數學上高度發(fā)展的局面不但沒有保持發(fā)展下去，反而很多成就在明、清的一段時期內幾乎失傳。
此外朱世杰將高階等差級數求和和高次內插法進行了發(fā)展。《四元玉鑒》是元代杰出數學家朱世杰的代表作，其中的成果被視為中國籌算系統(tǒng)發(fā)展的頂峰。
相關資料
在元滅南宋以前，南北之間的交往，特別是學術上的交往幾乎是斷絕的。南方的數學家對北方的天元術毫 無所知，而北方的數學家也很少受到南方的影響。朱世杰曾“周游四方”，莫若（古代數學家）序中有“燕山松庭朱先生以數學名家周游湖海二十余年矣。四方之來學者日眾，先生遂發(fā)明《九章》之妙，以淑后圖學，為書三卷……名曰《四元玉鑒》”，祖頤后序中亦有“漢卿名世杰，松庭其自號也。周流四方，復游廣陵，踵門而學者云集”。經過長期的游學、講學等活動，終于在1299年和1303年，在揚州市，刊刻了他的兩部數學杰作——《算學啟蒙》和《四元玉鑒》。楊輝書中的歸除歌訣在朱世杰所著《算學啟蒙》中有了進一步的發(fā)展。
清羅士琳認為：“漢卿在宋元間，與秦道古（即秦九韶）、李仁卿可稱鼎足而三。道古正負開方，漢卿天元如積皆足上下千古，漢卿又兼包眾有，充類盡量，神而明之，尤超越乎秦、李之上”。清代數學家王鑒也說：“朱松庭先生兼秦、李之所長，成一家之著作”。朱世杰全面繼承了并創(chuàng)造性地發(fā)揚了天元術、正負開方法等秦、李書中所載的數學成就之外，還囊括了楊輝書中的日用、商用、歸除歌訣之類與當時社會生活密切相關的各種算法，并作了新的發(fā)展。
由此看來，在朱世杰的工作中，不僅有高次方程的解法，天元術等為代表的北方數學的成就，也包括了楊輝工作中所體現(xiàn)出來的日用，商用算法以及各種歌訣等南方數學的成就，不僅繼承了古代中國數學的光輝遺產，而且又作了創(chuàng)作性的發(fā)展。朱世杰的工作，在一定意義上講，可以看作是宋元數學的代表，可以看作是古代籌算系統(tǒng)發(fā)展的頂峰。就連西方資產階級學者們也不能否認這一點，喬治·薩頓說：朱世杰“是中國的，他所生存的時代的，同時也是貫穿古今的一位最杰出的數學家”，說《四元玉鑒》“是中國數學著作中最重要的一部，同時也是中世紀最杰出的數學著作之一”。朱世杰以他自己的杰出著作，把中國古代數學推向更高的境界，為中國古代數學的光輝史冊，增加了新的篇章，形成了宋代中國數學發(fā)展的最高峰。
作品目錄
卷首
卷首是全書的預備知識。
卷上
卷中
卷下
版本
王萱玲抄本 1819
沈欽裴細草本 1822
何元錫刊本 1822年
羅士琳細草本 1837
志古堂刻本 1891
鴻寶齋石印本 1895
萬有文庫：朱世杰撰 羅士琳補草《四元玉鑒細草》上中下三冊（據羅士琳1839年刊本影印）民國26年
歷代算學集成本影印 1994
傳世藏書本 1996
大中華文庫 《四元玉鑒》 玉石 Mirror of the Four Unknowns 中英對照本 兩卷本 郭書春今譯 陳在春英譯 郭金海整理 遼寧教育出版社 2006
李兆華校正 《四元玉鑒》 科學出版社 2007
1.王萱玲抄本 1819
2.沈欽裴細草本 1822
3.何元錫刊本 1822年
4.羅士琳細草本 1837
6.志古堂刻本 1891
7.鴻寶齋石印本 1895
8.萬有文庫：朱世杰撰 羅士琳補草《四元玉鑒細草》上中下三冊（據羅士琳1839年刊本影印）民國26年
9.歷代算學集成本影印 1994
10.傳世藏書本 1996
11.大中華文庫 《四元玉鑒》 玉石 Mirror of the Four Unknowns 中英對照本 兩卷本 郭書春今譯 陳在春英譯 郭金海整理 遼寧教育出版社 2006
12.李兆華校正 《四元玉鑒》 科學出版社 2007
作品影響
《四元玉鑒》是朱世杰闡述多年研究成果的一部力著。全書共分3卷，24門，288問，書中所有問題都與求解方程或求解方程組有關，其中四元的問題（需設立四個未知數者）有7問，三元者13問，二元者36問，一元者232問。卷首列出了賈憲三角等四種五幅圖，給出了天元術、二元術、三元術、四元術的解法范例；后三者分別是二元、三元、四元高次方程組的列法及解法。創(chuàng)造四元消法，解決多元高次方程組問題是該書的最大貢獻，書中另一個重大成就是系統(tǒng)解決高階等差級數求和問題和高次招差法問題。
在朱世杰之前，古代中國數學已有了解方程的方法———“天元術”，“天元術”解方程是設“天元為某某”，某某就是（x）。朱世杰不僅繼承沿用了天元術，方程組解法由二元、三元推廣至四元。未知數不止一個時，除設未知數天元（x）外，還設地元（y）、人元（z）及物元（u），再列出二元、三元甚至四元的高次聯(lián)立方程組，然后求解。在歐洲，解聯(lián)立一次方程始于16世紀，關于多元高次聯(lián)立方程的研究則是18、19世紀的事了，朱世杰的“天元術”比歐洲早了400多年。
朱世杰對“垛積術”的研究，實際上得到了高階等差級數求和問題的普遍的解法。自宋代起我國就有了關于高階等差級數求和問題的研究，沈括（1031-1095年）和楊輝（1261-1275年）的著作中，都有垛積問題，這些垛積問題有一些就涉及高階等差級數，朱世杰在《四元玉鑒》中又把這一問題的研究進一步深化，得到了一串三角垛的公式。
《四元玉鑒》是一部成就輝煌的數學名著，是宋元數學集大成者，也是我國古代水平最高的一部數學著作。現(xiàn)代數學史研究者對《四元玉鑒》給予了高度評價。著名科學史專家喬治·薩頓說，《四元玉鑒》“是中國數學著作中最重要的一部，同時也是中世紀最杰出的數學著作之一”。編著《中國科學技術史》的李約瑟這樣評價朱世杰和《四元玉鑒》：“他以前的數學家都未能達到這部精深的著作中所包含的奧妙的道理”。
朱世杰之后，元代再無高深的數學著作出現(xiàn)，漢唐宋元的數學著作很少有新的刻本，很多甚至失傳了。乾隆三十七年(1772年)開《四庫全書》館時，挖掘了不少古代數學典籍，朱世杰的著作卻未被發(fā)現(xiàn)，因此，起初沒有編入；1799年阮元、李銳等人編數學家傳記《疇人傳》時，也未介紹《四元玉鑒》。之后不久，阮元在浙江省訪得此書，旋即將其編入《四庫全書》，并把抄本交給李銳校算（未校完），后由何元錫按此抄本刻印，這是《四元玉鑒》1303年初版以來的第一個重刻本。1839年揚州市學者羅士琳經多年研究之后，出版了他所編著的《四元玉鑒細草》，羅氏對《四元玉鑒》書中每一問題都作了細草。就在羅士琳翻刻《四元玉鑒》時，《算學啟蒙》也還無著落。后來羅士琳“聞朝鮮以是書為算科取士”，于是請人在北京找到了順治十七年（1660年）朝鮮全州府尹金始振所刻的翻刻本，這樣，《算學啟蒙》又在揚州重新刊印出版，這就是該書現(xiàn)存各種版本的母本。
元代朱世杰這兩部杰出的數學著作都是在揚州完成、刻印的，失傳了幾百年后，它們又被揚州學者發(fā)現(xiàn)、校算、注釋，并在揚州重新刻印出版，僅此可見，揚州在我國數學發(fā)展史上有著十分重要的地位。
作者簡介
朱世杰（1249年－1314年），字漢卿，號松庭，漢族，燕山（今北京）人氏，元代數學家、教育家，畢生從事數學教育。朱世杰在當時天元術的基礎上發(fā)展出“四元術”，也就是列出四元高次多項式方程，以及消元求解的方法。此外他還創(chuàng)造出“垛積法”，即高階等差數列的求和方法，與“招差術”，即高次內插法。主要著作是《算學啟蒙》與《四元玉鑒》。
朱世杰“以數學名家周游湖海二十余年”，“踵門而學者云集”(莫若、祖頤：《四元玉鑒》后序）。朱世杰數學代表作有《算學啟蒙》（1299）和《四元玉鑒》（1303）。
《算學啟蒙》是一部通俗數學名著，曾流傳海外，影響了朝鮮、日本數學的發(fā)展。《四元玉鑒》則是中國宋元數學高峰的又一個標志，其中最杰出的數學創(chuàng)造有“四元術”（多元高次方程列式與消元解法）、“垛積術”（高階等差數列求和）與“招差術”（高次內插法）。
宋元時期，中國數學鼎盛時期中杰出的數學家有“秦﹝九韶﹞、李﹝冶﹞、楊﹝輝﹞、朱﹝世杰﹞四大家”，朱世杰就是其中之一。朱世杰是一位平民數學家和數學教育家。朱世杰平生勤力研習《九章算術》，旁通其它各種算法，成為元代著名數學家。
參考資料 >
《四元玉鑒》.中國大百科全書.2024-03-16