雙曲面（Hyperboloid）在幾何學中是指雙曲線繞其對稱軸旋轉而生成的曲面；在數學中則是一種二次曲面，分為單葉雙曲面、雙葉雙曲面和旋轉雙曲面。現實中許多發電廠的冷卻塔結構就是雙曲面。
雙曲面的發展歷史與解析幾何發展密切相關，在解析幾何產生之前古希臘建筑數學家已對圓錐曲線(橢圓、雙曲線、拋物線)做了較系統的研究。勒內·笛卡爾(Renatus Cartesius)和皮耶·德·費馬(Pierre de Fermat)較早的認識到創建解析幾何的必要性，但是笛卡爾等人的研究并未涉及空間解析幾何，直到18世紀前半期克雷洛（Felix Klein）和拉蓋爾（Ludwig Schl?fli）才將空間的點與三數組對應，推導出含三個變量的二次方程可化簡為17種標準形式，代表17種不同的曲面，雙曲面就是其中之一。19世紀初，尼古拉·羅巴切夫斯基（Nikolas lvanovich Lobachevsky）用羅氏制藥平行公理替代歐氏幾何的第五公設，創立了雙曲幾何學。隨著解析幾何的發展，仿射幾何和射影幾何成為其現代組成部分，廣泛應用于研究幾何圖形的性質和二次曲面的分類。
雙曲面具有較多幾何性質，如對稱性、雙曲面為無界曲面等。此外，雙曲面在建筑工程學、實際生活、通信工程學領域均具有較為廣泛的應用。許多發電廠的冷卻塔結構是單葉雙曲面形狀。由于單葉雙曲面是一種雙重直紋曲面(ruled surface)，它可以用直的鋼梁建造。這樣，會減少風的阻力，同時也可以用最少的材料來維持結構的完整。此外，塔筒采用雙曲線外形不僅可以減少塔殼表面積節約材料，而且具有抗強風的優良力學性能。。
定義
在幾何學中，雙曲面是指雙曲線繞其對稱軸旋轉而生成的曲面；在數學里，雙曲面是一種二次曲面，采用直角坐標系進行描述。
標準方程
采用直角坐標 ，雙曲面可以用公式表達為 、，分別稱為單葉雙曲面和雙葉雙曲面，單葉雙曲面和雙葉雙曲面統稱為雙曲面，該種形式的方程稱為雙曲面的標準方程。
參數方程
單葉雙曲面的參數方程為，雙葉雙曲面的參數方程為 。
歷史沿革
古代幾何研究
雙曲面的發展歷史與解析幾何發展密切相關，在解析幾何產生之前，雖然它所使用的某些工具和研究對象已經出現，例如中國古代早已用代數方法來解決一些幾何問題，古希臘建筑數學家已對圓錐曲線(橢圓、雙曲線、拋物線)做了較系統的研究；但是，代數方法并沒有與坐標法緊密結合起來，沒有把代數方程中的未知量看做變量，更沒有把帶有兩個變量的代數方程與平面曲線對應起來。
解析幾何初期
較先認識到創建解析幾何這門新的數學學科的必要性和可能性的是勒內·笛卡爾(Renatus Cartesius)和皮耶·德·費馬(Pierre de Fermat)。笛卡爾是解析幾何的主要創建者，他所發表的以《幾何學》為題的論文中，較全面地敘述了解析幾何這個學科的思想觀點和數學理論，奠定了解析幾何的基礎。費爾瑪對解析幾何的創建也有很大的貢獻，他提出一個很重要的命題，即“凡含有兩個未知數的方程，總能夠確定一個軌跡，畫出一條直線或曲線”。
空間解析幾何的突破
但是笛卡爾等人的研究并未涉及空間解析幾何，直到18世紀的前半期克雷洛（Felix Klein）和拉蓋爾（Ludwig Schl?fli）才把空間的點與三數組對應起來，含三個變量的方程表示曲面，每個含三個變量的一次方程表示一個平面，直線可作為兩個平面的交線。含有三個變量的一般二次方程可經過坐標軸的平移和旋轉化簡成17種標準方程，它們表示根本不同的17種類型的曲面：有兩種橢圓面(實的和虛的)，兩種雙曲面(單葉的和雙葉的)，兩種拋物面(橢圓的和雙曲的)，兩種二階錐面(實的和虛的)以及9種柱面。隨后，19世紀的數學家們，如高斯和伯恩哈德·黎曼，進一步發展了解析幾何的理論和應用。
在19世紀初，羅巴切夫斯基環形山（Nikolas lvanovich Lobachevsky）、波利埃（János Bolyai）、高斯（Gauss）大膽地否定了歐氏幾何的第五公設(平行公理)另外設立了一條替代它的公理，他們分別獨立地建立了一種新的幾何學，稱為雙曲幾何學。由于最先公開發表的是羅巴切夫斯基，所以也稱此幾何學為羅巴切夫斯基幾何學，簡稱羅氏幾何。尼古拉·羅巴切夫斯基發現了第五公設的不可證明性及非歐幾里得幾何的存在性。他把歐氏幾何公理體系中的第五公設換成羅氏平行公理(過直線外一點至少能作兩條直線與已知直線平行)建立了他的幾何學。
現代解析幾何
解析幾何從產生到現在，經過了漫長的發展道路。現代的解析幾何無論是方法還是內容都已發生了很大的變化。方法更加多樣，內容更加豐富和廣泛，特別是具有重要意義和作用的變換、變換群以及不變量的理論已被引入解析幾何。因而，仿射幾何、射影幾何已成為現代解析幾何的組成部分。它們在研究幾何圖形的仿射、射影性質，在研究圓錐曲線和二次曲面的分類等方面具有廣泛的應用。
性質
單葉雙曲面
對稱性
由于方程中只含變數的平方項，所以單葉雙曲面關于坐標原點、坐標軸和坐標平面都對稱，依次叫做對稱中心、對稱軸與對稱平面。
圖形范圍
將方程變形為，可知曲面在橢圓柱面的外部或者它的腰橢圓上，而內部無圖形。
相交性質
與坐標軸的交點：分別用代入得曲面在軸和軸上的截距分別是；在軸上沒有截距。四個交點叫做單葉雙曲面的頂點。
與坐標軸的交線：
①與平面的交線是一橢圓，稱為腰橢圓。
②與平面的交線 是一雙曲線，它的實軸是軸，虛軸是軸，開口沿軸正向。
③與平面的交線 是一雙曲線，它的實軸是軸，虛軸是軸，開口沿軸正向。
截口線：用平面截割，得，表示平面上的一族橢圓，因此單葉雙曲面可以看成是所有這些橢圓的集合。這族橢圓的焦點坐標為。
若用平面來截割曲面，得 ，當時，截線為雙曲線；它的實軸平行于軸，虛軸平行于軸，頂點坐標為；當時，截線為 表示兩條相交直線；當時，截線為雙曲線，它的實軸平行于軸，虛軸平行于軸，頂點坐標為。
雙葉雙曲面
對稱性
同單葉雙曲面一致，雙葉雙曲面也關于坐標原點、坐標軸和坐標平面都對稱。
圖形范圍
將方程變形為，可知或。說明雙葉雙曲面的圖形分居于兩平面外側，兩平面內部無圖形。
相交性質
與坐標軸的交點：與軸的交點為，與軸，軸都沒有交點，把這兩點叫做雙葉雙曲面的頂點。
與坐標平面的交線：
①與平面無交線；
②與平面的交線 是一條雙曲線，實軸為軸，開口朝軸正向；
③與平面的交線 是一條雙曲線，實軸為軸，開口朝軸正向。
截口線：用平面截割雙葉雙曲面得方程為 ，當時，截線為一個橢圓，它的四個端點為，；當時，截線為一點或；當時，無截線。
用平面截割曲面得 為平面上的雙曲線。用平面截割曲面得 為平面上的雙曲線。
示例
求面積
如果曲線， 在上具有連續的切線，那么它繞軸旋轉一周而成的旋轉曲面的側面積為。
如由雙曲線繞軸旋轉而成旋轉雙曲面，其表面積，其中，代入得。
相關概念
復雙曲函數
對于任意的復數，規定，分別稱為的雙曲正弦和雙曲余弦，類似地，規定，，，分別稱為的雙曲正切、雙曲余切、雙曲正割以及雙曲余割。
類似概念
橢球面
由方程所表示的曲面稱為橢球面。把球面沿軸方向伸縮倍，即得旋轉橢球面；再沿軸方向伸縮倍，即得橢球面。
橢球面與雙曲面都有唯一的對稱中心，因而它們都稱為中心二次曲面。中心二次曲面的統一方程可以表示為，當三個平方項的系數均為正數時，方程表示橢球面；當系數兩正一負時，表示單葉雙曲面；當系數的符號兩負一正時，它表示雙葉雙曲面；當系數的符號全為負數時，它表示虛橢球面。
球面
空間中與某個定點的距離等于定長的點的軌跡為一個球面，定點稱為球心，定長稱為球的半徑。設定點為，定長為，是球面上任意一點，則，即，反之，若的坐標滿足該方程，則總有，所以此方程以為球心，以為半徑的球面方程。
應用領域
建筑工程
單葉雙曲面上面有兩組母直線族，各組內母線彼此不相交，使它們構成一個單葉雙曲面(就是兩組母線族)，并使它們的交點處連接在一起，就會得到一個非常輕巧而又非常堅固的建筑物。許多化工廠和發電廠的巨大冷卻水塔常用的外形之一是旋轉單葉雙曲面，它的優點是對流快，散熱效能好，塔筒采用雙曲線外形不僅可以減少塔殼表面積節約材料，而且具有抗強風的優良力學性能。
機械工程
雙曲面在實際生活中具有較為廣泛的應用，例如單葉雙曲面各元素之間的幾何關系與橫切機各構件之間的運動關系相類似。為了尋求順利剪切移動鋁箔的正確途徑，則可以把單葉雙曲面的幾何特性應用于移動鋁箔的橫切機構之中，并確定了轉刀刀刃的型線，就可以得出一種移動鋁箔橫切的合理方法。
通信工程
在通信產業中，連接器的線簧孔也是根據單葉雙曲面形成的原理而設計的。它一般由絲(線簧)、內套、前外套、后外套(有時為整體外套)組成。線簧孔是使多根(一般至少為5根)獨立的彈性金屬絲在內套中與內套的軸向成一定的夾角，并彎向內套兩端的外壁后，通過內套、絲與外套之間的過盈配合，用外套將絲壓緊固定在內套的兩端上，內套中的彈性金屬絲即是構成單葉回轉雙曲面的母線，因此將此插孔稱為單葉回轉雙曲面插孔，簡稱線簧孔。
參考資料 >