歐拉常數(Euler Constant)，全名歐拉-馬斯凱羅尼常數(Euler-Mascheroni Constant)，其近似值為0.57721566490…，是瑞士數學家萊昂哈德·歐拉（Leonhard Euler）提出的數學常數。其定義為調和級數與自然對數差的極限。目前使用字母γ來表示。
1734年，萊昂哈德·歐拉在他的文章中首次提出歐拉常數，他本人曾用字母C來表示這個常數，并精確計算到了小數點后5位。1790年，意大利數學家馬斯凱羅尼（Mascheroni）引入了字母γ作為歐拉常數的新符號，并將其計算到了小數點后32位。截止到2021年4月29日，歐拉常數已經計算到了16695279010位。目前無法論證歐拉常數是否為有理數還是無理數。
歐拉常數在數學上是一個重要的常數，其推導方法有利用數項級數收斂和積分中值定理等。可利用歐拉-科林·麥克勞林公式積分法計算出歐拉常數的近似值。歐拉常數應用廣泛，可以用于證明調和級數發散、數項級數求和以及定積分計算、數列求極限等。
歷史
歐拉常數，首次由瑞士數學家萊昂哈德·歐拉（Leonhard Euler）在1734年的發表的文章中提出，其近似值為0.57721566490...。歐拉本人曾用字母C來表示這個常數，并精確計算到了小數點后5位。到了1761年，歐拉進一步將這個值計算到了小數點后16位。1790年，意大利數學家馬斯凱羅尼（Mascheroni）引入了字母γ作為歐拉常數的新符號，并將其計算到了小數點后32位。然而，后續的計算發現馬斯凱羅尼在第20位時出現了錯誤。至于歐拉常數是否為有理數，這一問題至今仍未有定論。截止到2021年4月29日，歐拉常數已經計算到了16695279010位。
定義
歐拉常數（Euler Constant)0.57721566490153286
歐拉常數還有以下幾種表達形式：
設為調和級數的前n項和，即
記，可以證明數列的極限存在。
設，即
或
級數形式及常義積分形式有（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
反常積分形式有歐拉常數
或
證明只需將（3）、（4）中作代換，即，該表達式即可成立。
推導
歐拉的推導方式
1734年萊昂哈德·歐拉是這樣得到歐拉常數的：
利用的Taylor 展開得
于是，
以代入得
故，
數項級數的收斂
設為調和級數的前n項和，即
記，可以證明數列的極限存在。
由定積分的知識，可知
當時，有，故
因此，
又
所以序列單調有界，存在
積分中值定理
因為
所以
利用積分中值定理得是常數
所以
又因為，而級數收斂，所以級數也收斂
于是極限存在
函數不等式
當時，有以下不等式成立：
（1）
取，得（2）
設
則（3）
而（4）
將（2）代入（3）可知（5）
將（2）代入（4）得（6）
式（6）說明數列單調下降，式（5）說明數列有下界。根據單調有界數列極限存在準則可知，極限存在。
即
幾何意義
歐拉常數可以通過幾何圖形來直觀理解。如下圖所示：
位于曲線上方從左到右前n個曲邊三角形面積之和為，由于這些三角形的底邊長度為1，豎的直角邊長度總和不超過1，可以將它們全部放置在一個單位正方形內，這意味著這些三角形的總面積不會超過1。同時，由于每個三角形的面積都是正的，可以通過對這些三角形面積的求和來逼近歐拉常數。故序列是單調的，單調有界，故存在。這種幾何方法為理解歐拉常數提供了一個直觀的視角。
性質
與伽瑪函數及Ψ函數的關系
從函數的定義得知，
因此有
積分表達式
定理一
證明：（1）
由的展開式，
通過運算得到
因此式（1）中右端的第一項為
再令
則（2）
式（1）中右端的第二項為（3）
把式（2）和式（3）代入式（1），則有
定理得證
定理二
證明：利用公式
有
令，則
當時，，因此
其中
最終運算證得
連分數展開式
[0；1，1，2，1，2，1，4，3，13，5， 1， 1， 8， 1， 2，4，1，1，40， ...]（OEIS A002852）。
漸近展開式
歐拉常數由此極限定義：
其中稱為調和數。下面的漸近展開式成立：
或寫成。此處的Bn表示伯努利數。
已知位數
以上列表參考資料：
相關計算
為了得到準確的歐拉常數的近似值，可利用長城歐拉科林·麥克勞林公式積分法進行計算，
現有
通過一系列的積分運算，則有
即得
所以
再代入
即得
推廣
歐拉常數族
記
可以證明
其中的都是常數，其全體被稱為歐拉常數族。
中國數學家徐利治曾對有研究，他指出設，當充分大之后，的數值恒為正，而且有一正常數，使得
由這一結果可得
1983年中國數學家孫燮華證得
學者趙鈞偉等人在論文《歐拉常數族新探》中指出，只要循環套用定理一；定理二若三階可導，當時，單調趨于零。則此極限存在：；定理三設三階可導，，當時單調趨于零，則此極限存在：
以及引理若記，則有（其中p為大于1的任意實數），即可把歐拉常數族中一切求得。
廣義歐拉常數族
定理：若是區間上單調減少且非負的連續函數，且反常積分為無窮大，則無窮大與同階，即，其中為常數，稱正常數集合為廣義歐拉常數族，記作
該定理推廣了歐拉常數的定義，以發散正項無窮級數減去相應的發散正項積分，從而得到了廣義歐拉常數族的統一定義。由此定理可知
若，則
特別地，當時，
廣義歐拉常數族的元素的性質，有如下定理：若函數為單調下降到零的非負連續函數，則：（1）數列單調遞減趨于；數列單調遞增趨于，并且。（2）令，則
歐拉常數γ性質的簡單推廣
定理：當時，（的同階無窮小），其中是歐拉常數
證明：設，則
其中
又有
因為，已知級數收斂，所以上述兩個級數都收斂，且第二個級數的值不超過
這不僅證明了當時，收斂于一個常數，同時又證明了
于是
即
應用
證明調和級數發散
（1）
從上式可看出，同階，并且差當時，趨向于歐拉常數，
因此，
當時，，故調和級數發散。
此外，等式（1）不但可以證明調和級數發散，還進一步說明當時，，且，而他們的差則趨向有限的極限。
數項級數求和
例如求
因為，且
所以由Leibniz 判別法知級數收斂。記其和為S，部分和為,
則
由于，
根據極限的性質（為一個極限為0的數列），將其代入上式，得
故
定積分計算
例如計算積分，其中表示的小數部分
解：被積函數有界，且只有有限個間斷點，而且這些間斷點只有唯一極限點0，從而所給積分有意義，其計算如下：
利用歐拉常數，可以簡化計算。
用于極限計算
例如求極限
解：
其他
歐拉常數還可以應用于求無窮乘積、函數項級數收斂域等領域，簡化其計算和證明。
參考資料 >
歐拉常數與素數.gridhoster.2024-01-30
A002852 Continued fraction for Euler's constant (or Euler-Mascheroni constant) gamma. (Formerly M0097 N0034).OEIS.2024-01-30
Euler-Mascheroni 常數連續分數.Wolfram MathWorld.2024-01-30
The Euler constant : r.Wolfram MathWorld.2024-01-30